表格中的二次函數(shù)

文夏乾冬

（作者單位：江蘇省南京江寧開發(fā)區(qū)學(xué)校）

我們知道，函數(shù)有三種表示形式：表達(dá)式、表格、圖像。很多同學(xué)在解決相關(guān)給出表格類的二次函數(shù)問題時(shí)，往往會(huì)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)表達(dá)式，或者畫出圖像求解，反而忽視了表格的優(yōu)越性。下面我們舉例如何利用表格的特點(diǎn)解決“表格中的二次函數(shù)”問題。

一、表格中的自變量間距相同

表格中自變量間距相同，保證了連續(xù)點(diǎn)的對稱性?？梢愿鶕?jù)表格中y的相同一組或多組值，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性，找到其他關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：

則當(dāng)x=5時(shí)，y的值為_______。

【分析】根據(jù)表格的對稱性得出函數(shù)的對稱軸是直線x=2，找出函數(shù)圖像上的點(diǎn)（5，y）和點(diǎn)（-1，10）關(guān)于直線x=2對稱，即可得出答案。

【解答】根據(jù)表格得出函數(shù)的對稱軸是直線x=2，所以函數(shù)圖像上的點(diǎn)（5，y）和點(diǎn)（-1，10）關(guān)于直線x=2對稱，即當(dāng)x=5時(shí)，y=10，也可以根據(jù)表格的對稱性補(bǔ)全表格：

故答案為：10。

例2已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：

_____x_____y…__…___-4__3___-3__-2__-2__-5__-1___-6__0___-5__……_

則方程ax2+bx+c=0（a≠0）的正數(shù)解x1的取值范圍是（ ）。

A.0＜x1＜1 B.1＜x1＜2

C.2＜x1＜3 D.3＜x1＜4

【分析】求方程ax2+bx+c=0的解，也就是當(dāng)y=0時(shí)x的值，在表格中很容易看出y=0介于3與-2之間，那么對應(yīng)的x的值在-4與-3之間，也就是負(fù)數(shù)解的范圍。根據(jù)表格中數(shù)據(jù)的對稱性，可以找出頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-6），從而找出正數(shù)解的范圍。

【解答】根據(jù)表格的對稱性補(bǔ)全表格：

____x____y…_…__-4_3__-3_-2_-2_-5_-1__-6_0__1__-5_-2__2__3__……

在表格中很容易看出y=0介于-2與3之間，那么對應(yīng)的x的正的值在1與2之間，也就是正數(shù)解的范圍是1＜x1＜2，故選：B。

【點(diǎn)評】此題還可以利用一般式或頂點(diǎn)式先求出二次函數(shù)的解析式：y=x2+2x-5，然后解方程：x2+2x-5=0，求出方程的解：x1= 6-1，x2=-6-1，然后判斷出 6-1在1與2之間，從而得到答案B。對比兩種解法，我們可以看出利用表格特點(diǎn)解題的簡便與快捷。

二、表格中的自變量間距不同

表格中自變量間距不同，破壞了連續(xù)點(diǎn)的對稱性，我們可以通過補(bǔ)充遺漏的自變量的值，使表格中自變量間距相同，利用表格的對稱關(guān)系，最大限度完善x和y的對應(yīng)值。

例3二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分對應(yīng)值如下表：

x y……-3 7-2 0 0 1 3-8-9-5 5 7……

則當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍是___。

【分析】本題中可以發(fā)現(xiàn)自變量間距不同，可以補(bǔ)充遺漏的自變量的值，使表格中自變量間距相同。

x_y_…_…_-3_7__-2_0_____-1__0__-8_-____9 1_2__3-5___4_ 5_7_……

然后再根據(jù)表格的對稱性補(bǔ)全表格，從而得到答案。

【解答】補(bǔ)全表格如下：

x_y_…_…_-3_7__-2_0_-1_-5_-8_-9_-_____8-5 0__1__2__3_4_0_5_7_……

從而得到：當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍是-2≤x≤4。

例4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的y與x的部分對應(yīng)值如下表：

_______x________y…___…___0____2____1____4____3____2___4___-2___…_…_

則下列判斷中正確的是（ ）。

A.拋物線開口向上

B.拋物線與y軸交于負(fù)半軸

C.當(dāng)x=-1時(shí)，y＞0

D.方程ax2+bx+c=0（a≠0）的負(fù)根在0與-1之間

【分析】自變量間距不同，補(bǔ)充遺漏的自變量的值，補(bǔ)全表格，然后根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及數(shù)據(jù)的變化趨勢解決問題。

【解答】補(bǔ)全表格如下：

____x____y…__…__-1__-2__0___2___1___4___2___4___3___2__4__-2_……

從表中可以看出：當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，y的值先變大后變小，可以發(fā)現(xiàn)拋物線開口向下，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)x=0時(shí)，y=2，得到拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，2），在y軸正半軸，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2＜0，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；y=0時(shí)介于-2與2之間，那么對應(yīng)的x的負(fù)值在-1與0之間，所以方程ax2+bx+c=0（a≠0）的負(fù)根在-1與0之間，D選項(xiàng)正確。故選：D。

【點(diǎn)評】本題可以通過求函數(shù)關(guān)系式來解決，但過程涉及多個(gè)運(yùn)算（代入求值、解方程組、解一元二次方程等），也可以通過畫圖像來解決，但由于點(diǎn)較少，很難準(zhǔn)確畫出，給準(zhǔn)確結(jié)論的得出帶來一些不確定因素，導(dǎo)致解題的效率和準(zhǔn)確率大大降低。