微納操縱成像系統的線性自抗擾控制器設計

吳文鵬，王一帆，趙慶旭，胡 貞

(長春理工大學 電子信息工程學院，吉林 長春 130022)

0 引言

微納操縱成像系統是納米檢測領域主要執行機構，其任務是根據被測樣品與系統中納米級探針之間的范德華力進行掃描成像來得到樣品的表面輪廓圖像[1]。其中控制器主要將范德華力轉化的電壓值信號作反饋信號，利用控制算法讓掃描器在三維方向上移動[2]。微納操縱成像系統存在非線性及操作復雜性等特點，選擇不合適的控制算法，會損壞樣品和探針，故選擇合適控制算法提高微納操縱成像系統控制精度非常重要。

現有的微納操縱成像控制系統一般采用傳統比例積分(PI)控制器進行閉環控制，該算法存在控制精度低，抗擾動能力低，參數調節難等缺點，易導致成像圖形出現劃痕、畸變現象，因此，許多學者展開了新的研究。李丹等[3]提出了基于迭代學習控制的成像方法研究，有效改善了系統非線性和外在擾動帶來的影響；王一帆等[4]提出了基于模糊自適應PI控制的策略，獲得良好的控制效果；魏強等[5]提出了顯微鏡微位移平臺的神經網絡比例積分微分(PID)控制法，其提高了成像圖像質量；方勇純等[6]提出將學習控制算法和PI相結合的先進控制模式，提高了系統的控制精度。而韓京清提出的自抗擾控制理念，既保留了PID控制基于輸入、輸出消除誤差的優點，又加入現代控制思想，對系統內在擾動和外在擾動進行估計并消除補償，提高了系統的抗擾動能力和魯棒性[7]。但是自抗擾控制所需參數過多，不利于工程實際應用，而線性自抗擾控制不僅繼承了自抗擾控制的優點，且所需調節參數也少，所以，本文利用線性自抗擾(LADRC)控制法提高微納操縱成像系統的抗擾能力和控制精度，并通過Matlab/Simulink平臺的仿真實驗驗證了方案的有效可行性。

1 微納操縱成像系統

1.1 系統的結構

微納操縱成像系統原理是在掃描過程中保持探針尖端與樣品間電壓值恒定，即兩者間的距離相等。微納操縱成像系統結構由計算機控制器、四象限光斑傳感器、微懸臂和壓電陶瓷微位移平臺組成(見圖1)。圖中，e(t)為反饋量，g(t)為經過計算機控制器計算后的新變量值，G1(s)為壓電陶瓷微位移平臺的數學模型，G2(s)為微懸臂和四象限的數學模型。

圖1 微納操縱成像系統結構框圖

1.2 系統的傳遞函數

按照圖1所示，對壓電陶瓷微位移平臺、微懸臂、四象限光斑傳感器分別進行建模和仿真。

1.2.1 壓電陶瓷微位移平臺

對實驗室自主研發的微納操縱系統中壓電陶瓷部分進行建模，取階躍信號為0.1 mV，采樣時間為0.04 ms時，壓電陶瓷的電壓值隨時間的變化情況(見圖2(a))。圖中，電壓值由0上升到0.1 mV只需0.02 s，且無超調產生，并在Matlab中用平滑濾波法(Savitzky-Golay)對圖2(a)的數據進行濾波，得到曲線如圖2(b)所示。

圖2 壓電陶瓷微位移平臺響應曲線圖

在Matlab中調用System Identification工具箱對圖2(b)的數據進行辨識擬合，最終得出壓電陶瓷微位移平臺的二階傳遞函數：

(1)

式中s為新的空間變量。

1.2.2 微懸臂

微懸臂的建模是采用光斑偏轉法，其原理結構簡單，如圖3所示。開始狀態下，激光器發射激光至微懸臂梁上，反射到四象限光斑傳感器面上中心點O處，當探針逐漸靠近樣品時，受到范德華力影響，微懸臂會發生形變偏轉一定角度[8]，偏轉量記為Δx，偏轉角為θ，對應反射角為2θ，反射激光點由中心點移至O′點。設探針微懸臂長為d，反射長為p，O點到O′點位移為Δy，因四象限傳感器敏感性能遠小于樣品表面起伏變化，可用近似公式表示為

(2)

圖3 光斑偏轉法原理結構圖

在實驗室自主研發的微納操縱系統中，d=450 μm，p=10 cm，則可得出放大倍數K1為444.44。

1.2.3 四象限光斑傳感器

利用光斑位移量與四象限光斑傳感器探測的電壓值之間數學關系建模。保證光斑位置不變，通過手動移動四象限光斑傳感器平臺，由于四象限光斑傳感器的對稱性，只需進行水平軸方向移動即可。首先移動平臺向右，即光斑位置相對平移向左，然后反方向重復相同動作，每次移動0.05 mm，記錄每次位移的電壓值，選擇有用數據，用Matlab擬合工具進行數據擬合，得到一階比例傳遞函數。圖4為光斑傳感器建模擬合圖。模型公式為

f(x)=883.7x-19.92

(3)

圖4 光斑傳感器建模擬合圖

1.3 微納操縱成像系統模型

根據上述光斑檢測系統建模分析可知，微懸臂系統可看成線性放大環節，放大倍數K1為444.4。四象限光斑傳感器部分仍是一個比例環節，增益K2可看作為-1～1 mm的電壓變化率，K2=0.883 7。由此可知G2(s)為

G2(s)=K=K1×K2=444.44×0.883 7=

392.756

(4)

在微納操縱成像系統中，各部分傳遞函數已知，由圖1可得系統傳遞函數，則有

G(s)=G1(s)·G2(s)=

(5)

2 線性自抗擾控制器設計

微納操縱成像系統線性自抗擾控制器由跟蹤微分器、線性誤差反饋控制率、線性擴張狀態觀測器3部分組成[9]，如圖5所示。圖中，R(t)為輸入量，Y(t)為輸出量，Z1、Z2、Z3為觀測器狀態量，e1、e2為線性反饋環節的輸入信號，u0為線性反饋環節的輸出信號。

圖5 線性自抗擾控制器原理圖

2.1 跟蹤微分器設計

為了避免初始控制量較大突變導致控制飽和，且能夠有效解決被控對象的快速性與準確性之間的矛盾，可通過跟蹤微分器(TD)對給定信號進行預處理，有利于降低超調且快速精確跟蹤。跟蹤器原理為

(6)

式中：R為輸入信號；R1為過度過程；R2為過程微分量；fhan為二階最速控制綜合函數；r0為速度因子；δ0為濾波因子。

2.2 線性擴張狀態觀測器設計

將二階傳遞函數寫成微分方程的一般形式為

(7)

(8)

加入觀測器誤差增益矩陣L，則二階系統的狀態空間表達式為

(9)

其中

(10)

(11)

(12)

(13)

綜上所得，系統線性擴張狀態觀測器為

(14)

選擇極點配置法，設置ω0為觀測器帶寬，即可將系統狀態觀測器均配置在-ω0點，得出觀測器的頻域為

det(sI-(A-LC))=s3+L1·s2+

L2·s+L3=(s+ω0)3

(15)

其中

(16)

式中I為單位矩陣。

2.3 線性誤差控制率設計

經過狀態擴張觀測器對擾動的估計和補償，采用比例微分(PD)控制器即可對系統進行誤差控制，控制器為

(17)

式中：kp為比例系數；kd為微分系數。

在系統中設置參數kp、kd，可以用調優閉環臨界阻尼方法和所需穩定時間Tsettle方法，即使系統得到一組負實雙極。現代控制理論中,ω0=(3,…,10)ωc,ωc為期望閉環系統的帶寬，本文取ω0=5ωc，即觀測器的希望極點與虛軸距離為系統的希望極點距虛軸距離的5倍[11]，則有

(18)

由式(6)～(18)可知，線性自抗擾控制器最終只需要調整ωc、ω0、b03個參數，整定參數方便，便于實際應用。

3 仿真與結果分析

為了驗證線性自抗擾控制器對微納操縱成像系統控制效果，在Matlab/Simulink環境中建立微納操縱成像系統模型，并搭建線性自抗擾控制器、PI控制器和給定信號模塊，對系統進行閉環控制的數值仿真。圖6為微納操縱成像系統仿真圖。由圖可知，狀態觀測器模塊(esoconst)在Matlab編輯器中編寫S函數。

圖6 微納操縱成像系統仿真圖

首先設置線性自抗擾控制器和PI控制器調節時間均為0.05 s，則由式(16)、(18)可得ωc=400，ω0=2 000，kp=150 000,kd=800，在命令欄輸入，L1=6 000，L2=12×106，L3=8×109，再由文獻[12]所提供基于自抗擾參數下的PI控制器參數方法，得出k′p=0.017 948 45，k′i=0.446 493 06，給定階躍信號，如圖7所示。

圖7 相同調節時間階躍響應

當保持線性自抗擾控制器調節時間為0.05 s，PI控制器調節時間為0.15 s時，得出其階躍響應如圖8所示。

圖8 不同調節時間階躍響應

由圖7，8可知，PI控制器不能同時兼顧快速性和準確性，由此可見，線性自抗擾控制器具有較好的動態性能。

圖9為輸入正弦波信號時，控制器參數保持不變，得出跟蹤效果和誤差。

圖9 正弦波給定控制器控制效果

由圖9可知，線性自抗擾控制器輸出波形接近給定輸入，PI控制器誤差較大。由此可見，線性自抗擾控制能提高控制精度。

第二步驗證控制的抗擾動能力，在仿真開始時，對兩控制器同時施加正弦干擾信號[13]，其結果如圖10所示。

圖10 擾動信號下控制器控制效果

由圖10可知，在正弦擾動下，線性自抗擾控制器誤差約±0.08 mV，PI控制器誤差約±0.35 mV，由此可見線性自抗擾控制有較好的抗擾動能力，而PI控制器不能很好地對系統擾動情況下做出及時調整，不能保證成像系統的控制效果。

4 結束語

本文搭建線性自抗擾控制器，即保留了基于PI控制誤差優點，又能利用線性狀態擴張器及時估計并消除擾動，獲得了較好的控制效果。在Matlab/Simulink平臺下，很好地驗證了線性自抗擾控制提高系統抗擾動性及控制精度的能力，為具體應用到實際平臺中提供了一種有效的方案。