改編課本例題 結(jié)構(gòu)一以貫之

文謝蓓蓓

（作者單位：南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校仙林分校麒麟中學(xué)）

函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)模型，用二次函數(shù)解決問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)。教材中的例題蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思想方法，往往是中考的重要素材。下面對(duì)蘇科版《數(shù)學(xué)》教材中“5.5用二次函數(shù)解決問(wèn)題”的問(wèn)題2以及練習(xí)進(jìn)行改編并延伸（見(jiàn)例題），希望幫助同學(xué)們加深對(duì)此類問(wèn)題的理解。

例題某產(chǎn)品每件的成本是12元，已知銷售單價(jià)x元與日銷售量y件之間的關(guān)系式是y=200-10x，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大？請(qǐng)求出此時(shí)的最大利潤(rùn)。

【解析】應(yīng)用題中的總利潤(rùn)通常可以使用兩種辦法獲得：（1）總售價(jià)-總進(jìn)價(jià)，即單個(gè)售價(jià)×銷量-單個(gè)成本×銷量；（2）單個(gè)利潤(rùn)×銷量，即（單個(gè)售價(jià)-單個(gè)成本）×銷量。結(jié)合本題，使用（1），可列出代數(shù)式x（200-10x）-12（200-10x）；使用（2），可列出代數(shù)式（x-12）（200-10x）。無(wú)論是從思考的方式上還是從代數(shù)式形式上看，方法2更加簡(jiǎn)潔，更推薦使用。此時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)總利潤(rùn)式子的結(jié)構(gòu)是C=A·B（A、B分別代表單個(gè)利潤(rùn)、銷售量），接下來(lái)我們也可以從結(jié)構(gòu)的角度解決此類問(wèn)題。

解：設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意可得：

w=（x-12）（200-10x）

=-10x2+320x-2400

=-10（x-16）2+160。

當(dāng)x=16時(shí)，w的值最大，最大值是160。

答：銷售單價(jià)定為16元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，此時(shí)的最大利潤(rùn)是160元。

變化1某產(chǎn)品每件的成本是12元，已知每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如圖所示，要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？

【解析】根據(jù)總利潤(rùn)的結(jié)構(gòu)C=A·B，只需要表達(dá)A和B，A在上題中已經(jīng)表示過(guò)了，那么只需要表示B即可。圖中的線段告訴我們，日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，所以可以利用待定系數(shù)法先求出y和x的函數(shù)關(guān)系式，這樣就可以將這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為例題來(lái)解決。

解：設(shè)y=kx+b，根據(jù)題意可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

變化2某產(chǎn)品每件的成本是12元，已知每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：

x（元）y（件）13 70 14 60 15 50……

若日銷售量y（件）是銷售價(jià)x（元）的一次函數(shù)，要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？

【解析】一次函數(shù)常見(jiàn)的表達(dá)形式有關(guān)系式、圖像和表格三種，此題中給出了一次函數(shù)的表格形式。和變化1一樣，只需要表示B即可。題中告訴我們?nèi)珍N售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，可以利用待定系數(shù)法先求出y和x的函數(shù)關(guān)系式，這樣就可以將這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為例題來(lái)解決。

解：設(shè)y=kx+b，根據(jù)題意可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

變化3某產(chǎn)品每件的成本是12元，若以成本價(jià)銷售，每天的銷量是80件。如果每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每漲價(jià)1元，產(chǎn)品的日銷售量就減少10件，要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？

【解析】此題中“每漲價(jià)1元，產(chǎn)品的日銷售量就減少10件”其實(shí)就是一次函數(shù)關(guān)系的文字描述。那么在解題方法上也有三種：（1）根據(jù)題意，價(jià)格為13元時(shí)，銷量是70元，下面可以利用待定系數(shù)法求出銷售量y（件）與售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式：y=-10x+200，解題思路和變化1類似；（2）從結(jié)構(gòu)入手，B的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是“D-E”，即“80-10（ ）”，而括號(hào)里的內(nèi)容就是“漲價(jià)后增加了多少錢”，若設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為x元，顯然可用“x-12”表示，所以B可以表示為80-10（x-12）；（3）借助（2）中的思路，設(shè)每件產(chǎn)品漲價(jià)x元，那么E中括號(hào)里的內(nèi)容可以直接表示為x，不一樣的是A的代數(shù)式也要變成x。歸根結(jié)底，就是用不同的方法表示A或者B。

解法1：設(shè)每件的銷售價(jià)為x元，銷售量為y件，根據(jù)題意知y=kx+b，可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

解法2：設(shè)每件的銷售價(jià)為x元，日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意可得：

w=（x-12）［80-10（x-12）］

=-10x2+320x-2400。

下面的做法可參考例題，略。

解法3：設(shè)每件漲價(jià)x元，日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意可得：

w=x（80-10x）

=-10（x-4）2+160。

當(dāng)x=4時(shí)，w的值最大，最大值是160。

答：銷售單價(jià)定為16元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，此時(shí)的最大利潤(rùn)是160元。

變化4某產(chǎn)品每件的成本是12元，若每件產(chǎn)品以售價(jià)17元銷售，每天的銷量是30件。如果每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每降價(jià)1元（價(jià)格不可低于成本），產(chǎn)品的日銷售量就增加10件，要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？

【解析】首先仍然明晰結(jié)構(gòu)C=A·B。若設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為x元，A可以表示為“x-12”。根據(jù)變化3中的思路，可以利用待定系數(shù)法表達(dá)B中銷售量和銷售價(jià)之間的關(guān)系，也可以根據(jù)題意表達(dá)B中的式子為“30+10（17-x）”。當(dāng)然也可以設(shè)降價(jià)x元，間接表達(dá)出A和B。

解法1：設(shè)每件的銷售價(jià)為x元，銷售量為y件，根據(jù)題意知y=kx+b，可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

解法2：設(shè)每件的銷售價(jià)為x元，日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意可得：

w=（x-12）［30+10（17-x）］

=-10x2+320x-2400。

下面的做法可參考例題，略。

解法3：設(shè)每件降價(jià)x元，日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意可得：

w=（17-x-12）（30+10x）

=-10（x-1）2+160。

當(dāng)x=1時(shí)，w的值最大，最大值是160。

答：銷售單價(jià)定為16元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，此時(shí)的最大利潤(rùn)是160元。

變化5某產(chǎn)品每件的成本是12元，若每件產(chǎn)品以售價(jià)17元銷售，每天的銷量是30件。如果每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每降價(jià)3元（價(jià)格不可低于成本），產(chǎn)品的日銷售量就增加30件，要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？

【解析】和變化4相比，只有一句話不一樣，其實(shí)“每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每降價(jià)3元，產(chǎn)品的日銷售量就增加30件”在數(shù)量關(guān)系上就等同于“每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每降價(jià)1元，產(chǎn)品的日銷售量就增加10件”，所以就可以把變化5轉(zhuǎn)化為變化4。類似地，如果出現(xiàn)“每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每降價(jià)0.5元，產(chǎn)品的日銷售量就增加5件”，同樣可以轉(zhuǎn)化為變化4。