考慮實測初撓度、厚度和殘余應力等缺陷的耐壓球殼極限承載力分析

張 震，王永軍，蔡新鋼，黃進浩，潘廣善，秦 天

（中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082）

0 引 言

“十三五”期間，我國提出了深海進入、深海探測以及深海開發的海洋發展戰略。深海裝備的開發是實施這一戰略的重要保障。與陸地環境不同的是，在深海作業的設備必須能夠承載較大的水壓，以確保其不被破壞。因此，耐壓結構是深海設備的關鍵部件，它直接決定了設備整體的安全性和可靠性。

由于其優良的承壓性能，球殼常被用作深海設備的耐壓結構，如潛艇球面艙壁、潛器載人艙以及深海設備耐壓殼等。耐壓球殼極限承載力計算是球殼結構設計過程中的重要環節，其計算結果的準確性直接決定了深海設備安全儲備大小，較大的計算誤差勢必導致耐壓殼體重量的增加，從而影響深海設備整體性能的發揮。

結構極限承載力即結構所能承載的最大載荷，超過該載荷值后，結構發生破壞，破壞的基本型式包括：較大的局部塑形變形、屈曲和斷裂。一些結構的破壞也經常包含以上三種型式的組合。例如，局部塑形變形會伴隨屈曲發生，局部屈服會降低結構的穩定性。當前深海耐壓殼體多數采用高強鋼或鈦合金制造，殼體壁厚較小；另一方面，根據耐壓殼體的力學特性，其載荷幾乎全部由薄膜壓縮來承受。以上因素導致其破壞形式多為屈曲。屈曲主要有線性和非線性屈曲。由于制造工藝的影響，幾乎所有的球殼均含有一定的缺陷，從而導致多數球殼結構為非線性屈曲。多年來，各國學者針對球殼的非線性屈曲問題進行了大量的理論和試驗研究。美國和俄羅斯科研人員通過大量試驗得出了關于球殼極限承載力的經驗公式。近年來，我國學者圍繞大深度潛水器耐壓球殼的設計進行了不懈的探索。劉濤[1]通過引入非彈性段的材料彈性模量，給出了較厚球殼的屈曲壓力簡易計算公式；王自力等[2]研究了初始幾何缺陷對球殼極限承載力的影響規律；潘彬彬等人[3]研究了各國船級社關于球殼極限強度的設計公式，指出其公式過于保守，需要制定統一的球殼設計公式，并結合有限元方法推導出適用于鈦合金球殼的經驗公式。

由前述研究可以看出，解析法和非線性屈曲分析有限元法是當前耐壓球殼極限承載力計算的主要方法，由于其針對影響極限承載力的因素處理方式不同，計算結果有時會相差很大。本文在非線性屈曲分析有限元法的基礎上，以實測初撓度替代計算過程中所采用的線性屈曲模態，并增加實測厚度和殘余應力的成分，采用ANSYS 軟件的APDL 語言編制了計算程序，使得計算模型更加接近真實情況。為了驗證該方法的有效性，加工了直徑1 000 mm 的球殼，分別進行了加工成型后的初撓度測量、厚度測量、殘余應力測量以及水壓試驗。

1 計算方法

1.1 解析法

Zoelly 于1915 年采用小撓度理論推導出了理想球殼結構的極限承載力計算經典公式，該公式假設材料均勻且各向同性，材料應力應變符合線性關系，結構無初始缺陷。

許多試驗結果表明，耐壓球殼的極限承載力遠低于公式（1）所給出的計算值，這是由于經典理論所做的假定過于嚴格，幾乎所有耐壓球殼均不能滿足上述全部假定條件。

隨后，美國泰勒水池經過大量試驗得到了考慮制造工藝因素的極限承載力計算公式[4]：

式中，Es和Et分別是材料的割線模量和切線模量，cz是制造影響系數，tcr是臨界弧長上的殼板平均厚度，Rcr是球殼外表面的局部曲率半徑。

俄羅斯Krylov 研究院Paliy 等對耐壓球殼的極限強度進行了理論和試驗研究，提出耐壓球殼的臨界壓力公式[5]：

式中，f 為耐壓球殼最大初撓度，t 為球殼厚度，f'為初撓度系數，σe為經典理論（公式（1））所得到的球殼應力，σs為材料的屈服極限，β為綜合考慮了材料性能、幾何缺陷等因素得到的制造效應系數。

潘彬彬等人[6]采用有限單元法針對不同尺度和缺陷的鈦合金球殼結構進行了數值模擬，得到了用于鈦合金球殼極限強度評估的經驗公式，并通過四只鈦合金球殼模型驗證了該經驗公式的準確性。目前，這一經驗公式已被吸收進CCS規范，應用于潛深大于500 m的鈦合金外壓球殼極限強度計算：

式中，k為制造修正偏差系數，t為球殼厚度，Δ為球殼制造最大允許偏差，R為球殼內半徑，Rm為球殼中面半徑，σb為材料抗拉強度。

泰勒水池公式和俄羅斯公式通過一衰減系數的方式考慮了初始缺陷對耐壓球殼承載力的影響，但計算結果偏于保守[7-9]。另外，俄羅斯公式作為球殼的穩定性校核公式，其應用前提是球殼的應力小于規定的許用應力，具有一定的局限性。潘彬彬等人的公式是根據鈦合金材料性能推導得出，對于鋼制結構尚未有大量的試驗驗證。

1.2 非線性屈曲分析

伴隨著計算機科學和技術的快速發展，數值分析方法得以大規模應用。特別是經過近30年的發展，有限單元法的基礎理論和方法已經比較成熟，成為工程領域應用最為廣泛，成效最為顯著的數值分析方法[10]之一。

基于有限單元法的耐壓殼體極限承載力計算主要包括特征值屈曲分析和非線性屈曲分析。特征值屈曲分析對應于分叉屈曲破壞型式，主要針對完善型球殼結構，計算結果遠大于試驗值。目前，應用較為廣泛的是基于初撓度的非線性屈曲分析方法，計算流程見圖1。首先進行特征值屈曲分析，得到某一階屈曲模態。然后將屈曲模態值乘以初撓度系數，施加于非線性屈曲分析有限元模型，用于模擬耐壓球殼初始幾何形狀，輸入材料非線性參數后，即可進行求解，得到非線性屈曲臨界載荷。

圖1 非線性屈曲分析流程圖Fig.1 The flow chart of nonlinear buckling analysis

相比于解析法，數值方法能夠更加準確地求解相應的物理方程，降低計算誤差。但基于特征值屈曲模態的非線性分析方法仍具有一定的缺陷。首先，非線性屈曲分析方法以特征值屈曲形狀作為初始缺陷施加的依據，顯然與實際形狀有出入，導致其計算結果偏于保守[8]。另一方面，計算過程中并未涉及球殼制造過程中的殘余應力和殼板厚度偏差等因素。因此，有必要開展基于實測數據的耐壓球殼極限承載力的計算研究。

2 試驗模型

2.1 試驗模型介紹

圖2 試驗模型結構圖Fig.2 Drawing of test model

試驗模型內徑為1 000 mm，名義厚度16 mm，材料為Q345R，材料性能見表1，詳細尺寸見圖2。試驗模型由兩個同一批次同一規格的整板沖壓半球焊接而成，模型上端設有注水孔，水壓試驗時便于向球殼內部注水，以減緩球殼破壞對試驗設備的沖擊。

試驗模型的制造工藝流程見圖3：熔煉得到的鋼錠通過軋制得到一定厚度的鋼板，并經過性能熱處理后，整板沖壓成半球；然后對沖壓成型后的半球進行消應力熱處理，并組焊，焊接方式為手工焊條電弧焊。探傷成功后，試驗模型即制造完畢。

圖3 球殼制造工藝流程圖Fig.3 Flow chart of spherical shell manufacturing

表1 Q345R材料性能參數Tab.1 Material property parameters of Q345R

2.2 初撓度測量

采用Leica 激光跟蹤儀AT401 進行試驗模型初撓度的測量，基本流程是：首先在球殼外表面等距畫出16 條經線和16 條緯線，測量經線、緯線交點處的空間坐標值，通過測量設備自帶軟件系統擬合得到球殼的球心坐標以及各點初撓度，見圖4。初撓度測點數量為258 個，圖5 為根據測量結果得到的試驗模型初撓度云圖，最大撓度為3.9 mm。提取四條經線上的測點數據進行分析，見圖5，正值表示該測點處殼板沿徑向外凸，負值為內凹。由圖可知，焊縫兩側殼板明顯向球內凹陷。這是由于焊接導致的角變形，使得焊縫及兩側殼板呈V字形，見圖6。理論上，由于球殼赤道焊縫位于角變形的角點上，即V 字形尖端，該位置殼板的下凹幅度也應該是最大的。但是，由于焊縫余高的存在以及測量方法的局限性，一定程度上掩蓋了殼板內凹幅度，使得焊縫處所測得的內凹幅度變小甚至轉變為殼板外凸。

圖4 初撓度測量現場Fig.4 The measurement field of initial defection

圖5 90°經線初撓度測量結果 Fig.5 Measuring result of initial defection at 90°meridian

圖6 典型焊接角變形Fig.6 Typical welding angular deformation

2.3 殼板厚度測量

采用超聲測厚儀進行殼板厚度的測量，測量位置和測點數目與初撓度測量相同。為充分反應殼板厚度的分布規律，提取0°、90°、180°和270°四條經線上的測量結果進行分析，見圖7，正值表示殼板增厚，負值表示殼板減薄。由圖可知，四條經線上殼板厚度分布規律相同，均為兩極小，中間大；局部位置出現殼板減薄現象，減薄量為0.2 mm。這一現象主要是由半球的制造工藝導致的。

2.4 殘余應力測量

圖7 厚度測量結果Fig.7 Measuring result of thickness

目前，常用的殘余應力測量方法為盲孔法和X 射線衍射法，后者對被測試件損害最小。本文選用X 射線衍射法進行殘余應力測量，測量設備為加拿大PROTO 公司iXRD 便攜式殘余應力分析儀，測試精度為±8 MPa，測試深度為10～30 μm（見圖8）。

圖8 殘余應力測量現場Fig.8 The measurement field of residual stress

圖9 測點位置 Fig.9 Measuring position

圖10 殘余應力測量結果Fig.10 Measuring results of residual stress

考慮到殘余應力測量工作量大、耗時長以及球殼對稱的特點，僅在某一條經線上0～90°緯度范圍內選取測量點。殘余應力測點位置見圖9，沿經線分布，垂直于焊縫，距離焊縫橫向距離為0mm 的點位于焊縫中心，距離為100 mm 的點位于焊縫右側100 mm，以此類推。殘余應力測量結果見圖10，橫軸表示測點位置，縱軸為應力值。圖10 中數據點■為縱向（沿焊縫方向）殘余應力σx，曲線a為其擬合趨勢線，由圖可知焊縫附近呈現較大的拉應力，最大為120 MPa；距離焊縫越遠，應力越小，并逐漸轉變為壓應力，最大為-40 MPa；這一趨勢與典型球殼赤道焊縫殘余應力分布一致。數據點☆為橫向（垂直于焊縫）殘余應力σy測量結果，曲線b 為其擬合趨勢線，總體規律與縱向應力相似，最大拉應力達到180 MPa，最大壓應力為-15 MPa。但是，焊縫附近的橫向殘余應力較為分散，在20 mm 和50 mm 處出現較大的峰值。采用四次多項式針對測點數據進行擬合，可得殘余應力與測點位置的關系式（5），可見殘余應力分布與理論相符。

3 結果討論

3.1 水壓試驗結果

為了得到試驗模型的極限承載力，將試驗模型放入大型壓力筒進行外壓試驗，水壓加載過程見圖11，平均加載速率為0.14 MPa/min，當壓力達到17.7 MPa時，壓力筒內傳來一聲巨響，伴隨著水壓直線下降，由此認定試驗模型發生破壞。模型破壞情況見圖12，整體呈碗狀，上半球完全凹陷并與下半球貼合，無裂縫出現。

圖11 水壓加載曲線Fig.11 Hydrostatic test trendline

3.2 基于實測數據的非線性屈曲分析

為了充分考慮實測初撓度、厚度和殘余應力的影響，采用基于有限元軟件ANSYS 的APDL 的二次開發程序，進行極限承載力計算。

考慮實測初撓度、厚度的有限元模型建立方法參考文獻[11]，主要思路是先建立完善的幾何模型并采用shell單元劃分網格，然后根據實測的初撓度數值對相應的節點位置進行修正，最后根據厚度實測值修改相應shell單元相應節點的厚度值。為確保有限元模型球面的連續性、光順性，采用四點插值的方法計算得出相鄰節點的初撓度和厚度，然后逐個修正。

考慮到焊縫金屬表面殘余應力比內部小，而由于應力測定設備的限制，焊接接頭內部的殘余應力無法測量。為了提高計算的準確性，根據表面殘余應力的分布規律外插得到材料內部殘余應力的分布，見公式（6）。有限元計算采用擬合公式（6）進行殘余應力的加載。公式自變量為x，表示某點相對焊縫（即0°緯線）的距離。顯然，同一距離（緯度）上的節點處殘余應力值相同。

圖12 試驗模型破壞情況Fig.12 Destruction of test model

采用弧長法進行計算，圖13 為破壞壓力下試驗模型的等效應力云圖，圖14 為破壞位置徑向位移壓力變化情況，可知試驗模型的極限承載力為19.0 MPa，破壞位置為焊縫上側200 mm 處和上半球頂部，為局部屈服導致的失穩破壞。根據初撓度和殘余應力測量結果可知，該區域初撓度較大，且為壓應力區域。與水壓試驗結果相比，有限元計算結果與試驗值接近，破壞位置與試驗結果一致。

圖13 破壞壓力下球殼應力云圖 Fig.13 Stress cloud chart under ultimate pressure

圖14 破壞點徑向位移隨壓力的變化Fig.14 Radial displacement change with pressure in failure position

3.3 計算方法對比分析

分別采用泰勒水池公式、俄羅斯公式和潘彬彬公式針對試驗模型進行計算，結果見表2。考慮初始幾何缺陷和殘余應力后，有限元計算值與試驗結果較為接近。泰勒水池公式和俄羅斯公式的計算結果均低于試驗值，偏于保守，且球殼的所有非完善性因素均通過單一的衰減系數進行考慮，無法針對單一的影響因素（如殘余應力）進行分析；潘彬彬等人的公式基于鈦合金材料性能推導得出，對于鋼制球殼具有一定的誤差。非線性屈曲分析方法只考慮初撓度缺陷，根據特征值屈曲分析的模態進行初始缺陷的加載，因此，計算所采用的模態對結果影響較大[11]，模態缺陷形式不同，極限承載力不同，破壞形式也不同。

相比于以上方法，考慮初撓度、厚度和殘余應力的非線性屈曲有限元法更加接近結構的真實情況，較解析法具有更強的適應性，最為重要的是，它可以粗略計算出實際結構的破壞位置。

表2 計算結果對比Tab.2 Calculation results of analytic methods

3.4 殘余應力對極限承載力的影響

關于初撓度和殼板厚度對承載力的影響，目前已經過大量的研究并形成定論，而對于殘余應力的影響還未有很多的研究。本文主要通過有限元計算的方法來討論殘余應力對承載力的影響規律。在初撓度和厚度分布恒定的前提下，采用上述ANSYS二次開發程序，分別施加不同的殘余應力幅值計算球殼的極限承載力，結果見圖15，圖中σc為殼體殘余壓應力值，σs為殼體材料屈服極限，Pj為殼體極限承載能力理論計算值，P測為殼體極限承載能力的實測值，橫坐標σc/σs表示殘余壓應力與材料屈服極限的比值，縱坐標Pj/P測表示極限承載力計算值與試驗值的比值。可見，殘余壓應力對耐壓球殼的極限承載力具有削弱作用，隨著壓應力幅值變大，極限承載力逐漸降低。需要指出的是，本文所采用的試驗模型破壞形式為局部屈服導致的整體失穩，殘余壓應力的存在勢必導致材料的提前屈服，從而削弱整體結構的承載性能。

圖15 極限承載力隨殘余應力的變化Fig.15 Ultimate strength change with residual stress

4 結 論

耐壓球殼的極限承載力受到多重因素的影響，如初撓度等，本文基于非線性屈曲分析有限元方法，在考慮實測初撓度、厚度和殘余應力的前提下，采用ANSYS軟件的APDL編制了計算程序，并通過相應試驗模型進行驗證，研究表明：

（1）經過沖壓、焊接等工藝制造的球殼具有明顯的初始缺陷，如赤道焊縫兩側殼板內凹形成的較大初撓度，球殼兩極出現的球殼減薄現象，以及殘余應力在焊縫兩側的規律性分布。

（2）殘余應力中影響極限承載力的主要因素是壓應力，隨著壓應力的增大，極限承載力逐漸降低。

（3）基于實測數據的非線性屈曲有限元方法計算結果與試驗值接近，且能夠粗略預報結構破壞位置，較解析法具有更強的適應性。