意外的旋轉

江蘇省東臺市新街鎮中學九（1）班 施 承

那天晚上，剛參加完中考的姐姐回來了，那時我正上初二，并準備期末考試.她回憶了剛考過的一道中考題，當著全家人的面說要考考我，我可不服氣，誰怕誰呀！長話短說，我們還是先看題目吧！

【考題再現】（2017年江蘇鹽城中考題第16題）如圖1，曲線l是由函數在第一象限內的圖像繞坐標原點O逆時針旋轉45°得到的，過點A（-42，42），B（22，22）的直線與曲線l相交于點M、N，則△OMN的面積為______.

圖1

我一看，傻眼了！雖然學過雙曲線，但這雙曲線可不一般，它怎么轉過來了？太意外了！我把自己關在房間里，絞盡腦汁，苦思冥想！如果從結論出發，求△OMN的面積幾乎無從下手，但從已知條件出發，我發現本題有兩個特別之處：①曲線l比較特殊，它是由函數在第一象限內的圖像旋轉得到的；②A、B兩點的坐標比較特殊，橫坐標、縱坐標均含有數值 2.于是我想到等腰直角三角形三條邊的比為1∶1∶ 2，是不是A、B兩點都在象限角的角平分線上呢？如果在，那把圖像再旋轉回去不就好了嗎？

說干就干，我將坐標系不動，其余均繞點O順時針旋轉45°，恢復為如圖2所示的圖形，再求△OMN的面積那就變成熟悉的問題了.既可以用S△OAN-S△OAM去求，也可用S△OBM-S△OBN，還可以用S△OAB-S△OAM-S△OBN，求得其結果為8.我激動地捧著草稿紙沖進客廳，向姐姐及爸媽報喜，可姐姐卻哭喪著臉，說這道題她沒做出來，我趕緊收起笑臉，安慰她說：“我也是想了很久，這題目應該沒幾個人做得出來，別擔心.”但心底里還是有一點沾沾自喜.

圖2

圖3

到了學校后，我發現有同學正在向老師請教這道題，我主動說出了自己的想法.老師問我們，除了把圖形旋回來再求解之外，能不能考慮把坐標系也跟著旋轉出去再求解？

坐標系也能旋轉？我大惑不解，將坐標系繞點O逆時針旋轉45°，那x軸和y軸不就斜著了？老師幽默一笑，你將身體也逆時針旋轉45°再看看，我一拍腦袋，此時的圖形（如圖3）與我原來的想法不就一樣了嗎？我恍然大悟！

教師點評

無論是將圖形進行恢復，還是將坐標系跟著旋轉，其本質都是將陌生的問題轉化為我們熟悉的問題，小作者剛剛接觸此類問題時有點不適應，但經歷過兩種不同的“旋轉法”之后，收獲很大！仔細回味，其實兩種思路都在“情理”之中，唯有跟著旋轉，方能將問題進行轉化！