巧解含絕對值的一元一次方程

黃曉曄

解含絕對值的方程，一個重要的基本思路就是：將含有絕對值的方程轉化為不含絕對值的方程。

一、幾何解法

思路：在數軸上，到一個點的距離等于一個常數的點有兩個，分別在這個點的左右兩側，可利用數軸直接觀察得到方程的解。

我們知道[x]的幾何意義表示數軸上的數x對應的點與原點的距離，即[x]=[x-0]。這個結論可以推廣為[x1-x2]表示在數軸上數x1與數x2對應的點之間的距離。

例1 已知[x]=3，求x的值。

【解析】數軸上與原點的距離為3的點對應的數分別為-3或3，即x=-3或x=3。

例2 已知[x+1]=2，求x的值。

【解析】數軸上與數-1對應的點的距離為2的點對應的數分別為-3和1，即x=-3或x=1。

例3 解方程[x-1]+[x+2]=5。

【解析】由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數軸上與數1和數-2對應的點的距離之和為5的點對應的數，即x的值。在數軸上，數1和-2對應的點的距離為3，滿足方程的x在數軸上的對應點在1的右邊或-2的左邊。若x對應的點在1的右邊，如下圖，可以看出x=2;同理，若x對應的點在-2的左邊，可得x=-3。故原方程的解是x=2或x=-3。

二、代數解法

思路：利用絕對值的性質去掉絕對值符號，把含有絕對值的一元一次方程轉化成兩個不含有絕對值的一元一次方程，再求解。

例4 解方程[2x-1]=5。

【解析】我們只要把2x-1看成一個整體，根據絕對值的意義進一步解決問題即可。

解：根據絕對值的意義，得2x-1=5或2x-1=-5。解這兩個一元一次方程，得x=3或x=-2。

同學們可以自己檢驗一下。（1）當x=3時，原方程的左邊=[2x-1]=[2×3-1]=5，原方程的右邊=5。因為左邊=右邊，所以x=3是原方程的解。（2）當x=-2時，原方程的左邊=[2x-1]=[2×-2-1]=5，原方程的右邊=5。因為左邊=右邊，所以x=-2是原方程的解。

綜上可知，原方程的解是x=3或x=-2。

（作者單位：江蘇省常州市武進區禮嘉中學）