含石墨烯分界面有耗分層介質的傳播矩陣*

王飛 魏兵

1) (西安電子科技大學物理與光電工程學院, 西安 710071)

2) (西安電子科技大學信息感知技術協同創新中心, 西安 710071)

給出一種適用于含導電界面的有耗分層介質的傳播矩陣方法.利用相位匹配原理給出斜入射時有耗介質波矢量的實部和虛部, 二者方向不同使得在介質中傳播非均勻平面波.根據邊界條件, 推導了跨越石墨烯界面的傳播矩陣, 以及“無限薄”石墨烯層的反透射系數解析式.最終將傳播矩陣方法推廣應用于含石墨烯界面的有耗分層介質情形, 可用于快速解析分析分層介質與導電界面復合結構的反透射和電波傳播特性.

1 引 言

2004年, 世界上最薄的半導體材料—石墨烯, 由Novoselov和Geim的團隊采用微機械剝離法制備成功[1].石墨烯是由單層碳原子構成的二維晶體結構, 具有高電子遷移率、低電阻率、光學透明性、高靈活性及結構穩定等特性[2], 這使得其在光學和光電傳感等方面具有廣泛的應用前景[3-6],同時也被認為非常適合于太赫茲光學設備[7-10].石墨烯非常薄, 厚度只有約 0.34 nm, 這導致其光吸收率很低, 應用受到限制.為此, 常采用周期摻雜、表面等離子體、光學微腔等方法來增強光學吸收[11-16], 其中利用光子晶體增強石墨烯光吸收是一種常用方法.2012年, Liu 等[17]利用石墨烯和間隔層在一維光子晶體(one-dimensional photonic crystal, 1DPC)表面構造表面缺陷, 導致光的局域化, 使可見光光吸收被增強約 4 倍.2013年, Peres和Bludov[18]利用1DPC使石墨烯的THz吸收增強了超過 3 倍.2014年, Xie 等[19]分析了 1DPC表面石墨烯在應力贗磁場作用下的THz吸收.2018年, Zhang等[20]設計了一種高對比光柵耦合波導結構, 提高了石墨烯在近紅外和可見光頻段的光吸收.

1DPC本質上是一個周期分層介質, 而單層的石墨烯可以看做是“無限薄”的[21], 因此可以把石墨烯和1DPC構造的結構看成一個含石墨烯分界面的分層介質.傳播矩陣方法[22]是一種分析分層介質中光或電磁波傳播特性的解析理論方法, 可以直接計算分層介質對平面電磁波的反透射等.根據電磁理論, 當分層介質中某層為有耗介質時, 該層中的波矢量為復數, 而在斜入射情形下, 考慮相位匹配, 該層中波矢量的實部和虛部并不平行, 即相位和振幅的傳播方向不同, 此時該層中傳播的應為非均勻平面波.本文首先根據相位匹配條件, 推導了有耗分層介質中復數波矢量的實部和虛部, 給出傳播矩陣中所需要的縱向波矢量計算式; 然后考慮石墨烯表面電導率, 根據邊界條件推導了跨越石墨烯分界面的傳播矩陣; 最終, 使得傳播矩陣方法可用于解析分析任意入射角情形下含導電界面有耗分層介質的反透射和電波傳播特性.本文中時諧因子取 e xp(-jωt) .

2 理論公式

2.1 有耗分層介質中的復數波矢量

設平面波從真空入射到n層分層介質, 如圖1所示, 入射角為θ.考慮一般情形, 設各層介質的相對介電系數和磁導系數εrl,μrl(l=1,2,···,n) 皆為復數,

此時, 介質有耗, 介質層中的波矢量kl也為復數.下面來具體分析介質層中的復數波矢量kl.

圖1 分層介質Fig.1.Stratified medium.

各分層中的復數波矢量kl可以寫為

其中kRl和kIl分別表示kl的實部和虛部.如圖1 所示, 入射面為xoz平面, 故有

根據界面處的相位匹配(波矢量切向分量連續)條件可得

即kl的虛部kIl只有z分量, 實部kRl的x分量在每個區域都相同, 都等于區域0中入射波矢量k0的x分量k0x.由此可以看到, 平面波斜入射有耗分層介質時, 介質中波矢量的實部和虛部方向不平行,虛部只有縱向分量.由于波矢量實部代表相位傳播方向, 虛部代表振幅傳播方向, 可知此時平面波是非均勻的, 波矢量為

由電磁波理論可知在有耗介質中[22]有

而由(2)和(5)式可得

則根據(6)和(7)式得

求解(8)式得到

綜上所述, 考慮到相位匹配, 有耗分層介質中平面波的復數波矢量可通過(10)式計算.計算得到波矢量虛部kIl沿z方向, 所以波在介質中沿深度方向衰減.波矢量實部kRl的方向代表波傳播方向,介質中的折射角可以依此計算.

2.2 有耗分層介質的傳播矩陣

對整個分層介質, 在圖1中從入射點M0到透射點Nt的傳播用前向傳播矩陣表示為

其中B0為M0點處下行波幅值.整個分層介質總的前向傳播矩陣為[22]

其中Ul和Vl分別是跨越l-l+1 層界面和第l層中的傳播矩陣.對有耗介質, 傳播矩陣計算時εl,μl取復數, 另外要特別注意klz, 應該按照前述方法計算.

2.3 跨越石墨烯界面的傳播矩陣

單層的石墨烯可以看做是“無限薄”的[21], 石墨烯薄層兩個側面的表面電導率為σg(ω,μc,Γ,T) ,其中ω,μc,Γ和T分別是角頻率、化學勢、散射率和室溫.由Kobu公式得到石墨烯表面電導率表達式為取決于能帶內的能量,而σinter取決于能帶間的能量.因為能帶內的能量占能量主要部分, 所以只考慮σintra這一項, 而忽略σinter項.

σintra可用Drude表達式表示為

式中

為直流電導率, 其中e是電子電量,kB是玻爾茲曼常數, ? 是約化普朗克常量;τ=1/(2Γ) 是電子弛豫時間.

設在分層介質區域l和l+1 的分界面z=zl處有一層“無限薄”石墨烯層, 如圖1所示, 根據電磁理論, 在介質分界面兩側的電磁場滿足邊界條件,所以在分界面z=zl處有

聯合(15)式可得

首先考慮TE波情形, 區域l中的總場可寫為[22]

式中Al和Bl分別代表區域l中的上行波和下行波幅值.在區域l和l+1 的分界面z=zl處, 根據邊界條件(17)和(19)式可得

其中

求解并整理(21)和(22)式可得

其中

是穿越z=zl處石墨烯分界面從Ml點到Nl+1點的TE波前向傳播矩陣.

對TM波情形, 區域l中的總場可寫為

在區域l和l+1 的分界面z=zl處, 根據邊界條件(17)和(18)式可得

其中

求解并整理(27)和(28)式可得

其中

是穿越z=zl處石墨烯分界面從Ml點到Nl+1點的TM波前向傳播矩陣.

實際上, 上述方法中所涉及的石墨烯界面可拓展到表面電導率為σg的導電界面.

綜上, 若分層介質中某界面含“無限薄”導電層, 則可以通過將總傳播矩陣Vt0((12)式)中該界面處的跨界面傳播矩陣Ul=0-n替換為((25)和(31)式), 從而得到含導電界面的分層介質傳播矩陣.相反, 若令σg=0 , 則又可以退化為Ul=0-n, 即為一般電介質分界面.

注意到, 由于石墨烯界面的導電特性, 此處TE和TM波的邊界條件不對偶, 因而其跨界面傳播矩陣在TE和TM波情形下并不對偶.

2.4 “無限薄”石墨烯層的反透射系數

設“無限薄”石墨烯上、下半空間分別為均勻介質 1 和 2, 在 (24)和 (30)式中令l=1 和A2=0 ,結合(25)式、(31)式和反透射系數定義可以得到“無限薄”石墨烯界面的反透射系數

結果和文獻 [23]一致.注意到, 在 (32), (33)和(34)式中若令σg=0 , 則可以自然過渡為一般介質分界面的Fresnel公式.

3 算 例

例1石墨烯單層的屏蔽效率

設各向同性石墨烯層的參數為T= 300 K,μc=0,Γ=0.11MeV, 應用傳播矩陣計算其反透射系數, 進而得到屏蔽效率(shielding effectiveness,SE)[21]隨頻率變化曲線如圖2(b)所示(圖2(a)為該石墨烯層電導率實虛部與頻率的關系曲線).SE的計算結果和文獻[21]結果相符, 同時由圖2可見, 石墨烯層對TM模的SE低于對TE模的.

以下算例中石墨烯層的參數取

圖2 石墨烯電導率和 SE (a) 電導率實虛部; (b) SEFig.2.Graphene conductivity and shielding effectiveness：(a) Real and imaginary parts of conductivity; (b) SE.

例2空氣中石墨烯單層的反透射

設平面電磁波入射真空中一單層石墨烯層, 根據(32)和(33)式可計算得到該石墨烯層的反透射系數, 計算結果如圖3所示.圖3(a)和圖3(b)分別是TE和TM波的反透射系數模值, 其中實線、短劃線、點線分別代表入射角為 0°, 3 0°, 6 0°時的反射系數, 方形、圓形、星形分別代表入射角為 0°,30°, 6 0°時的透射系數.可以看到, 隨著頻率增大,該石墨烯層的反射系數減小而透射系數增大; 隨著入射角增大, TE波反射增強透射減弱, 而TM波相反.

圖3 石墨烯單層的反射和透射系數模值 (a) TE 模;(b) TM 模Fig.3.Modulus of reflective and transmittance coefficients of a graphene sheet：(a) TE mode; (b) TM mode.

例3涂覆石墨烯層的半空間有耗介質(碲化鎘CdTe)界面

設在碲化鎘(CdTe)表面上涂覆著一層石墨烯, CdTe的相對介電系數為[24]

其中ε∞,ωLO,ωTO,γ分別是 CdTe 的高頻極限相對介電常數、縱波光學聲子角頻率、橫波光學聲子角頻率、碰撞角頻率.本算例取文獻[24]給出的測量值

計算得到CdTe的禁帶為

根據(32)和(33)式可計算該CdTe界面的反透射系數, 計算結果如圖4和圖5所示.圖4和圖5分別是TE波和TM波情形, 圖(a)和(b)分別是反射、透射系數模值, 各圖中實線、短劃線、點線分別代表入射角為 0°, 3 0°, 6 0°時不含石墨烯涂層時的情形, 方形、圓形、星形分別代表入射角為 0°,30°, 6 0°時含石墨烯涂層時的情形.由圖4和圖5可見, 石墨烯的高導電特性使得其涂覆CdTe表面后, 反射增強而透射減弱, 并且在禁帶以下的低頻段尤為明顯.

圖4 含石墨烯涂層 CdTe 半空間的反透射系數模值 (TE 模) (a) 反射系數; (b) 透射系數Fig.4.Modulus of reflective and transmittance coefficients of CdTe half-space containing graphene coating (TE mode)：(a) Reflective coefficient; (b) transmittance coefficient.

圖5 含石墨烯涂層 CdTe 半空間的反透射系數模值 (TM 模) (a) 反射系數; (b) 透射系數Fig.5.Modulus of reflective and transmittance coefficients of CdTe half-space containing graphene coating (TM mode)：(a) Reflective coefficient; (b) transmittance coefficient.

圖6 CdTe 半空間的反透射光場 (TE 模) (a) 無石墨烯涂層; (b) 含石墨烯涂層Fig.6.Optical field of reflection and transmission coefficients of CdTe half-space (TE mode)：(a) Without graphene coating;(b) with graphene coating.

圖7 CdTe 半空間的反透射光場 (TM 模) (a) 無石墨烯涂層; (b) 含石墨烯涂層Fig.7.Optical field of reflection and transmission coefficients of CdTe half-space (TM mode)：(a) Without graphene coating;(b) with graphene coating.

圖6和圖7是該 CdTe半空間界面 TE和TM入射波的反透射光場分布, 圖(a)和(b)分別是界面不含和含有石墨烯涂層時的情形, 從圖6和圖7可見, 石墨烯涂層不改變反透射角, 但增強了表面反射, 起到了一定屏蔽作用.

例4涂覆石墨烯層的Si/SiO2周期結構型一維光子晶體

有一含SiO2缺陷層的Si/SiO2周期結構型1DPC, 如圖8 所示.該周期結構周期數N=8 , 介質 a (Si)和介質 b (SiO2)參數為

Si, SiO2層和缺陷層的厚度分別為

圖8 Si/SiO2 周期結構型 1DPCFig.8.Si/SiO2 1DPC with periodic structure.

圖9 含石墨烯涂層 Si/SiO2周期結構 1DPC 的反透射系數 (a) 反射系數; (b) 透射系數Fig.9.Modulus of reflective and transmittance coefficients of Si/SiO2 1DPC containing graphene sheet：(a) Reflective coefficient; (b) transmittance coefficient.

圖9是平面波垂直入射時該光子晶體的反透射系數, 其中圓圈表示無石墨烯涂層時的反透射系數, 作為對比用虛線給出了無耗情形時的反透射系數, 可以看到, 有耗時反透射都有所減弱.圖9中實心和空心星形分別代表石墨烯涂層位于光子晶體表面(第1個界面位置)和底層(最后一個界面位置)時的情形, 可以看到, 在禁帶下方低頻段, 石墨烯涂層的加入使反射增強, 透射減弱,在禁帶內位于底層的石墨烯涂層對反射系數幾乎沒有影響而位于表面的石墨烯涂層對反射系數影響較大, 使之減弱.

圖10是平面波垂直入射時該光子晶體的吸收率曲線, 石墨烯涂層增強了光子晶體的吸收, 而且當石墨烯涂層位于表面時, 石墨烯和間隔層構成的表面缺陷導致光的局域化, 使得THz光吸收被增強[18], 在禁帶及以上頻段, 吸收率顯著提高; 當石墨烯涂層位于底層時, 吸收率的提高不明顯, 而且主要集中在禁帶下方低頻段.

圖10 含石墨烯界面 Si/SiO2周期結構 1DPC 的吸收率Fig.10.Absorbance of Si/SiO2 1DPC containing graphene sheet.

圖12 含石墨烯涂層 Si/SiO2 周期結構 1DPC 的吸收率 (TM 模) (a) 無涂層; (b) 表面涂層; (c) 底層涂層Fig.12.Contour plots of the absorbance of the Si/SiO2 1DPC as a function of the light frequency and the incident angles for the TE mode：(a) Without graphene sheet; (b) graphene sheet on the top; (c) graphene sheet on the bottom.

圖11和圖12分別是TE和TM波情形下, 該光子晶體的吸收率隨頻率和入射角變化的偽色彩圖, 其中子圖(a), (b)和(c)分別是無石墨烯涂層、涂層位于表面和底層時的情形, 整體上看, 位于表面的涂層對光吸收的增強效應更為明顯, 而且對TE波的吸收要強于TM波.

4 結 論

根據相位匹配, 討論給出了平面波斜入射分層介質時, 有耗層中波矢量實部和虛部的計算方法.有耗層中復數波矢量的實部和虛部不平行, 傳播的平面波非均勻.代表波振幅傳播方向的波矢量虛部沿縱向方向, 即波沿深度方向衰減.波矢量實部代表相位傳播方向, 折射角依此計算.依據邊界條件,推導了跨越石墨烯界面的傳播矩陣, 以及“無限薄”石墨烯層的反透射系數解析式.推廣了傳播矩陣方法, 使之可應用于包括含導電界面的有耗分層介質反透射和電波傳播特性的計算和分析, 為分層介質與導電界面復合結構的設計和驗證提供了支撐.