一種軋輥靜壓軸承的瞬態響應分析方法

謝 磊，計 江，師浩浩

(中國重型機械研究院股份公司，陜西西安 710032)

0 前言

隨著現代科技和重型機械制造業的不斷發展，對軋機的生產效率及軋制精度提出了更高的要求，軋制裝備向著高轉速、高精度、高可靠性方向飛速發展[1-4]。作為軋機的核心部件，軋輥對軋機的軋制精度、軋制力、軋制速度、軋制能耗、軋材規格等具有直接重要的影響，而靜壓軸承又是影響軋輥承受徑向載荷最直接的部件。靜壓軸承因其具有承載能力大、壽命長、摩擦阻力小等特點，在軋輥和軋機上的應用越來越廣泛。在軋機設備的設計中對靜壓軸承的性能及其影響因素進行準確的分析是提高所設計軋機設備的生產效率、軋制精度及可靠性等性能的有力保障。

SC Sharma[5]和郭力[6]等人研究了分別采用矩形油腔、圓形油腔、橢圓形油腔和圓形油腔的毛細管節流靜壓軸承的動、靜特性，研究發現，從最小油膜厚度方面看，方形油腔略勝一籌；剛度系數從大到小依次為圓形油腔、方形油腔、橢圓形油腔、三角形油腔，但是為了保證高速運行時軸承的穩定性，建議以最小油膜厚度作為軸承設計的首要因素。Nancy M.Franchek等[7]人研究發現靜壓軸承小孔節流器的節流參數對正剛度的影響較大，且節流參數取0.86較準確。Chen CH等[8]人研究發現，相比于毛細管節流，小孔節流動靜壓軸承具有較好的承載性能和較寬的穩定裕度；輕載時深油腔的穩定性好，而重載時淺油腔的穩定性好。F Laurant和DW Childs[9]研究發現，如果小孔節流器的軸線與軸瓦的法線有一定的夾角，且節流器出口方向與油腔內的液體流動方向相反，則可以抑制周向流動，明顯地降低交叉剛度系數，提高軸承的穩定性，但這種方法僅在低速時有效。為了進一步改善靜壓軸承的性能以滿足工程需要，研究人員對自動補償節流器進行了研究。S.Yoshimoto等[10]將靜壓軸承的毛細管節流器改為浮盤式的自控節流器，理論和實驗結果表明該靜壓軸承可以獲得很高的靜剛度，且具有穩定的階躍響應。王元勛等[11][12]根據薄膜反饋節流原理，用彈性薄板代替彈性薄膜，由壓電晶體調節節流間隙，大大提高了氣體軸承的剛度，并獲得了較好的動、靜特性。

由于軋機在軋制過程中，軋制狀態、軋制力不斷發生變化，所以靜壓軸承油膜力的線性近似處理已不能準確地求得靜壓軸承的瞬態響應。因此，本文在考慮油膜力的非線性條件下，即根據軸頸的位移和速度直接求出油膜力，用動態油膜力代替線性剛度、阻尼系數，建立靜壓軸承的動力學方程，并采用Newmark-β法迭代求解該方程，得到了靜壓軸承的瞬態響應，為靜壓軸承動力學分析奠定了基礎。

1 靜壓軸承承載能力的分析

1.1 建立Reynolds方程

Reynolds方程是用于求解靜壓軸承油膜壓力分布的基本方程。本文以四腔小孔節流靜壓軸承為研究對象，其二維的工作模型如圖1所示，用于求解其壓力分布的Reynolds方程[13]為

圖1 靜壓軸承的二維模型圖

(1)

對Reynolds方程進行有限元數值求解時，壓力邊界條件是不可缺少的。進油孔處的壓力按照強加邊界條件處理，而油腔內的壓力需要由Reynolds方程求解。由于本文中的靜壓軸承具有對稱性，所以取圖2所示的半個油腔進行分析。

圖2 油腔結構示意圖

圖2中的L1、L2、L3為油腔的物理邊界；L0為進油孔邊界；L7為端泄邊界；L4為軸向對稱邊界；L8為雷諾破裂邊界。則求解靜壓軸承的壓力分布所使用的邊界條件[13]為

(2)

式中，pr為進油孔壓力，其數值解可通過流量連續性方程求得。

在靜壓軸承中，由于軸瓦上存在油腔，因此油膜厚度方程不連續。本文中靜壓軸承的矩形油腔的深度都相同，其油膜厚度方程為

(3)

式中，c為半徑間隙，m；ε為偏心率；θ為偏位角，rad；hr為油腔深度/m。

1.2 流量連續方程

式(2)中的進油孔壓力pr是求解Reynolds方程的一個非常重要的邊界條件值，它的大小需通過求解油腔處的流量連續方程得到，即由節流器流入油腔的潤滑油流量Qr等于從它所對應的油腔流出到封油面的流量QO，即

Qr=QO

(4)

流量Qr可通過節流器的流量計算公式(5)求解得到。本文分析的靜壓軸承采用如圖3所示的恒壓供油方式。潤滑油經過溢流閥后保持恒定的壓力，不受流量的影響。在溢流閥和油腔之間設置小孔節流器，用于控制進入油腔的潤滑油流量和油腔壓力，以適應載荷的變化。小孔節流器的流量計算公式為：

(5)

式中，α為流量系數，即實際流量和理想流量的比值，一般α=0.6 ～ 0.7；ρ為潤滑油密度,kg·m-3；d0為節流小孔的直徑,m。

圖3 恒壓供油靜壓軸承系統示意圖

從油腔流出到封油面的流量QO為

(6)

圖4 油腔面積

1.3 二維絕熱能量方程

由于潤滑油具有粘性，在運動中相互摩擦產生熱，導致油液溫度升高。不同的油膜厚度區域所產生的摩擦功耗不同，因此造成油膜中的溫度分布不均勻。為了得到油膜的溫度分布，需要求解能量方程。

假設流體具有不可壓縮性，則在定常絕熱工況下的二維絕熱能量方程[14]為

(7)

采用文獻[15]中給出的溫度場邊界條件：

Cp(∑MdTd+2∑MsTs)=
Cp(∑MuTd+∑MrTs)+Qg

(8)

式中，u,d,s為下標，分別對應圖4中的上游邊、下游邊和端泄邊；Mu,Md分別為流經上游邊、下游邊的潤滑油質量流量；Td=Ts

Qg為油腔中由潤滑油流動生成的熱量。

一般情況下，潤滑油的粘度隨著溫度的升高而降低。當用10#主軸油作潤滑劑時，粘度隨溫度的變化關系式為

(9)

式中，μ40為T=40°C的液體標準粘度。

由式(1)和式(7)可以看出，Reynolds方程和能量方程中的變量互相耦合，因此，在求解壓力分布p和溫度分布T時，需要聯立Reynolds方程、能量方程和溫-粘關系方程，通過迭代方法進行求解。一般的求解步驟如圖5所示。

圖5 Reynolds方程和能量方程的求解流程圖

2 軸承的承載性能計算

軸頸旋轉時油膜在微弧RdΦ上作用的壓力為p，其沿坐標軸X和Y的分量分別為pRsinΦdΦ和pRcosΦdΦ，在壓力作用區域內積分，可得承載力FX、FY

(10)

總承載力F為

(11)

3 靜壓軸承瞬態響應的計算

3.1 靜壓軸承的動力學方程

在軋制過程中，軋制力通常會不斷變化。當軋制加工不同的板、帶材時，軋機軋輥的運行狀態也不相同，因此作用在軸承上的外載荷不是恒定的?？紤]到各種不同的軋制力作用，各種瞬態過程中軸頸的渦動范圍可能較大，軸承的油膜壓力分布不斷變化，因此不再把油膜力作線性近似處理，需考慮油膜的時變性和非線性，即在建立軸承的動力學方程時，用動態油膜力代替油膜線性剛度、阻尼，根據軸頸的瞬時位移和速度，直接求出靜壓軸承的油膜力，作為軸頸的外力來處理。對于圖 6所示的模型，可建立式(12)所示的動力學方程。

圖6 靜壓軸承模型圖

(12)

式中，FX、FY為油膜力，N；WX、WY為作用在軸頸上的其它外力如載荷，N；eX、eY為軸頸在X、Y方向的偏心量/m。

3.2 非線性動力學方程的求解

對于非線性動力學方程的求解，通常采用時域逐步積分法，如Newmark-β法和Wilson-θ法。本文選用Newmark-β法求解靜壓軸承的非線性動力學方程。

Newmark-β法是一種加速度法，它根據時間增量Δt內假定的加速度變化規律，計算動力學響應。此方法是一種廣泛運用的隱式逐步積分法。對于標準的振動方程：

(13)

采用Newmark-β法得到的速度和位移方程如下：

式中，γ和β為Newmark-β法的參數；x為位移。

Newmark-β法的計算精確性和算法穩定性取決于β和γ兩參數。計算過程中的數值阻尼大小與(γ-1/2)成正比。當γ>1/2時，數值阻尼為正值，振幅衰減；當γ=1/2時，無數值阻尼。參數β控制時間增量內的加速度變化情況。取不同的參數可產生各種不同的積分方法，如γ=1/2,β=1/4為平均加速度法；γ=1/2,β=1/6為線性加速度法；當γ≥0.5,β≥0.25(0.5+γ)2時，Newmark-β法是無條件穩定的。

由式(12)可以發現，在求解t+Δt時刻的響應時需要用到該瞬時的油膜力，但t+Δt瞬時的位移和速度是未知的，因而無法得到該瞬時的油膜力。因此，只能采用迭代的方法，即先根據t瞬時的位移和速度得到油膜力，用Newmark-β法求得t+Δt時刻的位移和速度，作為t+Δt瞬時近似的位移和速度。然后再用它們去修正t+Δt時刻的油膜力，再次求得近似的位移和速度。這樣，經多次迭代，最后以一定精度得到t+Δt瞬時的位移和速度，完成一個時間步長的計算。接著再求t+2Δt瞬時的位移和速度，如此反復便可求得各個瞬時軸頸的位移、速度。軸承瞬態響應的計算流程見圖7。

圖7 計算軸承瞬態響應的流程圖

4 靜壓軸承的瞬態響應計算結果分析

仿真計算選用的四腔靜壓軸承參數如表1所示。軸頸的初始位移為-0.1μm，初始速度為零。當400 N恒力作用在軸承上時，軸頸的響應軌跡如圖8所示。由該圖可以看出，在恒力作用下，軸頸最終穩定在偏離軸承中心的某一點附近；當幅值為400 N的離心力作用在軸承上時，由圖9看出，在離心力作用下，軸頸圍繞軸承中心渦動，與軋機實際工作情況相一致。

表3 軸承的基本參數

圖8 恒力作用下的軸心軌跡

圖9 離心力作用下的軸心軌跡

5 結論

(1)建立了四腔小孔節流靜壓軸承油膜壓力分布的Reynolds方程，討論了其壓力邊界條件。其中，進油孔壓力pr是求解Reynolds方程的一個非常重要的邊界條件值，它的大小需要通過求解油腔處的流量連續方程得到。為靜壓軸承Reynolds方程的求解提供了一種新思路。

(2)考慮到潤滑油具有粘性，在運動中相互摩擦產生熱，導致油液溫度升高。不同的油膜厚度區域所產生的摩擦功耗不同，因此造成油膜中的溫度分布不均勻。為了得到油膜的精確溫度分布，對流體二維絕熱能量方程進行了推導。最后聯立Reynolds方程、能量方程和溫-粘關系方程，通過迭代方法對壓力分布p和溫度分布T進行求解。

(3)本文詳細運用動態油膜力代替線性化的剛度、阻尼系數，建立了靜壓軸承的動力學方程，并采用Newmark-β法迭代求解方程，得到了靜壓軸承的動力學響應，并進行了實例計算，仿真分析結果表明，在恒力作用下的軸頸最終穩定在偏離軸承中心的某一點附近；當離心力作用在軸承上時，軸頸圍繞軸承中心渦動，與軋機實際工作情況相一致。為進一步的靜壓軸承動力學分析奠定了基礎。