基于Matlab的加工鉆頭螺旋槽用砂輪截形求解

董 良，董黎敏，王澤巍，王 瑞，贠 良

(1．天津理工大學機械工程學院,天津 300384；2．天津市宏維刀具有限公司，天津 300110)

0 前言

無論是在加工鉆頭螺旋槽用砂輪CAD系統或者加工立銑刀螺旋槽用砂輪CAD系統中，都離不開砂輪截形的計算[1-2]。在反求螺旋槽用砂輪軸向截形時，目前常用的方法是求解出在砂輪加工螺旋面時砂輪回轉表面與螺旋面的接觸點，根據接觸點既在砂輪回轉表面上也在螺旋面上的條件，求解得到砂輪的軸向截形。可以根據螺旋面上的接觸點處的公法線必須相交于砂輪軸線的原理得到接觸點[3-4]。由于本文所求砂輪與被加工螺旋面的接觸點處皆存在公法線，所以根據兩個曲面接觸點處的特性和曲面包絡理論，得到兩個曲面的接觸表達式。由接觸表達式得到與端截形上點共螺旋線的接觸點，再經過坐標變換，得到砂輪軸向截形上的相應點。

1 砂輪設計原理

1.1 坐標系的建立及坐標變換

根據鉆頭、砂輪和機床的相對位置關系建立坐標系如圖1所示。在機床上建立坐標系O3-x3y3z3，使其z3軸與鉆頭的軸線重合。在砂輪上建立坐標系O1-x1y1z1使z1軸與砂輪的軸線重合，x1軸與x3軸平行且方向一致。兩個坐標系是固定的，不隨砂輪和鉆頭運動，且其位置關系由O1點在機床坐標系O3-x3y3z3上的坐標(a,b,c)和砂輪軸z1與鉆頭軸線的夾角λ確定。而在鉆頭上建立的坐標系O2-x2y2z2是運動的，其固連在鉆頭上，隨著鉆頭的運動而運動。

圖1 三個坐標系的相對位置

砂輪坐標系先繞x1軸旋轉λ角，然后平移(a,b,c),得到機床坐標系。從砂輪坐標系到機床坐標系的轉換式為

(1)

由式(1)轉化得到機床坐標系到砂輪坐標系的轉換式為

(2)

1.2 螺旋曲面和砂輪回轉表面方程式的建立

設鉆頭坐標系O2-x2y2z2起始位置與機床坐標系O3-x3y3z3重合。此時在O2-x2y2平面上建立的端截形，隨著鉆頭坐標系或鉆頭做螺旋運動，即繞鉆頭軸線旋轉同時沿其軸向移動，便可得到機床坐標系下的螺旋曲面。端截形的方程式為

(3)

式中，u2為參變數。

由式(3)可以得到螺旋曲面的方程為

(4)

式中，v2為角度參數，表示端截形從開始位置繞z3軸轉過的角度。順著z3軸看，以順時針方向轉動為正；ρ為螺旋參數，ρ=導程T/2π，表示端截形繞著z3軸轉過單位角度時，沿z3軸線方向移動的距離。

在砂輪坐標系O1-x1y1z1上，砂輪回轉表面可以由平面O1-x1z1上的母線(即待求的砂輪軸向截形)繞z1軸旋轉得到。砂輪軸向截形的方程式表示為

(5)

式中，u1為參變數。

由式(5)可以得到砂輪坐標系下的砂輪回轉表面方程式為

(6)

式中，v1為角度參數，表示砂輪軸向截形所在的平面繞砂輪軸線旋轉的角度。

1.3 接觸條件式

在用砂輪加工螺旋曲面時，砂輪回轉表面必然與螺旋曲面相切接觸。根據表面包絡理論，砂輪回轉表面與螺旋曲面的接觸點處，兩個曲面的共法線必須相交于砂輪的軸線。

圖2 兩個曲面接觸點處向量關系圖

砂輪回轉表面和螺旋曲面接觸點處向量關系如圖2所示。O1系為砂輪坐標系，O3系為機床坐標系。L為接觸跡線，A為其上任意一接觸點，則兩個曲面的接觸點A處的共法線AD與砂輪軸線O1Z1相交于點B。點B處的法線BC垂直于砂輪軸線O1Z1和公法線AD，又因為直線O1A，砂輪軸線O1Z1和公法線AD共面，所以BC也垂直于直線O1A，則得到等式

(7)

式中，“·”和“×”分別為向量的點積和叉積。

(8)

(9)

(10)

由微分幾何的知識可知，曲面上任意一點A(x3,y3,z3)的法線矢量可以表示為

(11)

式中，nx,ny,nz分別是曲面法線矢量的各軸分量為

(12)

(13)

將式(8)、(9)、(10)、(13)代入式(7)得到接觸表達式

根據式(14)，若給定一組u2，則可以求得相應的一組v2。也就是說對于端截形上任一選定點，就可求解出一個相應的v2，表示端截形上該點轉過一個v2角后就成為和該點共螺旋線的接觸點了。

2 砂輪軸向截形求解

把式(3)中的端截形方程作為已知條件，通過將參變數u2均分為ui(i=1,2,…,m)得到m個點，用這m個點來代替端截形參與計算。將每個點對應的u2代入到接觸方程(14)，使用Matlab軟件對接觸方程進行求解計算，可得到這些點成為接觸點時需要轉過的角度v2；然后將各個點對應的參變數u2和通過接觸方程得到相應的v2代入螺旋面方程式(4)，可以得到螺旋面上接觸點的坐標(x3,y3,z3)，由于螺旋面方程式(4)是在機床坐標系中建立的，所以得到的坐標(x3,y3,z3)也是機床坐標系下的坐標。將(x3,y3,z3)代入到機床坐標系到砂輪坐標系的轉換式(2)中，得到接觸點在砂輪坐標系內的坐標(x1,y1,z1)；最后由砂輪軸向截形方程式(15)求得砂輪軸向截形上的m個相應點。

(15)

圖3 鉆頭的端截面示意圖

3 基于Matlab砂輪截形求解

結合前面的理論知識，闡述基于Matlab反求磨削鉆頭螺旋槽砂輪截形的過程，該鉆頭為半徑R=5.347 mm，半芯厚r=1.266 mm，α=30°(鉆頭螺旋角)的硬質合金鉆頭。

3.1 鉆頭螺旋槽端截形的建立

采用線切割的方法，用垂直于鉆頭軸線的平面，在切削刃上距端刃1/3處截掉端齒，得到螺旋槽端截面，如圖3所示。保證端截面水平放置于DinoCapture顯微鏡下，利用其中的三點測圓弧直徑命令和三點角度命令得到端截面的測繪圖，如圖4所示。可以發現圖4中端截形的型線由半徑大小不同的圓弧段和倒角1,2組成，又因為倒角1對應槽背部分對鉆頭的工作部分影響較小，所以暫時不考慮倒角1，而倒角2對應主切削刃部分，也用一段圓弧段來代替倒角2，于是端截形型線由三段圓弧段組成。根據測繪圖，在鉆頭坐標系的初始位置(與機床坐標系重合)的O2-x2y2平面上建立如圖5所示的端截形。

圖4 DinoCapture顯微鏡下的端截面測繪圖

圖5 端截形數學模型

由圖5可以得到式(3)的具體表達式。在圖中R為鉆頭半徑，r為半芯厚。CA段為大圓弧段，半徑為R2，圓心為OR2，u2為大圓弧段的圓心角，圓心角的取值范圍可以通過三角形OR2CO2中的余弦定理得到。AD段為小圓弧段，半徑為R1，圓心為OR1，圓弧段對應的圓心角為σ。BD為倒角2對應的圓弧段，半徑為R3，圓心為OR3，圓弧段對應的圓心角為ε。大小圓弧段的圓心皆在x2軸上。大圓弧段與小圓弧段內切，同時與芯厚圓外切，A點為切點且也在x2軸上。C點為大圓弧段與外圓的交點，D點為小圓弧段與倒角2對應的圓弧段的切點，B點為倒角2對應的圓弧段與外圓的交點。

則圓弧CA的方程為

(16)

u2的取值范圍為

(17)

得到圓弧AB的方程為

(18)

u2的取值范圍為

(270°,270°+δ)

(19)

根據OR2與OR3兩個圓心的中心距和角度σ可以得到OR3的坐標為

(20)

從而得到倒角2對應的圓弧段的方程式為

(21)

u2的取值范圍為

(90°+σ,90°+σ-ε)

(22)

3.2 鉆頭參數及鉆頭與砂輪位置參數的確定

根據測繪圖4中的半芯厚數據與實際測量鉆頭的半芯厚的比例計算得到R2=3.836 mm，R1=3.016 mm，R3=2.023 mm(以上參數數據同樣可以采用鉆頭半徑測繪數據與實際測量鉆頭半徑大小的比例來計算，且兩個比例之間相差0.002)。同時由測繪圖4得到σ=67.534°，ε=32.073°。將得到的鉆頭參數代入式(16～22)中，同時將式(17)、(19)、(22)中的角度轉化為弧度，便于Matlab計算。分別得到大圓弧段方程為

(23)

式中，u2的取值范圍為[3.4571,4.7124]，單位為rad。

小圓弧段方程為

(24)

式中，u2的取值范圍為[4.7124，5.8911]，單位為rad。

倒角2對應的圓弧段方程為

(25)

式中，u2的取值范圍為[2.7495，2.1897]，單位為rad。

鉆頭與砂輪位置參數的選取：本文將砂輪坐標系原點放置于機床坐標系的x3軸上，則砂輪坐標系原點在機床坐標系中的坐標可以表示為(a,0,0)。a表示機床坐標系原點與砂輪坐標系原點在x3軸方向上的距離，a的取值決定著砂輪直徑的大小。雖然對于a的取值沒有嚴格的規定，但是取值過小的話，得到的砂輪直徑小，影響砂輪壽命；取值過大的話，得到的砂輪直徑大，砂輪產生的干涉便會大。所以根據一般砂輪的直徑，取a=80 mm。砂輪軸線與鉆頭軸線的夾角λ選擇范圍比較大，一般可以按照式(26)來選取。

λ=90°-α

(26)

式中，α為鉆頭螺旋角。

3.3 求解程序

建立的鉆頭端截形型線由三段圓弧組成，那么對應三個不同的數學表達式。代入式(14)和式(4)中得到不同的接觸表達式和螺旋面方程式，所以每段圓弧上的點求解與此點共螺旋線的接觸點就會不同。基于以上考慮，分別求得每段圓弧上的點共螺旋線的接觸點合并得到整個型線上的點共螺旋線的接觸點。經過數組運算實現坐標變換，最后得到這些接觸點在砂輪軸向截形上的對應點。

在每個圓弧段對應的圓心角u2的取值范圍內從頭到尾均分得到10個u2，那么整個端截形型線將會用30個u2對應的點來參與計算。依據如圖6所示的基于Matlab的砂輪軸向截形求解流程圖編制程序。

圖6 程序流程圖

圖7 由數組X求得數組Y的程序流程圖

圖6中多是數組之間的運算。圖7為在求解大圓弧段上的點對應砂輪截形上的點，由數組X1求得數組Y1的程序流程圖。

表1 砂輪軸向截形上30個相應點的坐標

3.4 結果分析

運行以上程序，可以求得砂輪軸向截形上相應點的坐標數組M6，也就是得到了砂輪截形上的30個相應點坐標，見表1。從表中可以發現第10個點和第11個點坐標值相同，第20個點和第21個點坐標值也相同。這是因為第10和第11個點對應大圓弧段與小圓弧段的公共點，第20個點和第21個點對應小圓弧段與倒角2對應圓弧段的公共點。同時這也解釋了繪制出的散點圖及擬合圖上僅有28個點的現象，如圖8所示。

圖8 砂輪軸向截形上的30個相應點的散點圖及擬合圖

為了直觀認識設計砂輪的整體結構，使用UG軟件在草圖界面通過坐標的形式創建表1中的點集，通過點集的樣條擬合成線并且繞砂輪軸向旋轉填充得到所求砂輪的實體模型。同時用通過砂輪軸線的平面剪切體，得到實體模型的軸向剖面如圖9所示。

圖9 所求砂輪實體造型及軸向剖面

4 結論

本文利用鉆頭端截面剖面和DinoCapture顯微鏡確定了端截形型線方程式。在已知端截形型線方程式的條件下，得到螺旋面的方程式，再根據砂輪回轉表面與螺旋面接觸點處的特性，推導出兩個曲面接觸時應滿足的接觸表達式。由此接觸表達式可以得到與端截形的點共螺旋線的接觸點，通過坐標轉換，最終得到這些接觸點在砂輪軸向截形上的相應點。利用Matlab基于以上理論編制程序，運行計算并繪制出砂輪軸向截形，并使用UG軟件繪制出了砂輪的實體模型。本文研究可應用于非標超硬螺旋刃刀具的定制設計與制造中。