試論線性代數與多項式簡述

蔣瑞祥

（安徽省合肥市新華學院國際教育學院，安徽 合肥 230088）

一、線性代數

（一）線性代數的定理

作為特殊的數學課程，線性代數主要對向量、線性空間、有限維線性方程組及線性變換等內容進行分析。作為關鍵學習內容，線性代數在泛函分析、抽象代數中占據著重要位置，在表達過程中需要借助幾何解析的方式。算子理論就涵蓋了線性代數原理，在研究線性模型一般都是以非線性模型為例，在社會、自然學科領域可以大規模應用線性代數。

基于線性代數下，線性空間、基獨立對應。若非零矩陣A的行列均為n，假定B矩陣存在AB = BA =E，其中單位矩陣表示為E，那么可逆矩陣即為A，A逆陣就是B[1]。可逆矩陣僅在行列式≠0的情況下，象征線性變化為自同構。半正定矩陣只有各特征值≥0，正定矩陣只有各特征值＞0。借助Gramer法則能夠對線性方程組進行求解。

（二）線性方程組解的結構

解的判斷包括：

齊次線性方程組Ax=0有非零解＜=＞r(A)＜n.(或|A|=0，A為方陣)；

非齊次線性方程組Ax=b有唯一解r(A)=r(A,b)=n；

非齊次線性方程組Ax=b有無窮多解r(A)=r(A,b)＜n；

非齊次線性方程組Ax=b無解r(A)?r(A,b)

通過由解的情況判斷矩陣中參數的取值范圍。P95 3 P99 例4.7 P101 3. 4.確立齊次線性方程組:

所有解向量構成向量空間。

基礎解系的維數：n-r（A）；

基礎解系的求法：

1、系數矩陣通過初等行變換化為行最簡形

2、非零首元所在列對應的是非自由變量，其余為自由變量。

3、令自由變量取一組線性無關的值。(通常取單位向量組。)

4、計算其他變量的值。從而確定基礎解系。

非齊次線性方程組：

通解可以通過對應的齊次線性方程組的通解和非齊次線性方程組的一個特解來表示。

二、多項式的運算

作為特殊的數學表達式，多項式涵蓋了系數、變量和系數運算等內容，其中系數運算包括冪運算、加減和乘。針對多項式的界定，可以看作是單個、零個單項式之和，所以整式也算是多項式。然而定理無法僅限于狹義多項式，而不適用單項式。如果多項式包括零，那么負無窮就是次數定義。因此，整式包括了多項式、單項式，其中常數項指的是多項式內無字母的項。

多項式在運算過程中需要遵守下列幾個規則：

首先是加法和乘法

多項式是有限單項式的總和，所涵蓋的單項式類型有所差異，多項式的次數由單項式（系數≠0）最高次數決定。

將相同類型多項式系數進行加和的過程就是多項式加法，要求不改變字母；而乘法則為將多項式內各單項式同其他多項式各單項式進行乘法運算，并進行同類項的合并[2]。

含單位元素的整環為多項式乘法、加法所形成的環，例如F中多項式x1，x2，…，xn全部集合Fx{1,x2，…,xn}。

因式分解唯一性定理適用于存在于域下的多元多項式。

其次是帶余除法。

F[x]下多項式為g(x)、f(x)，且g(x)≠0，F[x]內r(x)、q(x)唯一，符合?(x)=q(x)g(x)+r(x)，g(x)次數＞r(x)。g(x)÷?(x)的商式就是q(x) ，而余式是r(x)。若g(x)=x-α，余元就是r(x)=?(α)，F下元素為α。這種情況下的?(x)=q(x)(x-α)+?(α)是帶余除法的基本形式，也叫作余元定理。g(x)÷?(x)余式=0,作為?(x)因式=g(x)成立的充分必要條件。若?(x)因式為g(x)，則?(x)可以被g(x)整除。?(α)為零是?(x)因式為x-α成立的充分必要條件，則?(x)根即為α。

若?(x)、g(x)二者的共同因式為d(x)，則g(x)、?(x)公因式就是d(x)。若g(x)、?(x)的公因式為d(x)，同時g(x)、?(x)二者隨機因式均為d(x)的因式，則g(x)、?(x)最大公因式即為d(x)。若?(x)為零，則g(x)、?(x)最大公因式就是g(x)。g(x)、?(x)均≠0的情況下，在進行最大公因式運算時就需要借助輾轉相除法。

最后是輾轉相除法

若F[x]為一元多項式環，所含g(x)、?(x)兩大多項式均≠0，r1(x)和q1(x)分別是g(x)÷?(x)的余式及商式。假設r1(x)為零，g(x)、?(x)最大公因式就是g(x)。假設r1(x)不為零，r2(x)和q2(x)分別是 r1(x)÷g(x)的余式及商式。假設r2(x)不為零，g(x)、?(x)最大公因式為r1。

反之需要重復進行上述除法運算，會逐漸降低余式次數，結束有限s次，則存在零多項式或者零次多項式。如果零次多項式是最終余式結果，那么g(x)、?(x)互素；如果零多項式是最終余式結果，那么g(x)、?(x)最大公因式為末次帶余除法的除式。

借助輾轉相除法，對于rs(x)這一g(x)、?(x)最大公因式，能夠通過g(x)、?(x)組合方式進行表示，F中多項式為組合系數[3]。

若g(x)、?(x)最大公因式為零次多項式，則g(x)、?(x)互素。一些多項式廣泛適用互素、最大公因式原理。

若多項式?(x)存在于F[x]內，且起次數≥1，就無法通過 F[x]下低次數多項式乘積進行表示，則F中不可約多項式就是?(x)。

隨機多項式均能夠進行分解，得到不可約多項式的乘積。

形如 Pn(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(1)x+a(0)的函數，稱之為多項式函數，運算過程中需要自變量x、常數在有限次數內進行相加和相乘。顯然，當n=1時，其為一次函數y=kx+b，當n=2時，其為二次函數y=ax^2+bx+c。