兩個矩陣和Drazin逆新的推廣式

楊曉英

(四川信息職業技術學院 基礎教育部, 四川 廣元 628017)

1 引言

設Cm×n表示m×n階復矩陣的集合，A∈Cn×n, 若X∈Cn×n滿足下列方程[1]：

Ak+1X=Ak,XAX=X,AX=XA, 則稱X為A的Drazin逆, 記作X=AD。這里ind(A)=k, ind(A)表示A的指數,Aπ=I-AAD。矩陣的Drazin逆在奇異微分方程、迭代法、控制論中都有廣泛的應用。近年來, 關于矩陣和的Drazin逆的表示，許多學者在不同條件下都做了很多討論[1-11]。其中，文獻[1]給出P2QP=0,P3Q=0,Q2=0和PQP2=0,QP3=0,Q2=0條件下體上兩矩陣和的Drazin逆公式。在以上研究基礎上，本文分別給出在P2QP+PQ2P=0,P2Q2+PQ3=0,P3Q=0,Q3P=0和Q3P+Q2P2=0,PQ2P+PQP2=0,PQ3=0,QP3=0條件下兩矩陣和Drazin逆的表示。這推廣了文獻[1]中的一些結果。關于分塊矩陣Drazin逆的表示一直是許多學者討論的焦點，應用這些結論可以進一步討論分塊矩陣Drazin逆的表示。

下面給出幾個重要的引理。

引理1[2]設A∈Cm×n,B∈Cn×m。則(AB)D=A((BA)D)2B。

引理2[3]設P,Q∈Cn×n, 如果PQ=0, 那么

其中

2 主要結果

文獻[1]給出在P2QP=0,P3Q=0,Q2=0和PQP2=0,QP3=0條件下兩矩陣和Drazin逆的表示，本文我們應用以上引理分別給出在P2QP+PQ2P=0,P2Q2+PQ3=0,P3Q=0,Q3P=0和Q3P+Q2P2=0,PQ2P+PQP2=0,PQ3=0,QP3=0條件下兩矩陣和Drazin逆的表示。這些條件比上面的條件更弱。

定理1設

若P2QP+PQ2P=0,P2Q2+PQ3=0,P3Q=0,Q3P=0。則

這里

J=(PD)2+PQX(PD)2+PQ(PQ)DX,

K=(Q2)D+QP(QP)DY+QPY(Q2)D,

其中，

ind(PQ)=s1, ind(P)=r1，ind(QP)=s2,ind(Q)=r2。

證明由引理1，可知

記

由P2QP+PQ2P=0,P2Q2+PQ3=0,得EF=0。

由條件P3Q=0，得E1E2=0, (E2)2=0。由引理2，通過計算得：

ED=E1D+E2(E1D)2。

又Q3P=0, 得F1F2=0, (F2)2=0。由引理2，得：

FD=F1D+F2(F1D)2。

再由引理3，得

其中

因此

進而

因此，結論顯然成立。

定理2設

若Q3P+Q2P2=0,PQ2P+PQP2=0,PQ3=0,QP3=0, 則

這里

其中，H=(QD)2+(QD)2XPQ+X(PQ)DPQ,

L=(PD)2+Y(QP)DQP+(PD)2YQP,

ind(Q)=s1, ind(PQ)=r1，ind(P)=s2,ind(QP)=r2。

證明由引理1，可知

由Q3P+Q2P2=0,PQ2P+PQP2=0,得EF=0。

由條件PQ3=0，得E1E2=0, (E1)2=0。由引理2，得

ED=E2D+(E2D)2E1。

又QP3=0, 得F1F2=0, (F1)2=0。由引理2，得

FD=F2D+(F2D)2F1。

再由引理3，得

其中

因此

進而

這里，H=(QD)2+(QD)2XPQ+X(PQ)DPQ。L=(PD)2+Y(QP)DQP+(PD)2YQP。

因此，結論顯然成立。

下面的推論是文獻[1]中的重要結果。

推論1[1]設P,Q∈Cn×n，若P2QP=0,P3Q=0,Q2=0，則

其中ind(P2)=n1, ind(QP)=n2。

推論2[1]設P,Q∈Cn×n，若PQP2=0,QP3=0,Q2=0，則

其中ind(P2)=n1, ind(QP)=n2。