一元二次不等式解法的“逆向應用”

王繼山

(遼寧省葫蘆島市第一高級中學 125100)

一元二次不等式解法的“逆向應用”，可以借助二次函數的圖象，對二次不等式中的參數進行求解，或是比較大小，同時也可以通過對一元二次不等式進行等價變形，巧妙地解決問題.解一元二次不等式作為解決問題的基本運算，在新課改的高考的考查中通常蘊含在題目的計算過程中，而含有參數的問題又是高考中常考的知識點．

一、借助二次函數的圖象，巧解含參二次不等式問題

(2)如果關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|xn}(m0的解集.

分析借助對應二次函數的圖象及給定不等式的解集，我們可得到對應二次方程的兩個實數根和二次項系數與零的大小關系，這就是此類問題的求解思路.

評注(1)若給定一元二次不等式的解集為{x|a≤x≤b}或{x|x≤a或x≥b}或{x|ab}的形式，則對應一元二次方程的兩個實數根分別是a和b.

二、借助等價變形，巧解含參分式不等式問題

故所求不等式的解集為{x|-2≤x<1}.

評注(1)由分母x-a≠0 及題設可求得a=2，這是本題整個分析、求解的切入點.(2)一般地，求解分式不等式時要特別關注轉化的等價性；否則，極易出錯.

三、借助二次函數的圖象，巧解比較大小問題

例3 已知函數f(x)=(x-a)(x-b)+1，且a

分析本題可以借助二次函數f(x)的圖象來分析，通過探究實數a,b,m,n對應的幾何意義，以便從“形”的角度順利獲解.

解析如圖，先作直線y=1的圖象，再作f(x)的圖象，二者交于A、B兩點.

∵方程f(x)=0的兩根分別為m和n，且m

∴根據題設條件就可以確定m和n在圖象上的實際位置，即f(x)與x軸的交點，且m

∵方程f(x)=1，即(x-a)(x-b)=0的兩根分別為

a和b，且a

故由圖觀察即知，所求實數a,b,m,n的大小關系是a

評注一般地，運用圖象法分析、解決問題時，必須明確方程f(x)=c的根就是函數f(x)的圖象與直線y=c的交點的橫坐標；特別地，方程f(x)=0的根就是函數f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.

綜上，運用一元二次不等式的解題方法對函數定義域、值域以及以后處理的其它類型不等式,都起著十分重要的作用.逆向應用一元二次不等式的解法的關鍵在于：要善于聯系對應二次方程的根或對應二次函數的圖象進行靈活地思考、分析.