并聯泵組的多目標控制策略

(中北大學 機械工程學院，山西 太原 030051)

社會經濟的發展帶來了各行各業供水需求的增加，而供水系統在輸送和提升過程中需要消耗大量能量。歐盟委員會的調查顯示，泵送系統占全球電能輸送系統的近22%[1]，其節能運行將帶來極大的經濟效益。

目前泵送系統的節能優化主要為控制的改進，作為典型的混合整數非線性規劃問題[2]，其多變量耦合等特性令供水需求和泵組高效率運轉難以同時實現。常見的模型大多以單一的最低流量差[3]、最低能耗[4-5]或最高效率[6-7]為目標，其余目標皆作為約束，這類模型為單目標規劃模型。為利于求解，一般會簡化水泵高效區以減少約束[3]，或者根據實驗數據制作最佳泵數表[8]，通過查表可以快速獲得最佳工作泵數量以減少決策變量。相比普通多目標規劃，這類模型求解速度快，但不能把控各個目標間的權重，在不同的工況下，只能保證所求為非劣解，而非最優解。少數的多目標控制模型多是采用免疫遺傳算法[9-11]、多目標蛙跳算法[12-13]和改進的粒子群算法[14-16]等智能算法，但是這類算法大多較為復雜，需要依賴大量數據，難以直接移植和應用于中小型工程項目。

本文綜合考慮了最低流量差和最高效率兩個目標，利用加權法來簡化目標函數。同時，根據水泵效率圖建立了“揚程-理想流量”表，通過查表即可實現對高效率的追蹤，并建立了適應工況、自主調節權重的最優控制模型。

1 并聯泵組多目標控制模型

泵組控制模型是通過確定工作泵的數量和轉速來滿足供水需求，同時能保證水泵在最佳工況點附近工作。想要綜合考慮并聯泵組的最小流量偏差和泵組高效運轉這兩個目標，就需對其進行無量綱化，同時建立合適的函數來評價不同的組合。為此，建立目標函數如下：

(1)

式中，α，β為正系數，分別為流量差和高效率的權重，如果α越大，表示對供水目標最小流量偏差的需求越高，其中α+β=1；i為水泵編號，共n臺水泵并聯，1≤i≤n；Qi，Qi·need，Qi·bep分別為水泵i的待求工作流量、目標流量和理想流量，m3/h。

1.1 目標流量

單泵i的目標流量根據泵組總目標流量QAneed(m3/h)和各泵的工作情況Xi(水泵工作為“1”，否則為“0”)來決定。具體如下：

(2)

在已知泵組的目標揚程Hneed(m)的前提下，通過管網特性曲線，可以求得相應的泵組總目標流量QAneed。管網特性曲線一般表示形式如下：

H=hs+Sf·Q2

(3)

式中，hs為系統靜揚程，m；Sf為管網阻力系數。

考慮到管網特性的實時變化，為保證對變工況的適應性，給系統加入前饋，令式中Sf和hs由下面兩式進行實時求解：

(4)

(5)

式中，Ht-1，Ht-2為t-1和t-2時刻的揚程，m；Qall·t-1，Qall·t-2為t-1和t-2時刻的總流量，m3/h。

由于泵組內各泵型號相同，且相同工作頻率下泵組的總效率最高[17]，因此可將式(2)簡化如下：

(6)

1.2 理想流量

本文實驗基于5臺Ebara CDX 120/12型水泵并聯的供水平臺開展。在變轉速條件下，水泵制造商提供的額定工況效率曲線圖不太精準，需要測定變轉速下的效率圖。圖1為Ebara CDX 120/12型水泵在變轉速下的效率圖[18]。

圖1 Ebara CDX 120/12的變轉速效率示意Fig.1 Variable speed efficiency of Ebara CDX 120/12

圖1中，曲線AB、DC分別為50 Hz和35 Hz情況下水泵的特性曲線。在此調速范圍內，泵基本符合相似定律，且能保持較高的效率[19]。曲線AD、EF、BC為等效率曲線，可由H=a·Q2(a為系數，代入曲線上任意點求出)求得，在一定范圍內，曲線上的工況點的效率近似相等。

效率圖近似以曲線EF為中軸線對稱分布，而曲線的EF段為不同揚程下最高效率點的集合。但是當揚程處于A、E兩點間或F、C兩點間時，高效區ABCD內，工況點的效率隨著朝曲線AE和FC的逼近而提高。因此，可設曲線段AE、EF、FC為理想流量曲線。曲線段AE、FC隸屬于50 Hz和35 Hz情況下的水泵特性曲線，可由下式求得：

H=ω2·hshut-Sloss·Q2

(7)

式中，ω為調速比，ω=ni/nrated(ni、nrated分別為實際轉速和額定轉速，r/min)；hshut為水泵截斷揚程，m；Sloss為揚程損失系數，可通過擬合制造商提供的額定曲線求得。

EF段處于等效率曲線H=aQ2上，綜上所述，理想流量曲線表達式如下：

(8)

由上式可見，理想流量曲線為較復雜的分段函數，不宜直接作為模型的約束。因此，直接對等間隔的H求解函數，并制成“揚程-理想流量”的表格。最終求解模型時，可以直接查表，從而減少了約束。表格數據間隔中的數值可利用線性插值獲取。

1.3 約束條件

泵組運行需要考慮的約束條件分別有流量約束、揚程約束、效率約束和功耗約束。

流量約束即單泵流量之和與目標總流量相等，即式(6)，在計算Qi·need時已經考慮過，此處可略去。并聯泵組的揚程約束需要各泵揚程相等：

Hi·need=Hneed(i=1,2,…,n)

(9)

鑒于文獻[18]的效率圖已經考慮過效率和功耗，因此效率約束和功耗約束可統一由對單泵工況點的限制來實現。而對高效點即理想流量的逼近已在目標函數內完成，此處只需針對轉速比、與理想流量點的距離和最終流量差進行約束：

0.7≤ω≤1

(10)

(11)

(12)

式中，λ和θ為系數，此處皆取0.3，以保證泵在高效區工作和貼近目標流量[7]。

1.4 流量偏差與效率的權重

流量偏差與效率的權重的設定將極大地影響最優解的取值，通過實驗結果可以確定其值的選擇。本次研究設定泵組數量n=5，管網曲線hs=7.083 m、Sf=0.029 35。令供水目標(QAneed,Hneed)分別為(10,10.018)、(15,13.6 868)、(20,18.823)、(25,25.4 268)，在不同的權重下，使用優化模型求解軟件LINGO[20]進行求解，結果如圖2所示。

圖3 不同目標不同權重下解的評價Fig.3 Evaluation of solutions for different targets with different weights

圖2 不同約束下解的分布Fig.2 Distribution of solutions under different constraints

在現有約束下，模型的解“×”分布范圍較窄，集中在高效率區域。在Hneed為10.018 m時，11種權重變化只有2種解；其他情況下，解的差距也不大，權重對解的影響極低，推測為約束過多。

與之對比，取消式(11)和式(12)的約束，求解結果如圖2所示。在主要靠權重進行調控的情況下，當Hneed為10.018 m時，解的數量上升至5種；其余情況下，解的分布范圍也有了極大的提升。而除去α為1時(完全追求最小流量偏差)出現的a～d幾個低效率解外，其余解的分布也與有約束時的重疊，當揚程較高時，重疊現象更為顯著。可見，約束在低揚程時有很大影響，在揚程較高時，影響較小，因此，可以利用對權重的約束來替代式(11)和式(12)對理想流量點的距離和最終流量差的約束。

對減少約束后的數據進行處理。處理時，設定目標函數結果為評價值V、單泵效率E和最終流量差ΔF。ΔF由式(13)求出。對評價值V、單泵效率E和最終流量差ΔF3種評價指標進行歸一化，結果圖3所示。

(13)

如圖3所示，隨著流量差權重α的增加，效率E、流量差ΔF降低，評價值V先增加后減小。而模型以流量差、高效率點距離的平方和作為目標函數，評價值V越低，模型的解越優異。若由模型自主選擇權重搭配，最終結果會偏向α為1(只考慮最小流量差)或α為0(只考慮高效率)的解，前者偏向于增加水泵數量低效率運轉，后者的工作泵數量為0。這兩種極端權重下的解往往不是較優解，甚至是非有效解，因此模型的目標函數需要改進。

2 模型的改進

考慮到模型為混合整數非線性規劃(Mixed-Integer Nonlinear Programming)模型，多采用線性加權法、極大極小法和幾何加權法等來構造評價函數。隨著權重的變化，幾何加權法的結果比線性加權法更符合極小值模型[21]。因此，將目標函數式(1)優化為

(14)

式中，α和β為正系數，α+β=1。

再次求解，結果如圖4所示。幾何加權下，解的分布范圍幾乎與線性加權的相當，除了a點處范圍更大以外。同時，幾何加權下解的數量較少，且主要集中在高效率區范圍內，除了α為1時的幾個低效率解外，解的分布與式(11)和式(12)約束的線性加權法相類似。可見，幾何加權情況下求得非劣解的可能性更高。同樣，對幾何加權情況下的相關評價指標進行歸一化，結果如圖5所示。

圖5 幾何加權下解的評價Fig.5 Evaluation of solutions under geometric weighting

圖4 不同加權方式下解的分布Fig.4 Distribution of solutions under different weighting schemes

由圖5可以看出，評價值V在流量差權重α為0和1兩種極端情況下達到最高點，前者偏向于啟動所有泵(n=5)，在低目標流量時造成極大的流量誤差，不是有效解；后者所求為非劣解，但只考慮流量差，模型給予的評價較差。其余情況下，評價值V較低，總體呈現“U”型，模型達到了綜合考慮流量差和高效率的目的。除了目標總流量QAneed為10 m3/h以外，其余3種情況下，評價值V皆在α為0.5處出現了次高點，表明系統默認對α為0，0.5，1.0的3種組合作出的較低評價。若是不考慮對權重添加額外的約束，由模型自主選擇權重搭配，則最終結果隨著總流量的提升，逐步由向圖5(a)的單極點變為向圖5(b)～(d)的雙極點靠攏。圖5(c)～(d)雖然無明顯極點，但趨勢基本呈“W”型。

可以預測，目標總流量QAneed為10 m3/h時，權重偏向α=0.5；QAneed為15～25 m3/h時，權重偏向α∈(0,0.4)∪(0.6,1)。

當前模型所求解的流量差ΔF皆為正值或極限接近0的負值，而線性加權下存在高效率但流量差ΔF為較大負值的解。可見，除了α為0和1兩種極端情況外，其余權重比得到的解皆為非劣解。因此，可令模型自主決定權重比。為此，添加權重比約束如下:

(15)

再次求解，結果如表1所示。可見，QAneed為15 m3/h和20 m3/h時，α權重偏向于1，但β對高效率的約束令工作泵數n處于合理范圍。4個目標下，結果皆為非劣解。

表1 幾何加權下自主選擇權重的求解結果Tab.1 Solution results under geometric weighting and autonomous selection weights

3 實驗對比

利用改進的Cohen G.最小流

量偏差效率優化模型[3]和效率導向泵組預測控制模型[8]，對并聯泵組工作區的7個典型工況點進行了求解，3種模型的求解結果如表2所示，評價對比情況如圖6～7所示。

結合圖表可見，在不同供水目標下，多目標與效率主導模型的調速比ω相同，但多目標模型的工作泵數量n較高，相較于效率主導模型，多目標模型的效率E會有些許下降；但是由圖7可以看出，多目標的流量差ΔF全部為正，相比效率主導模型來說較為符合需求。多目標與最小流量差模型的工作泵數量n基本一致，調速比ω較高，效率E相對較高；流量差ΔF方面，最小流量差模型在目標流量為10～17.5 m3/h時，流量差ΔF為超過20%的負值，不貼合目標需求。綜合多目標模型所求解的評價指標，可以確定：當前的模型滿足適應工況、自主調節權重的求解要求。

表2 不同目標下3種模型結果Tab.2 Results of the three models under different targets

圖6 3種模型的效率比較Fig.6 Comparison of the efficiency of the three models

圖7 3種模型的流量差比較Fig.7 Comparison of flow differences between the three models

4 結 論

本文針對現今單目標泵組控制系統無法求出變工況條件下最優解的問題，構建了適應工況、自主調節權重的多目標控制模型，并得出如下結論。

(1) 利用幾何加權法構造系數在求解最小值時能保證所求解為非劣解。相較于線性加權法，幾何加權法在求解多目標最小值問題上更符合實際。

(2) 利用“揚程-理想流量”表來追蹤高效率目標，可以有效地簡化模型目標函數和約束，降低模型的復雜度。

(3) 并聯泵組多目標控制模型總體偏向于高效率，在低流量低效率區域，能夠綜合考慮效率和流量差；在高流量高效率區域能夠優先考慮效率，而且能提供足夠的流量來滿足需求，符合實際工程的需求。