微積分的基礎概念——極限

【摘要】高等數學用一句話來概括就是：極限為源，函數為體，算子（微分、積分等）為用。所以極限的概念和性質，可以說是整個微積分知識體系的基礎。如果不能深刻體會極限的思想，將會把整個微積分知識體系學得支離破碎。本文將從概念和運算兩個方面詳細闡述極限思想的重要性。

【關鍵詞】一元函數極限? 連續性? 導數? 微積分

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）49-0149-01

微積分發展至今，具有一套成體系的推理和運算，由求極限到求導數、求微分、求積分，層層深入，互相關聯。而極限的概念和性質，可以說是整個微積分知識體系的基礎。

函數是一種對應關系，即自變量集合到因變量集合的對應，也就是A隨B變，A就是B的函數。而極限就是在自變量某種變化的運動形勢下對因變量變化的最終趨勢的描述，它是微積分里的一個基礎概念，也是研究微積分的重要工具和指導思想。[1]

古希臘哲學家芝諾曾提出四個悖論對數學乃至哲學都產生了巨大的影響。其中芝諾的第二個悖論是“阿基里斯（荷馬史詩中的善跑者）永遠追不上一只烏龜”。若烏龜的起跑點領先阿基里斯一段距離，阿基里斯要想追上烏龜必須首先跑到烏龜的出發點，而在這段時間里烏龜又向前爬過了一段距離，此過程如此進行下去直至無窮，所以阿基里斯永遠追不上烏龜。事實上我們知道：能追上。可該如何解釋這個悖論呢？這個問題讓人想不通的根本所在是，它是無限的，人不能用有限的想象去解釋無窮的世界。 [1]下面，讓我們從了解極限的概念開始，去走進無窮的世界。

極限的概念，從感性語言上去理解，是一種漸近變化趨勢。比如無窮數列{an}的極限，是指當它的項數n無限增大時，它的通項an無限接近的某一個確定的常數a，記作an=a，也稱數列{an}收斂于a。 [1]這就涉及到兩個集合之間的變化和關聯：一個集合是自然數集，作為無窮數列的項數;而另一個集合是無窮數列所對應的集合。當項數漸漸增大時，數列會無限趨近于極限值a。所以求極限是一個動態過程，最終求出的極限值是數列無限接近但永遠也取不到的值。理性語言描述此動態過程時，便要借助于鄰域：當n無限增大時，可假設存在正整數N，當n>N時，有|an-a|<ε（ε是任意小的正數），即所有N項后面的數列的項都會落在以a為中心，以ε為半徑的鄰域內，鄰域半徑ε趨近于0時，數列就無限接近于此鄰域的中心a。

發展到一元函數的極限，就要比數列的極限復雜得多。因為數列極限里的項數n只能由1漸變到+∞，且n只能取正整數，正整數沒有緊密連續性，所以只有一種漸變趨勢：n→ +∞，an→a即an=a。但一元函數的自變量x可以取到無限多的緊密連續的實數，所以就有了六種變化趨勢：（1）當x→+∞時;（2）當x→-∞時;（3）當x→∞時;（4）當x→x0+時;（5）當x→x0-時;（6）當x→x0時。[2]每一種變化趨勢，也都可以用鄰域來描述，比如第（6）種，可以描述為：當|x-x0|<ε（ε為任意小正數）時，即自變量x落在以x0為中心，以ε為半徑的鄰域內時，有|f（x）-A6|<δ（δ也為任意小正數），即因變量f（x）會落在以A6為中心，以δ為半徑的鄰域內，則可記作f（x）=A6。其余五種情況亦可如此借助于鄰域來描述。有了這種描述的方法后，即可把動態的漸變過程予以量化，給人以一種嚴密的邏輯推理過程。

由一元函數的極限再發展到二元函數、多元函數的極限，自變量的增多致使漸變路徑更加復雜，本文將不予考慮，只考慮一元函數的極限。

極限的這種動態漸變過程，奠定了整個微積分體系都是一種動態的漸變過程，比如無窮小量和無窮大量并不是定量，它們是在某種變化趨勢下極限為零或者無窮的函數。函數在某一點（x0，f（x0））上連續，只需滿足f（x）=f（x0）即可。導數的定義為自變量增量分之因變量增量比值的極限，即f '（x0）==，導數的實際含義即為“變化率”，幾何含義為（x0，f（x0））點處的切線斜率。微分的實際含義為“增量的主要部分”，簡稱“增量主部”，Δy=AΔx+ο（Δx），dy=AΔx，則dy≈Δy，彼此之間相差一個高階無窮小，而高階無窮小的定義又來自于極限。積分的含義更是離不開極限，定積分就是一個和式的極限f（x）dx=f（ξi）Δxi，幾何含義是由x=a，x=b，y=f（x）和x軸所圍成的曲邊梯形面積的代數和，引申出來可以解決一切“不規則”事物的求和型運算。這一切無不是一個漸近的動態過程。所以整個微積分都是建立在極限的漸近動態思想之上的，如果對極限理解不好，將直接影響到高等數學學習的效果和深度。[3]

而且各個基礎概念之間互相關聯，本質上很統一。在極限的運算過程中，也有所體現。比如當計算在x0點處的極限時，能直接代入x0值就直接代入，如（x2+x+1）=12+1+1=3，這是因為初等函數f（x）=x2+x+1在x0=1處是連續的（由其圖像可直觀看出），再結合連續的定義式f（x）=f（x0），可得到極限計算的代值法。若遇到分式求極限正好與導數定義相符，則可用求導公式來計算，如=（）'|x=4=|x=4=，反之求導公式也都是由求Δy與Δx比值極限推出來的。而在涉及到變上限（或變下限、變上下限）定積分時，更是考查對整個微積分整體思想的理解，如===0，求極限、求導和積分的問題在此題中得到了完美的結合！

綜上所述，極限是整個微積分的基礎，如果不能深刻體會極限的思想，將會把整個微積分知識體系學得支離破碎。

參考文獻：

[1]曹治清.高等數學[M].上海交通大學出版社，2017：12.

[2]郭運瑞.高等數學[M].西安交通大學出版社，2010：12.

[3]吳贛昌.微積分（上）[M].中國人民大學出版社，2011：1.

作者簡介：

劉明月（1981.08-），女，漢族，河北衡水人，碩士研究生，講師，研究方向：微分方程及其應用。