探究基于分類討論的高中數(shù)學解題研究

陳益龍

(江蘇省如皋市第一中學 226500)

分類討論作為一種重要的數(shù)學思想，在高中數(shù)學解題過程中，可以幫助學生快速形成解題思路，找到解題的突破口 ，有利于學生解題能力和數(shù)學素養(yǎng)的提高.對此，在高中數(shù)學教學中，教師要加強對學生解題能力和解題思路的培養(yǎng)，讓學生了解分類討論思想的主要內(nèi)容，并在解決實際問題中可以靈活應用分類討論思想，將分類討論思想滲透到高中數(shù)學解題教學中，形成以分類討論為導向的高中數(shù)學教學體系，提高高中數(shù)學教學的有效性和針對性，進而達到最佳的教學效果.在這樣的環(huán)境背景下，探究基于分類討論的高中數(shù)學解題研究具有非常重要的現(xiàn)實意義.

一、分類討論思想的含義與原則

每個數(shù)學結(jié)論存在各自的成立條件，也使得每種數(shù)學方法在實際使用中具備一定的適用范圍，在實際數(shù)學問題中，很多問題結(jié)論具有不唯一確定性，問題的結(jié)論無法在解題中以一種同一方式來研究，但是問題的解決方法和轉(zhuǎn)化手段均為一致.也就是說，將所有研究問題結(jié)合題目特點與要求劃分為若干類，轉(zhuǎn)化成若干小問題的方式進行解決，數(shù)學界將這種根據(jù)不同情況分類而逐一解決的數(shù)學思想叫做分類討論思想.在高中數(shù)學教學中，分類討論思想的應用原則可表現(xiàn)為以下幾方面：

1.同一性

在解決數(shù)學問題的過程中，要制定統(tǒng)一的分類討論標準，禁止出現(xiàn)一步一個標準進行分類的情況，保證整個標準的一致性和統(tǒng)一性，進而發(fā)揮出分類討論思想的價值和作用.在集合視角上看，若將研究對象當成全集I，則Ai為I的子集，根據(jù)這一標準進行分類，A1∪A2∪…∪An=I，則這一分類(A1，A2，…,An)符合同一性原則.

2.互斥性

在各個元素分類后無任何明顯的交集分類后的同級元素會相互排斥，不能出現(xiàn)越級的情況，各個子項相排斥，分類后的元素不能同時屬于兩個子項.也就是說，針對研究對象I而言，Ai(i=1,2,…,n)是I的子集，且是分類標準，若Ai∩Aj=?(i，j=1,2,…,n，i≠j)，這種分類方式符合互斥性原則.

3.層次性

在解決數(shù)學問題的過程中，若第一次分類后仍無法解決問題，可以開展第二次分類，甚至為多次分類，一直到符合題目要求為止，而分類必須逐級進行，進而實現(xiàn)對數(shù)學問題的解決.

二、基于分類討論的高中數(shù)學解題途徑

1.函數(shù)解題中的分類討論

函數(shù)是高中數(shù)學教學中的重要內(nèi)容，在實際解題中，教師可以引導學生運用分類討論思想構(gòu)建解題思路，培養(yǎng)學生對數(shù)學問題的分析能力和解決能力，有利于學生邏輯思維能力的形成.在解答函數(shù)問題中，函數(shù)參數(shù)值的變化會直接影響函數(shù)結(jié)果，學生要加以注意，在函數(shù)解題中引入分類討論思想，利用參數(shù)的分類討論，讓學生站在各個研究角度上剖析問題，進而提高解題的有效性和精準性.

例如，已知定義在R上的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x，y都滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，且若x>0時，f(x)>0.求

(1)f(0)的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明；

(3)解不等式f(a-4)+f(2a+1)<0.

在解題過程中，針對①②中的問題，明確函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，令y=x=0，由f(x+y)=f(x)+f(y)，得到f(0)=f(0)+f(0)，則f(0)=0.

令y=-x，由f(x+y)=f(x)+f(y)，得f(0)=f(x)+f(-x)，即為0=f(x)+f(-x)，得到f(-x)=-f(x)，由于f(x)定義域是R，關(guān)于原點對稱，說明f(x)是奇函數(shù).

在解題過程中，針對③中的問題，任取x1，x2，并有x10，f(x)>0，且x2-x1>0，得到f(x2-x1)>0，

即f(x2)-f(x1)>0，f(x2)>f(x1)，得到f(x)為R上的增函數(shù).

f(a-4)+f(2a+1)<0，推導出f(2a+1)

2.數(shù)列解題中的分類討論

在解決數(shù)列問題時，教師引導學生運用分類討論思想進行分析題意，提高解決問題的準確性和針對性，特別是針對等比數(shù)列求和和數(shù)列周期性問題，需要學生可以通分類討論的方式，找到問題的實質(zhì)，提高解題效率和解題質(zhì)量.

本題就是用數(shù)列前n項和Sn求數(shù)列的通項公式an問題.

由①-②，得到

3.概率解題中的分類討論

在解決概率問題中，教師要引導學生把分類討論思想和具體問題進行融合，以實現(xiàn)分類解答，先確定問題概率類型，編排已知條件中的數(shù)值，通過分類討論思想對研究對象變量的可能性進行假設，確定有效的選擇方式，在分類討論問題后，得到最終的答案，提高解題效率.

例如，一個口袋中有6個大小相同的小球，其中有2個紅球，分別是A1，A2，有4個黑球，分別是B1，B2，B3，B4，從口袋中一次摸出兩個球，求摸出兩個顏色不同球的概率.在解題中，根據(jù)已知條件，列出所有的基本事件，得到兩個不同顏色的球的方式為(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)共8種可能，則事件概率為8/15.

綜上所述，在高中數(shù)學解題教學中，為了讓學生快速形成解題思路，找到適合的解題方法，可以引入分類討論思想，培養(yǎng)學生的思維能力和解題能力，提高解題效率，進而提高高中數(shù)學教學的有效性.