兩險(xiǎn)種廣義復(fù)合Poisson 模型資金下降到初始盈余的貼現(xiàn)罰金函數(shù)

李婧彬，王秀蓮，鄒 華

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

在風(fēng)險(xiǎn)理論中，破產(chǎn)理論的研究占有很重要的地位.Gerber 和Shiu[1]考慮破產(chǎn)時(shí)刻、破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)時(shí)赤字的聯(lián)合分布，研究了Gerber-Shiu 函數(shù)（即期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)）的表達(dá)式. 自此多數(shù)研究破產(chǎn)理論的問題就轉(zhuǎn)化為建立函數(shù)求解的問題.事實(shí)上，Gerber-Shiu 函數(shù)是破產(chǎn)概率更一般的形式.經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型描述的是索賠為單一險(xiǎn)種的復(fù)合Poisson 模型，為將經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行推廣，許多文獻(xiàn)研究了包含多險(xiǎn)種的各種模型[2-10].文獻(xiàn)[2]考慮保費(fèi)到達(dá)過程和個(gè)體索賠過程為相互獨(dú)立的Poisson 過程，運(yùn)用鞅論的方法得出兩險(xiǎn)種模型破產(chǎn)概率滿足的Lundberg 不等式和一般公式.文獻(xiàn)[3]研究常利率相依帶干擾的2 險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率，得到最終破產(chǎn)概率滿足的一般表達(dá)式及生存概率滿足的積分微分方程.文獻(xiàn)[4]研究具有相依索賠及常利率的復(fù)合Poisson 風(fēng)險(xiǎn)模型，得到Gerber-Shiu 期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)的積分微分方程和一個(gè)關(guān)于期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)的Volterra 形式的積分方程.文獻(xiàn)[5]討論一類常利率下帶干擾的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了破產(chǎn)概率的表達(dá)式和Lundberg 不等式.文獻(xiàn)[6]研究帶干擾混合保費(fèi)的多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了這種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率所滿足的不等式及其一般公式.文獻(xiàn)[7]考慮隨機(jī)投保費(fèi)下多險(xiǎn)種破產(chǎn)模型，得到了破產(chǎn)概率的表達(dá)式. 文獻(xiàn)[8-9]分別考慮了復(fù)合Poisson-Geometric過程的雙險(xiǎn)種和多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，得出破產(chǎn)時(shí)刻的期望現(xiàn)值和矩母函數(shù)滿足的積分微分方程. 文獻(xiàn)[10]考慮重尾分布的多險(xiǎn)種復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了其總索賠過程和總索賠盈利過程的大偏差.

本文考慮兩險(xiǎn)種廣義復(fù)合Poisson 模型的破產(chǎn)問題，結(jié)合破產(chǎn)前的盈余與赤字的聯(lián)合分布得出了初始盈余為0 時(shí)關(guān)于停時(shí)的貼現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分微分方程和更新方程，并求解了停時(shí)的矩.

1 貼現(xiàn)罰金函數(shù)的積分微分方程和更新方程

考慮兩險(xiǎn)種的廣義復(fù)合Poisson 模型

其中：U（t）為保險(xiǎn)公司在時(shí)刻t 的盈余；u≥0 為保險(xiǎn)公司的初始盈余；c≥0 為單位時(shí)間內(nèi)保險(xiǎn)公司收取的保費(fèi)；S（t）為保險(xiǎn)公司在時(shí)間（0，t]的總索賠額.{N1（t）：t≥0}和{N2（t）：t≥0}分別為具有強(qiáng)度λ1＞0 和λ2＞0（λ1+λ2=λ）的廣義齊次Poisson 過程，且兩者相互獨(dú)立，N1、N2表示保險(xiǎn)公司在（0，t]賠付的總次數(shù).取值于（0，∞）的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量Xik表示第i 類險(xiǎn)種的第k 次索賠發(fā)生時(shí)的索賠額，其相應(yīng)的分布函數(shù)為Pi（x），i=1、2.設(shè)Pi（x），i=1、2 是可微的，Pi′=pi為索賠額的概率密度函數(shù).

設(shè)保險(xiǎn)公司的盈余達(dá)到初始盈余之下的時(shí)刻（停時(shí)）為

當(dāng)u=0 時(shí)，T 即為初始盈余為0 時(shí)經(jīng)典理論中的破產(chǎn)時(shí)刻.初始盈余為U（0）=u≥0 時(shí)的破產(chǎn)概率為

令μi為第i 類險(xiǎn)種的索賠額分布的數(shù)學(xué)期望，即μi== E（Xik），i = 1、2. 為確保{U（t）}有一個(gè)正漂移，假設(shè) c ＞（λ1μ1+ λ2μ2）/λ，因此有U（t）= ∞.

對(duì)于給定的U（0）=u≥0，考慮破產(chǎn)前盈余 U（T-）、破產(chǎn)時(shí)赤字U（T）和停時(shí)T 的聯(lián)合概率密度函數(shù)f（x，y，t|u）.對(duì)于 δ≥0，定義

其中δ 表示利息因子.設(shè)關(guān)于破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)赤字的罰金函數(shù)為 W（U（T-），|U（T）|），對(duì)于 u≥0，關(guān)于停時(shí)T 的貼現(xiàn)罰金函數(shù)為

定理1貼現(xiàn)罰金函數(shù)φ（u）滿足積分微分方程

其中

證明給定很小的實(shí)數(shù)h ＞0，考慮在時(shí)間區(qū)間（0，h）內(nèi)是否發(fā)生索賠，分為3 種情況：

（1）在（0，h）內(nèi)無索賠；

（2）在（0，h）內(nèi)至少發(fā)生一次索賠，但未導(dǎo)致公司破產(chǎn)；

（3）在（0，h）內(nèi)至少發(fā)生一次索賠，并導(dǎo)致公司破產(chǎn).

由于直到時(shí)刻h，沒有發(fā)生索賠的概率為e-λh，時(shí)間（t，t+dt）內(nèi)出現(xiàn)第一次索賠的概率為 e-λhλdt，x ＞ u+ct 意味著第一次索賠發(fā)生時(shí)導(dǎo)致破產(chǎn)，因此對(duì)式（1）運(yùn)用全期望公式有

對(duì)式（2）關(guān)于h 求導(dǎo)，再令h=0，則有

其中

令

式（3）兩邊同乘以 eρu，整理得

定理2貼現(xiàn)罰金函數(shù)φ 滿足更新方程 φ =φ*g+h，其中

證明令l（ξ）=δ+λ-cξ，則式（5）中φρ（u）的系數(shù)為 l（ρ）. 令 p（x）=的Laplace 變換為

求導(dǎo)得

取 ρ= ξ1，則式（5）可化為

對(duì)于 z ＞ 0，對(duì)式（7）從 u=0 到 u=z 積分得

令z→∞，則有

將式（9）代入式（8）得

式（10）兩邊同乘以 eρz，利用式（4）可得

因?yàn)?/p>

所以式（11）可寫為

2 破產(chǎn)前盈余與赤字的聯(lián)合分布和期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)

當(dāng)初始余額為U（0）=u=0 時(shí)，由φ 滿足的更新方程（13）有 φ（0）=h（0）.由式（1）和式（12）可得

當(dāng) δ=0 時(shí)，有 ρ=0.由式（14）有

當(dāng) δ=0 時(shí)，式（17）可簡化為

當(dāng)δ ＞0 時(shí)，由分部積分可得

因此Lundberg 基本方程（6）可改寫為

因?yàn)?ρ 是方程（19）的解，所以有

下面考慮兩險(xiǎn)種的索賠額均服從指數(shù)分布，即

其中：βi＞ 0，i=1、2，c ＞

整理得

當(dāng)c2（β1+β2）2+c（β1+β2）（3δ-2）+3c2β1β2（λ-1）-（δ+ λ）2＜ 0 時(shí)，方程（21）有唯一非負(fù)解 ξ1.又因?yàn)?ρ是方程（9）的非負(fù)解，所以 ρ=ξ1.由式（14）～式（17）有

3 初始盈余u=0 時(shí)停時(shí)的矩

因?yàn)?ρ 是方程（6）的解，所以有 δ = cρ - λ +關(guān)于 ρ 求導(dǎo)得

利用反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得

對(duì)式（20）關(guān)于δ 求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，即可分別得到對(duì)應(yīng)的破產(chǎn)時(shí)刻在初始盈余u=0 下的一階矩和二階矩.一階矩和二階矩分別為