具有非線性發(fā)生率且含Ornstein-Uhlenbeck過程的SIS傳染病模型

李海燕，韋煜明，彭華勤

( 廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西桂林 541004)

0 引言

傳染病歷來是危害人類健康的大敵，用數(shù)學(xué)模型描述傳染病的病理機(jī)制已經(jīng)有很長的歷史，其中最經(jīng)典的模型是Kermack和McKendrick提出的用于描述麻疹、乙肝等傳染病的SIR倉室模型[1]，讓傳染病模型進(jìn)入了定量分析的時代. 隨著問題的深入，人們開始研究一些由SIR演化而來的模型[2-4]，討論其動力學(xué)性質(zhì)，得到疾病滅絕的條件.然而，在實際生活中，傳染病系統(tǒng)不可避免的受到環(huán)境噪聲的干擾.因此，越來越多的學(xué)者在傳染病建模中考慮隨機(jī)因素的影響，并研究了隨機(jī)傳染病模型的動力學(xué)行為[5-8]. 例如Lin等[9]提出了白噪聲干預(yù)下的隨機(jī)SIS傳染病模型

(1)

其中B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，σ2>0表示白噪聲強(qiáng)度，S(t)表示t時刻易感者人口的數(shù)量，I(t)表示t時刻感染者人口的數(shù)量， 假設(shè)總?cè)丝诓蛔儯碨(t)+I(t)=N，β表示疾病的傳播系數(shù)，μ表示自然死亡率，γ表示疾病的恢復(fù)率，文獻(xiàn)[9]的作者研究了模型(1)中疾病滅絕與持久的條件以及波動強(qiáng)度對疾病產(chǎn)生的影響.張麗萍等人[10]研究了如下具有非線性發(fā)生率的隨機(jī)SIS傳染病模型的動力學(xué)行為

(2)

其中α是飽和發(fā)生率，張麗萍等人利用Feller檢測和隨機(jī)比較原理得到了決定疾病滅絕和持久的隨機(jī)基本再生數(shù).

dβ(t)=θ(βe-β(t))dt+ξdB(t)，

(3)

其中，θ和ξ為正常數(shù)，θ為回復(fù)速率，ξ為波動強(qiáng)度，βe為接觸系數(shù)的長期平均水平.對(3)式積分，得到

，

(4)

其中，β0∶=β(0).易知β(t)的期望為

E[β(t)]=βe+(β0-βe)e-θt，

(5)

β(t)的方差為

(6)

因此，(4)式可寫成如下形式

(7)

其中

因為在實際生活中，染病者與易感者的接觸率不一定滿足雙線性關(guān)系，即疾病的發(fā)生率一般是非線性的，所以本文在[10，11]的基礎(chǔ)上，為了更好的描述環(huán)境變化對傳染病的影響，主要研究一個包含Ornstein-Uhlenbeck過程且具有非線性發(fā)生率的隨機(jī)SIS傳染病模型.將(7)式代入到模型(2)中，得到如下隨機(jī)模型

因為S(t)+I(t)=N，所以只考慮如下方程：

(8)

其中初值I(0)=I0∈(0，N).

基于文獻(xiàn)[10]的理論，本文通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，利用鞅的強(qiáng)大數(shù)定理等相關(guān)的隨機(jī)微分方程的知識，討論SDE模型(8)疾病持久和滅絕的條件，并且研究波動強(qiáng)度和回復(fù)速率對疾病的影響.

1 全局正解的存在性和唯一性

對于模型(8)這樣一個隨機(jī)微分方程，首先考慮其解的存在唯一性.本文中記

a∧b=min{a，b}，a∨b=max{a，b}.

定理1.1 對任意初值I0∈(0，N)系統(tǒng)(8)存在唯一的正解，并且對所有的t≥0，I(t)依概率1位于(0，N)中.即

P{I(t)∈(0，N)∶t≥0}=1

τ∞=∞a.s.，則τe=∞(I(t)∈(0，N)).

現(xiàn)用反證法證明τe=∞a.s..

如果τ∞<∞，則存在T>0和ε∈(0，1)使得P(τ∞≤T)>ε.因此存在一個正整數(shù)k1>k0使得對所有的k>k1滿足

P(τk≤T)≥ε，

定義一個C2-函數(shù)V∶(0，N)→R+如下

其中

如果β0≤βe，則βe+(β0-βe)e-θt≤βe；如果β0>βe，則βe+(β0-βe)e-θt≤β0.因此

LV(I)≤CV(I)

因此

由Grouwall不等式知

EV(I(t∧τk))=V(I0)eCT

(10)

V(I(τk，ω))≥k，

根據(jù)(10)式有

V(I0)eCT≥E[XΩk(ω)V(I(τk，ω))]≥kε，

令k→∞，則∞>V(I0)eCT>∞，矛盾，所以τ∞=∞a.s.，即系統(tǒng)(8)存在全局唯一正解.

2 疾病的滅絕性與持久性分析

2.1 疾病的滅絕性分析

定理2.1 如果

(11)

或

(12)

則對于任意初值I0∈(0，N)，SDE模型(8)的疾病滅絕.

(13)

其中

記

易證

根據(jù)(13)式，有

(14)

因為

是一個局部鞅，根據(jù)鞅的強(qiáng)大數(shù)定理[15]知

根據(jù)(14)式有

在條件(12)下

同理，根據(jù)(13)式有

所以

2.2 疾病的隨機(jī)持久性性分析

(15)

和

(16)

其中

(17)

是

a3)當(dāng)x∈(ρ，N)時，f(x)<0且嚴(yán)格單調(diào)遞減.

現(xiàn)在證明(15)式成立，假設(shè)(15)式不成立，則存在一個充分小的ε∈(0，1)，使得

I(t，ω)≤ρ-ε(t≥T(ω))，

(18)

選擇充分小的ε使得f(0)>f(ρ-ε).根據(jù)a1)a2)和a3)式有

f(I(t，ω))≥f(ρ-ε) (t≥T(ω))，

(19)

根據(jù)鞅的強(qiáng)大數(shù)定理，存在Ω2∈Ω和P(Ω2)=1，使得對每一個ε∈Ω2，有

(20)

(i)如果β0>βe，則有

現(xiàn)在固定ω∈Ω1∩Ω2，根據(jù)(19)，(20)兩式，對T≥T(ω)時

則有

因此

這與(18)式矛盾，所以(15)式成立.

(ii)如果β0<βe，則有

則存在Ω3∈Ω且P(Ω2)=1，使得對每一個ω∈Ω3，

現(xiàn)在固定ω∈Ω1∪Ω2∪Ω3，同樣得到

這與(18)式矛盾，所以(15)式成立.

現(xiàn)在證明(16)式，如果(16)式不成立，則存在一個充分小的δ∈(0，1)，使得P(Ω4)>δ，其中

I(t，ω)≥ρ+δ(t≥T(ω))

(21)

根據(jù)a2)，a3)和(20)式知

f(I(t，ω))≤f(ρ+δ) (t≥T(ω))

(22)

則此時存在一個Ω5?Ω且P(Ω5)=1，使得對每個ω∈Ω5，

固定ω∈Ω2∪Ω4∪Ω5，根據(jù)(13)，(20)和(22)知，對t≥T1(ω)有

綜合(21)式，有

因此

這與(21)式矛盾，從而(16)式成立.

3 波動強(qiáng)度和回復(fù)速率對疾病的影響

定理2.1和定理2.2討論了環(huán)境干預(yù)下疾病滅絕性和持久性，接下來將討論波動強(qiáng)度和回復(fù)速率對傳染病動力學(xué)的影響.

ρ是嚴(yán)格遞減的，并且有

和

證明：計算

因為

同時有

當(dāng)R0>2時，

當(dāng)1

定理3.1得證.

ρ是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，并且有

和

證明：計算

因為

因為ρ關(guān)于θ是嚴(yán)格單調(diào)遞增的并且有界，所以有

同時有

當(dāng)時R0>2，

當(dāng)1

定理3.2得證.

4 結(jié)論

本文利用隨機(jī)微分方程的相關(guān)知識，討論了一個具有非線性發(fā)生率且含Ornstein-Uhlenbeck過程的隨機(jī)SIS傳染病模型疾病滅絕與持久性的條件.更精確的說，如果θ>θ*或者ξ<ξ*，疾病將持久；如果θ<θ*或者ξ>ξ*，疾病將滅絕.這說明大的波動強(qiáng)度和小的回復(fù)速率有助于抑制疾病的爆發(fā)，因此，可以通過增大波動強(qiáng)度或減少回復(fù)速率來控制疾病的爆發(fā)，這在生物學(xué)上為疾病的控制提供了理論依據(jù).