2019年中國科學技術大學自主招生數學試題及其詳解

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

2019年中國科學技術大學自主招生數學試題共包含8道填空題和3道解答題，涉及集合(第8題)、函數(第10題是用導數解決函數零點問題，第11題是多項式)、三角(第2題)、數列(第5題)、不等式(第1題是線性規劃，第3題是均值不等式)、平面解析幾何(第4題)、立體幾何(第9題)、復數(第6,7題)，其中第10題要用數學歸納法來證明，第11題要用數學歸納法來證明.試題難度是中等.解得由筆者給出.

1.滿足|x+2y|+|3x+4y|≤5(x,y∈R)的點(x,y)所構成的區域的面積是.

2.方程sin2x+cos3x=0(0

6.已知P1(1,0)，O為坐標原點，把線段OPi繞坐標原點O按順時針方向旋轉θ至線段OQi(i=1,2,…).若Pi+1是Qi關于y軸的對稱點，則點P2019的坐標是.(用θ表示)

8.若正整數x1,x2,x3,x4滿足{xixjxk|1≤i

9.已知△D1D2D3的三邊長分別是D1D2=12,D1D3=10,D2D3=8，沿△D1D2D3的三條中位線把該三角形折疊成四面體，求該四面體的體積.

11.若n∈N*，求證：存在多項式P(x)，使得cosnθ=P(cosθ).

參考答案

1.25.可得題設中的區域由下面的四塊組成(設O是坐標原點)：

注由以上解法，可得題中的區域是ABCD及其內部，其中點A,B,C,D的坐標分別是(5,-2.5),(-10,7.5),(-5,2.5),(10,-7.5).可求得直線AB,CD的距離是所以題中的區域的面積是

2.6π.原方程即

進而可得答案.

由三元均值不等式及x>0，可得

再由累加法，可得

又由累加法，可得

進而可得P1(1,0),P2(-cosθ,sinθ),P3(1,0),P4(-cosθ,sinθ),…，還可用數學歸納法證得P2k+1(1,0),P2k+2(-cosθ,sinθ)(k∈N)，所以P2019的坐標是(1,0).

z2+z+3=(a+bi)2+(a+bi)+3=(2a2+a+2)+b(2a+1)i,

8.14.由題設，可得當1≤i

還可得下面的三種情形：

綜上所述，可得x1+x2+x3+x4=14.

如圖3所示，可得四面體ABCD的體積為

注由此解法還可證得下面的結論：若一個四面體的三組對棱長分別相等且分別是a,b,c，則該四面體的體積是

10.(1)先用數學歸納法證明當n是正奇數時，f(x)≥0.

當n=1時，可得f(x)=ex-1-x，用導數易證得f(x)≥0.

再由g(0)=0可得：當x<0時，g(x)<0；當x≥0時，g(x)≥0.

當n=2i+1時，可得f′(x)=g(x).

所以f(x)≥f(0)=0.

得f(x)≥0.

進而可得欲證結論成立.

(2)再證當n是正偶數時欲證結論成立.

綜上所述，可得欲證結論成立.

11.證法1 我們用數學歸納法來證明cosnθ,sinθsinnθ均能表示成cosθ的整系數多項式.

易證n=1時成立：sin2θ=1-cos2θ.

假設n=k(k∈N*)時成立：coskθ,sinθsinkθ均能表示成cosθ的整系數多項式.

當n=k+1時，由

cos(k+1)θ=cosθcoskθ-sinθsinkθ

sinθsin(k+1)θ=sinθsinθcoskθ+sinθsinkθcosθ

=(1-cos2θ)·coskθ+sinθsinkθ·cosθ

及歸納假設知，n=k+1時也成立.

所以欲證結論成立.

證法2我們用步長為2的數學歸納法來證.

(1)當n=1,2時，欲證結論均成立：cosθ=cosθ,cos2θ=2cos2θ-1.

假設n=k,k+1(k是正整數)時均成立：coskθ,cos(k+1)θ均是有理數.

當n=k+2時，由

2cos(k+2)θ=2cosθcos(k+1)θ-2sinθsin(k+1)θ=2cosθcos(k+1)θ+cos(k+2)θ-coskθ,

cos(k+2)θ=2cosθcos(k+1)θ-coskθ

及歸納假設知，n=k+2時也成立.

所以欲證結論成立.

證法3 由棣莫佛(De Moivre，1667～1754)公式，可得

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(n∈N*).

再由二項式定理，將該式左邊展開后與右邊相比較可得

當n=2k-1(k∈N*)時，可得

當n=2k(k∈N*)時，可得

再由sin2θ=1-cos2θ，可得欲證結論成立，且題設中的P(x)是整系數多項式.

注1.本題與2010年高考江蘇卷第23題如出一轍，這道高考題是：

已知△ABC的三邊長都是有理數.

(1)求證：cosA是有理數；

(2)求證：對任意正整數n,cosnA是有理數.

2.本題與2010年高考福建卷文科第16題也聯系緊密，這道高考題是：

觀察下列等式：

(1)cos2α=2cos2α-1；

(2)cos4α=8cos4α-8cos2α+1；

(3)cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1；

(4)cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1；

(5)cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1

可以推測，m-n+p=．