開展數學深度教學 助力學生思維進階

朱國軍 彭 亮

在全面深化教育改革的大背景下，數學教育目標發生了巨大的變化——從“雙基”到“四基”再到“核心素養”。數學教學理念也因而不斷被刷新升級，使得“核心素養”“深度學習”“深度教學”“高階思維”成為教育界的熱點話題。筆者嘗試對數學深度教學和思維進階進行了一些思考和探索。

一、數學深度教學與思維進階

“深度”表示認識觸及事物本質的程度。美國心理學家布盧姆將認知領域的教學目標由簡到繁分為六個層次——記憶、理解、應用、分析、評價、創造。“記憶”“理解”和“應用”沒有研究到本質問題，屬于淺層學習；“分析”“評價”與“創造”就有了深度學習的味道。《義務教育數學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱課標）也對數學學習過程與結果作了不同水平的劃分，以了解（認識）、理解、掌握等術語表述學習活動結果的不同水平，以經歷、體驗、探究形容學習活動過程的不同程度。

深度學習是一種深入學科本質和知識內核，由符號記憶轉向邏輯理解和內涵認知的學習。它追求學生對知識的深度認知、深度理解、深度體驗。學生深度學習的實現有賴于教師的深度教學。南京大學鄭毓信教授對數學深度教學的具體內涵作出如下概括：“數學教學必須超越具體知識和技能，深入到思維的層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質的提升；我們還應幫助學生由在教師（或書本）指導下進行學習轉向更自覺的學習，包括善于通過同學間的合作與互動進行學習，從而真正成為學習的主人。”

思維進階是針對思維水平而言的低階思維向高階思維的轉變。筆者按照布盧姆的教學目標分類，把學生的數學思維分為六個層次，“記憶”“理解”與“應用”屬于低階思維，“分析”“評價”和“創造”屬于高階思維。教師直接告知、學生記憶結論、重復練習等都屬于低階思維，而學生自己主動去探尋問題、提出問題、創造性地思考問題等都屬于高階思維。低階思維是高階思維發展的前提，要更好地推動學生發展高階思維，就要讓學生在原有低階思維的基礎上展開富有批判性、探索性和創造性的深度學習。

深度學習與學生思維進階有著相輔相成的關系，學生從低階思維進階到高階思維需要以深度教學做媒介，也可以說，深度教學可以推動學生由低階思維向高階思維進階。

二、以數學深度教學推動學生思維進階的策略

淺層學習體現出不可變通、不成結構、缺少批判性和創新性等低階思維的特征，而深度學習體現出靈活性、深刻性、敏捷性、創造性、批判性和結構性等高階思維的特征。筆者在數學教學中發現，學生的思維多處于低階思維水平的現象比較明顯，如認知膚淺，缺少思維支點；知識碎片化，思維不成體系；啟發泛濫，缺乏思維空間；思考無序，思維能力有待提高。長此以往，學生將會出現“高分低能”“高分低品”等問題。因此，教師應潛心研究教學，更新教學理念，改進教學方法，以實現數學深度教學，從而提高學生的思維力、學習力，培養學生的高階思維。

1.追本溯源，讓學生的數學思維由表及里。

美國數學家赫斯說：“問題不在于教學的最好方式是什么，而在于數學到底是什么，如果不正視數學的本質問題，便永遠解決不了教學的爭議。”教師在教學中應注重深度挖掘教材，引導學生追溯知識的本質和內核，促進他們的數學思維由表及里不斷深入。

例如，“3 的倍數的特征”的學習是以原有探究“2、5 的倍數的特征”為基礎的。常規教學是先引導學生在給定的數中找出3 的倍數，再讓他們觀察、猜測這些數的特征，然后舉例驗證自己的發現是否正確，最終總結出3 的倍數的特征。教師不妨在學生探索出3 的倍數的特征后追問：為什么探究“3 的倍數的特征”要關注各個數位上的數？并借助“小棒圖”引導學生分析數的組成，從而使他們發現隱藏在知識背后的道理。當教師試探性地問學生：你知道3 的倍數的特征嗎？這屬于淺層教學，會使學生的認知處于“記憶”和“理解”水平，從而使他們的數學思維處于低階層面。教師應在淺層教學的基礎上，引導學生通過觀察數的組成和擺小棒等發現3 的倍數的特征的本質問題，使他們“知其然，知其所以然”。這才是數學深度教學，能推動學生的數學思維由低階上升到高階。

2.前后串聯，讓學生的數學思維由點到面。

美國教育家杜威認為：一次完整的思維包含著兩種運動，一種是用于發現的歸納性運動，一種是用于檢驗的演繹性運動，歸納與演繹的雙向互動實現了學生思維“點—線—面”的輻射式發展。瑞士兒童心理學家皮亞杰認為：隨著學習者學的知識越來越多，就應該讓他們認清所學知識之間的聯系，主動構建認知圖式。教師要認真研究教材，把握編者的設計意圖，關注前后知識之間的關聯，并引導學生去比較、去分析、去歸納。

例如，教學“梯形的面積”，當學生通過割補探究出梯形的面積計算公式后，教師追問：我們已經學過哪些平面圖形呢？它們的面積計算公式是什么？這些平面圖形的面積計算公式之間有什么聯系呢？接著引導學生發現長方形可以看成上底與下底相等的梯形，長方形的面積計算公式可以根據梯形的面積計算公式推導出來。學生隨即聯想到正方形、平行四邊形、三角形的面積計算公式都可以借助梯形的面積計算公式推導出來。教師接著提問：圓的面積計算公式是否也可以借助梯形的面積計算公式推導出來呢？把知識延伸到未知的領域，給予學生遐想的空間。然后，教師拋出直追知識本質的問題：為什么梯形的面積計算公式可以與其他幾個平面圖形通用呢？并借助幾何畫板動態演示梯形的變化，讓學生發現原來這些平面圖形之間都是有聯系的。最后追問：既然梯形的面積計算公式是通用的，為什么其他圖形的面積不都用這個公式來計算呢？引導學生深入理解數學知識的共性與個性、復雜性與簡捷性。上例中，讓學生探究梯形的面積計算公式并且靈活運用只是淺層的學習，實現的是思維的“點”狀提升；接著要求學生研究各個平面圖形的面積計算公式之間的關系，引導學生發現梯形的面積計算公式與其他幾個平面圖形通用，使他們的學習逐步走向深入，達到了思維的“線”上串通；最后延伸到圓的面積計算公式，并追問梯形的面積計算公式為什么可以通用，這是思維的“面”上延展。整個過程從基礎知識的“點”走向基于知識脈絡的“線”和“面”，學生從“理解”“運用”到“分析”“評價”，經歷了深度學習，增強了數學思維的深刻性，他們的數學學習也呈現出生長態勢。

3.質疑問難，讓學生的數學思維由淺入深。

亞里士多德曾說過：“思維是從疑問和驚奇開始的。”在教學中，教師應注重引導學生對情境中的數學信息進行充分的觀察、提取、概括，并聯系已有知識經驗進行聯想、加工，從而使他們產生疑惑，進而發現和提出問題。質疑問難可以是生生互相質疑，也可以是師生互相質疑。

例如，教學“小數的近似數”，在學生匯報預習所得環節，教師發現大部分學生只是機械地把整數求近似數的原理遷移到小數中來，從而只能淺層次地匯報求小數近似數的方法，對于近似數知識中的道理則表現出一臉茫然。此時，教師鼓勵學生拋出自己還不明白的問題，有學生提出他在學習整數近似數時就搞不清楚為什么要與“5”比，現在精確到十分位，就更不明白為什么要與十分位的“5”比了。于是，教師借助數軸讓學生明晰了為什么要精確到十分位以及怎么來精確到十分位，并讓他們探究怎么精確到百分位。學生的問題接踵而來：1.50 和1.5 相等，1.50 的0 可以去掉嗎？為什么一個精確到十分位，一個精確到百分位，它們的數值卻一樣呢？教師繼續讓學生借助數軸自己去解決。學生從數軸上發現：近似數1.50 和近似數1.5 的取值范圍不同，也就是說它們的精確度不同。學生在上述不斷發現、提出、分析和解決問題的過程中，數學學習不斷走向深入，數學思維也逐漸走向深刻。

4.求異創新，讓學生的數學思維由窄變寬。

創新是我國人才培養的重要標準。課標提到的十個核心概念中就有“創新意識”。布盧姆將“創造”作為人認知的最高水平。小學階段是培養學生創新思維能力的重要時期。教師在數學教學中應該有意識地培養學生的創新意識，鼓勵學生運用多種方法解決問題。

例如，教學“奇妙的割補”（蘇教版五上“你知道嗎？”中的以盈補虛相關內容）時，教師首先引導學生復習平行四邊形的面積計算方法及其推導過程，并鼓勵學生說說是否還有其他方法。學生發現可以把平行四邊形分割成直角梯形再組合成長方形；還可以沿著平行四邊形左右兩邊的中點畫垂直線段，然后沿著這個垂直線段剪下來旋轉一下拼成長方形。接著，教師打破常規，讓學生用同樣的割補方法來研究三角形的面積計算方法，學生發現可以把三角形轉化成長方形或平行四邊形。最后，教師鼓勵學生大膽想象：梯形要怎樣轉化呢？此時，平行四邊形、三角形的多種轉化方法為學生提供了廣闊的思維空間，使他們找到了多種割補方法來求梯形的面積。“創新來源于求異，創造來源于想象”。我們可以看到，在上述教學中，學生一開始研究平行四邊形和三角形的面積計算方法時思維比較緩慢，找到的三角形的割補方法也只局限于兩三種；研究到梯形時，他們的思路全部打開了，找到了更多種不一樣的割補方法。教師不僅讓學生發現了方法的多樣化，還使他們順利實現了從思維多樣化向本質統一性的過渡。

5.理性分析，讓學生的數學思維由低升高。

批判性思維是高階思維之一。發展學生的批判性思維能力，培養學生的批判性思維品質，是引導學生進行數學深度學習的手段和目的。教師要精心設計教學，根據學生生成的問題進行有深度的提問和課堂推進，引導學生獨立進行多角度的思考，鼓勵他們發出真實的聲音，做出理性的判斷。

例如，教學“三角形的內角和”，課前教師調查發現，幾乎所有學生都知道三角形的內角和是180°。于是，課始，教師直接要求學生想辦法驗證三角形的內角和是不是180°。學生首選“量”的方法，當學生量出三個角的度數并把它們相加之后發現不是180°時，有部分學生迅速涂改數據，還有的學生一臉茫然。教師拋出問題：難道三角形的內角和不是180°？進而引導學生發現測量都會有誤差，并引導學生想出更多驗證方法，如撕拼、折拼等，但學生嘗試后發現它們都有誤差，教師繼而告訴學生：動手操作都會有誤差。最后，有學生想到可以通過推理來驗證——利用兩個一模一樣的直角三角形拼成長方形，因為長方形的四個角都是直角，內角和是360°，所以這個三角形的內角和是360°的一半，90°×4÷2=180°；還有學生想出把三角形分割成兩個直角三角形，180°×2-90°×2=180°。其實，每次教學這個內容，都會有學生為了湊成180°而涂改測量所得的數據。上例，教師沒有漠視學生測量的數據，而是引導學生理性分析，進而從量拼引出撕拼、折拼，當學生學會了理性分析，直接指出撕拼、折拼也有誤差時，教師抓住時機點撥，水到渠成地過渡到計算推理，進而引導學生了解初中要學的知識——邏輯推理。研究一步步走向深入，學生的數學思維也得到了很好的進階。

綜上所述，“數學是思維的體操”，數學深度教學呼應發展學生高階思維的訴求，高階思維又是學生數學核心素養的重要標識。教師要找準學生的認知起點，探尋學生數學思維的生長點，引領學生的數學思維在深度學習中由表及里、由點到面、由淺入深、由窄變寬、由低升高，從而有效地發展學生的數學核心素養。