修正的橫觀各向同性千枚巖巖體強度破壞準則

王洪新

（山西晉城公路規劃設計院，山西 晉城048000）

1 背景

層狀巖體的力學特性會隨著傾角的不同而發生變化，分析層狀巖體變形和破壞特征，解決工程巖體的失穩問題，是巖土研究的核心問題，建立合適的強度準則是解決這一問題的基礎。 眾多學者基于連續介質思想，在各向同性材料的基礎上，將力學參數變為與層理傾角有關的函數， 從而模擬層狀巖體的橫觀各向同性性質。 Jaeger［1］將黏聚力看成是隨層理面傾角變化的函數， 而將摩擦角看成是常數， 對傳統Jaeger理論進行了完善；張貴科［2］、楊強等［3］用損傷張量表示節理連通率， 并根據連通率對Mohr-Coulomb強度準則中的粘聚力和內摩擦系數進行等效替換，進而建立了各向異性節理巖體的抗剪強度屈服準則；常江芳等［4］認為橫觀各向同性材料的彈塑性本構方程是材料組構張量、大主應力方向的函數，提出了適用于橫觀各向同性巖體的改進D-P準則。 目前常用的各向異性，包括以下幾種：

1.1 Hoek-Brown強度準則的修正

Hoek和Brown通過對大量的巖石三軸試驗資料和巖體的現場試驗結果的統計分析， 提出了Hoek-Brown強度準則，其一般表達式如式（1）：

式中 σ1和σ3為巖石破壞時的最大和最小主應力；σci為巖石單軸抗壓強度；mb，s和α為巖體材料常數。對完整巖石mb等于材料常數mi，s=1和α=0.5。

為了反映巖石強度各向異性特征，Hoek和Brown認 為mb和s 的 值 隨 層 理 傾 角 而 變 化。 Saroglou 和Tsiambaos［5］指出對于強度各向異性的巖石計算mb和s繁重而枯燥，并通過直接引入修正因子kβ，對Hoek-Brown強度準則進行了修正，如式（2）：

式（2）在下文中采用HB1表示， σcβ為巖層走向與主應力方向夾角為β時的單軸抗壓強度，kβ為強度的各向異性系數。 巖層傾角β為90°時，各向異性系數取1，即k90=1.0，并采用β=90時的三軸數據擬合參數mi，其他角度的參數kβ根據試驗數據，利用式（2）擬合求得。

Xiangchao Shi和Xu Yang［6］重新對Hoek-Brown強度準則進行了修正，其表達如式（3）：

式（3）在下文中采用HB2表示，αβ為各向異性影響因子。σci為最大單軸抗壓強度，根據試驗結果，當β等于0°或90°時取得最大抗壓強度值，則σci取σc0和σc90中的最大值。當σci=σc0時，則α0=0.5，mi根據β=0時的三軸試驗結果擬合求得；當σci=σc90時，則α90=0.5，mi根據90°時的三軸試驗結果擬合求得。 其余角度的αβ根據試驗數據，利用式（3）擬合求得。

1.2 Ramamurthy強度準則

Ramamruthy 等［7］提出了一種經驗性的強度準則用于預測完整各向異性巖體強度的非線性特征，如式（4）：

式中 Bβ和αβ為反映巖體各向異性的材料常數，可以通過式（5）～式（6）計算：

式中 σc90為巖層傾角β=90°時的單軸抗壓強度；α90和B90為巖層傾角β=90°時Bβ和αβ的值。

由于實際工程中， 室內試驗獲得的參數往往是有限的，且多為低圍壓下的試驗結果，本文旨在提出一種各向異性強度準則， 依靠有限的試驗數據獲得的參數，能夠較好的預測巖體在多圍壓下的強度。

2 新型修正的各向異性強度準則

Z.T.Bieniawski［8］基于大量的巖石三軸壓縮試驗提出了一種經驗性的強度準則，如式（7）：

式中 σc為單軸抗壓強度；A為無量綱系數， 為巖體材料常數。

式（7）是基于各向同性的巖石提出的經驗性強度準則，為反映巖層的各向異性，可參照式（2），即HB1的方式，直接引入各向異性系數Rβ對式（7）進行修正，如式（8）：

式中 Rβ為強度的各向異性系數。 巖層傾角β為90°時，各向異性系數取1，即R90=1.0，并采用β=90時的三軸數據擬合參數A， 其他角度的參數Rβ根據試驗數據，利用式（8）擬合求得。

3 擬合結果的評價標準

采用三種誤差指標評價擬合結果， 第一種誤差指標為均方差（R2）：

式中 N為室內試驗的總個數；σc，exp為室內試驗峰值強度；σc，pred為理論計算預測強度；σc，av為室內試驗平均峰值強度。

第二種誤差指標為單個數據的誤差：

第三種誤差指標為絕對誤差的平均值：

根據三種誤差表達式的含義，越小，則計算模型的準確性越高。 另一方面，R2越高，理論值與試驗值的相關性越好， 所以較低的AAREP往往對應一個較高的R2。通過計算AAREP的最小值，得到最優的擬合參數。

4 擬合結果及其討論

4.1 擬合參數的敏感性分析

強度準則中參數［式（2）中的mi和kβ；式（3）中的mi和αβ；式（4）中的Bβ和αβ；式（8）中Rβ和A］擬合的正確性直接影響到強度準則的正確性。 工程實踐中常采用回歸分析的方法擬合出相關參數，因此，室內試驗數據的數量很大程度上影響參數的擬合結果和理論計算的準確性。當只有低圍壓的室內試驗數據時，擬合結果如不能真實反映巖石的強度包絡線， 則強度準則的正確性會降低。正是處于這種考慮，Singh［9］特別指出，強度準則的參數對圍壓敏感度越低越好，以達到采用較少的低圍壓下室內試驗結果擬合出的參數也能準確的預測高圍壓下峰值強度的效果。

本文采用Mahendra Singh［10］千枚巖的室內試驗結果，如圖1。

圖1 千枚巖室內試驗結果

由圖1可知， 共進行了單軸壓縮試驗和圍壓為5，15，30，60MPa4種圍壓的室內試驗。 本文采用從低到高不同數量的圍壓組合， 根據AAREP最小的原則擬合對應圍壓下的室內試驗數據得到相應的擬合參數， 再采用得到的擬合參數預測所有圍壓的室內試驗結果， 針對千枚巖采用3種組合， 即AQ1 （σ3=5，15MPa）；AQ2 （σ3=5，15，30MPa）；AQ3 （σ3=5，15，30，60MPa），擬合得到的不同準則的參數如表1。

表1 三種組合不同強度準則的擬合參數

標準差的大小反映了數據的離散程度，可通過計算表1中不同強度準則下參數的標準差以反映圍壓對擬合參數的影響，計算表達式如式（12），標準差越小，代表了其離散程度越小，即擬合參數對圍壓越不敏感。 不同強度準則下參數標準差的大小如表2。

式中 Ti為擬合參數值。

表2 三種組合不同強度準則的各向異性指數標準差

從表2可看出，新型強度準則各向異性指數的平均標準差為0.04， HB1強度準則的平均標準差為0.05，HB2強度準則的平均標準差為0.1，Ramamurthy強度準則兩參數平均標準差分別為1.69和1.76，不難看出新型強度準則的標準差最低。

采用類似的方法可以計算出， 新型強度準則參數A、HB1和HB2強度準則參數的標準差分別為0.16和2.65，新型強度準則的標準差較小。

4.2 峰值強度擬合結果對比

采用上節中AQ1，AQ2，AQ3 3種組合擬合的參數，利用新型強度準則式（8）預測所有圍壓的室內試驗結果，擬合結果如圖2。

圖2 不同組合試驗值與理論計算值對比

由圖2可知，不同圍壓組合下的擬合參數得到的預測值均與室內試驗較為吻合； 隨著室內試驗數據的增加，擬合結果與試驗值更為吻合。 為了更好的說明新型模型的優越性，將AQ1，AQ2，AQ3三組圍壓組合擬合的參數， 采用不同的強度準則預測所有圍壓的室內試驗結果，如圖3，4，5。 其中擬合參數下Ramamurthy的預測值偏差過大， 這里不予列出。

由圖3可知，采用二組試驗數據擬合出的參數用于預測室內試驗全部圍壓的峰值強度， 本文新型強度準則的均方差R2為0.96，AAREP為5.85%；HB1強度準則的均方差R2為0.93，AAREP為7.86%；HB3強度準則的均方差R2為0.96，AAREP為6.08%；Ramamurthy強度準則偏差過大，不予列出。 由計算結果看出，采用較少試驗數據， 本文新型強度準則的預測誤差小于其他強度準則。

圖3 擬合參數預測結果

由圖4可知，采用三組試驗數據擬合出的參數用于預測室內試驗全部圍壓的峰值強度， 本文新型強度準則的均方差R2為0.97，AAREP為5.80%；HB1強度準則的均方差R2為0.95，AAREP為6.48%；HB3強度準則的均方差R2為0.97，AAREP為6.52%；Ramamurthy強度準則的均方差R2為0.81，AAREP為12.4%。 由計算結果看出，HB2強度準則的誤差最小，本文強度準則次之，但兩者相差不大。

圖4 擬合參數預測結果

由圖5可知，采用全部試驗數據擬合出的參數用于預測室內試驗全部圍壓的峰值強度， 本文新型強度準則的均方差R2為0.99，ARREP為5.01%；HB1強度準則的均方差R2為0.99，ARREP為3.46%；HB3強度準則的均方差R2為0.99，ARREP為4.03%；Ramamurthy強度準則的均方差R2為0.81，ARREP為12.3%。 由計算結果看出，HB1強度準則的誤差最小，HB2強度準則準則次之， 本文新型強度準則的誤差雖不及HB1和HB2強度準則正確，但三者相差不大。

圖5擬合參數預測結果

由此可見， 本文的新型強度準則可以較好的預測各向異性巖石的峰值強度， 特別是室內試驗數據缺乏時，采用本文強度準則得到的峰值強度，其準確性最高。

5 結語

本文根據層巖強度的各向異性， 提出一種修正的強度準則， 并與目前常用的修正Hoek-Brown強度準則以及Ramamurthy強度準則進行對比。 計算結果表明，本文提出的強度準則，采用有限的試驗數據，進行預測時，表現出較高的相關性以及較低的誤差，本文提出準則參數對圍壓敏感度較低， 達到了采用較少的低圍壓下室內試驗結果擬合出的參數也能準確的預測高圍壓下峰值強度的效果。