用聯系的觀點看二次函數的學習

文黃秀旺（特級教師）

（作者單位：江蘇省南京市江寧區教學研究室）

第四章 二次函數

領 銜 人：黃秀旺

組稿團隊：南京市初中數學黃秀旺名師工作室

聯系，就是事物之間以及事物內部諸要素之間的相互影響、相互制約和相互作用的關系。初中階段函數的學習包含一次函數、反比例函數和二次函數。如果我們能積極運用聯系的觀點來學習二次函數，必將取得事半功倍的效果。

一、“二次函數”的學習內容

從一次函數以及反比例函數的學習來看，學習一種新的函數大致包括以下內容：（1）函數的概念；（2）函數的圖像與性質；（3）函數與相應方程的聯系；（4）用函數解決實際問題?！岸魏瘮怠钡膶W習也是從以上幾個方面展開的。我們了解了二次函數的學習內容就相當于知道了“到哪里去”，否則我們的學習內容將是零碎的，不知道知識展開的一般思路。

二、“二次函數”的學習路徑

二次函數的概念形成，也是像一次函數、反比例函數一樣，通過具體的實例，經歷歸納、抽象、概括等過程（如例1），同時我們也感受到二次函數是描述現實世界中變化規律的數學模型。

例1填空：（1）一粒石子投入水中，激起的波紋不斷地向外擴展，擴大的圓的面積S與半徑r之間的函數關系式是________；

（2）用16m長的籬笆圍成一個長方形的封閉圍欄，圍欄的面積y（m2）與長方形的長x（m）之間的函數關系式為_____；

（3）要給一個邊長為x（m）的正方形實驗室鋪設地板，已知某種地板的價格為每平方米240元，踢腳線價格為每米30元，如果其他費用為1000元，那么總費用y（元）與x（m）之間的函數關系式是_______。

【評析】通過觀察、比較，概括出上述函數關系式的共同之處，進而引出二次函數的概念。

二次函數的圖像與性質的學習，也是經歷先由函數關系式猜想出其性質，然后畫出函數圖像，進一步完善函數的性質，并借助圖像直觀感受到二次函數的一系列性質，體會到數形結合的思想。

例2請你說說函數y=2x2具有哪些性質？

【評析】首先通過關系式發現，2＞0，無論x取何值，總有x2≥0，所以y≥0；由于字母x的指數為2，所以x取互為相反數的兩個數時，其函數值相等，進一步分析可知函數圖像具有對稱性。然后通過畫函數圖像，借助圖像獲得更多函數的性質。

類似于一次函數，二次函數與一元二次方程的聯系，也是從表達式和圖像兩個角度來理解的。從關系式看，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函數y為0時，自變量x的取值；從二次函數的圖像看，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標。當然，借助二次函數的圖像可以理解ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0的意義。

例3函數y=ax2+bx+c的圖像如圖1所示，那么關于x的方程ax2+bx+c-4=0的根的情況是（ ）。

圖1

A.有兩個相等的實數根

B.有兩個異號的實數根

C.有兩個不相等的實數根

D.沒有實數根

【評析】根據拋物線的頂點的縱坐標為4，判斷方程ax2+bx+c-4=0的根的情況即是判斷函數y=ax2+bx+c的圖像與過點（0，4）且與x軸平行的直線的交點情況。

例4如圖2是二次函數y=ax2+bx+c的部分圖像，由圖像可知不等式ax2+bx+c＜0的解集為（ ）。

A.x＜-1或x＞5 B.x＞5

C.-1＜x＜5 D.無法確定

圖2

【評析】由圖像可知對稱軸是過點（2，0）且與y軸平行的直線，與x軸一個交點是（5，0），則另一個交點為（-1，0），結合函數圖像即可求得ax2+bx+c＜0的解集。

運用二次函數解決實際問題，也與一次函數、反比例函數類似，根據實際問題中的相等關系，建立函數關系式，然后利用函數的性質解決問題。

當了解了“二次函數”的學習路徑時，我們不僅知道“到哪里去”，更知道“怎么到那里”。從中領悟到研究函數的方法，有利于提升探究能力，發展數學學科素養。

以上我們更多看出二次函數與一次函數、反比例函數之間的類似之處或相同之處，但聯系的觀點并不僅僅是相似，也有不同之處。接下來重點交流“二次函數的圖像與性質”。

三、“二次函數的圖像與性質”的深思考

許多同學會脫口而出“列表、描點、連線”，我不禁想問，對二次函數來說，怎么列表（列表指表中給出一些自變量的值及其對應的函數值，下同）呢？現在想想看，因為一次函數的圖像是直線，所以列表時即使隨意也沒有關系。而二次函數的圖像不是直線，所以列表就沒有那么“隨意”了。那該怎么辦呢，我想最好的辦法是嘗試，只要幾位同學一起嘗試，相信對畫二次函數圖像之前的列表這一步就會感到困惑，這樣的困惑就是一種寶貴的學習財富。嘗試之后我們發現，二次函數的圖像是軸對稱圖形，所以回頭反思，列表是在認識圖像是軸對稱圖形之下的理性作為，而不可以“任性”。

那連線呢？毫無疑問，連線不是用直尺連接兩個點。從一次函數到反比例函數，大家在“連線”這步是有體會的。同樣，對于二次函數，連線就是用平滑的曲線順次連接各點，它的圖像是“曲線”，我們稱為拋物線。

例5 畫出函數y=-x2+1的圖像。

【評析】畫二次函數的圖像的一般步驟是列表、描點、連線。其中列表是關鍵，通過關系式明晰了圖像的頂點坐標、圖像的對稱性，在此認識下的“列表”才是明智之舉。如本例的列表：

-3 -2 -1 0 1 2 3 ……x y……

通過二次函數的圖像，我們發現二次函數有許多性質，比如，圖像是軸對稱圖形，圖像的開口方向因a的符號而不同，圖像有最低點或最高點，在對稱軸的左右兩邊函數y與自變量x的變化情況不同。這些性質與一次函數、反比例函數的性質不同，但觀察圖像的視角有相似之處，所以我們在探究二次函數的圖像與性質時，既要借助一次函數、反比例函數來聯想，也要知道它們之間的不同之處。

總之，只要我們善于用聯系的觀點看二次函數的學習，我們就可以對函數這一知識板塊有整體的認識。我們不僅習得與二次函數相關的知識與方法，更能提升我們探究函數的能力，乃至提升我們探究數學的能力。