考慮關節固體潤滑的在軌裝配機械臂振動特性及優化控制

秦 利 徐智穎 劉福才 徐繼龍

燕山大學電氣工程學院，秦皇島，066004

0 引言

空間結構系統如桁架、天線等正趨于大規模、高復雜度和廣維度化，為避免運載尺寸包絡限制和成本擴張的問題，研究者們希望一些關鍵結構組件能夠實現在軌制造和組裝。這類大型結構具有結構跨度大、質量小、結構阻尼弱等特性[1]，易受裝配時機械臂末端載荷影響而發生結構振動。與其連接和搭載的設備設施(如大型光學望遠鏡、空間站等)有嚴格的受擾限制，結構的動力學與機械臂系統穩定性通過連接間隙和末端交互產生耦合效應，在構建過程中振動不斷積累，最終影響整個結構的性能。面向此類高精度、連續大工作量和頻繁啟停的裝配任務，需要分析漸變負載非線性振動下機械臂微小范圍的運動特性，以及操作中對結構施加力/力矩的合理性，以保證整個過程的裝配精度與結構穩健性。重力釋放會引起機械臂系統動力學特性的變化，進而影響其自身的穩定性及末端性能。地面研發時不具備在服役環境中反復測試的條件，更需要基于精確的動力學建模，描述重力及重力釋放下機械臂振動特性的差異，以實現有效的系統性能預測與優化控制。

關節是空間機械臂的核心部件，其動力學建模的目的不僅應體現關節本身的非線性特點，更需要能夠描述從地面到太空的重力環境改變后其動力學特性的真實變化。現有研究以間隙動力學特性為切入點研究機構的動態特性，如文獻[2-3]通過試驗發現間隙是導致機構非周期振動的主要因素，其振動頻率和幅值受間隙大小和驅動速度的影響。這種振動會使機構動力學系統產生混沌現象，影響機構的穩定性[4]。對于間隙產生的振動問題，文獻[5-6]利用廣義簡約梯度法以振動加速度峰值為指標對機構的結構參數進行優化設計；文獻[7]通過引入機構連桿的柔性來減少關節間隙引起的附加振動；文獻[8]則選用主動控制通過基于T-S模糊模型的滑模魯棒控制方案和雙柔性振動并行控制方案來達到機械臂減振的目的。在間隙模型研究方面，通常基于Coulomb摩擦模型進行干摩擦建模[9]可保證數值計算的穩定性，但沒有描述大量存在于含間隙運動副中的Stribeck效應及黏滑效應等摩擦現象[10]。一些學者通過引入動態摩擦模型來解決該問題[11]，但動態模型參數辨識困難，增加了間隙機構的建模難度。文獻[12-14]進一步建立了油潤滑關節模型，并與無潤滑作用時高速運動下的動態特性對比，結果顯示潤滑油具有緩沖和阻尼特性，使系統性能更接近于理想鉸接情況。固體潤滑因其寬溫度范圍內穩定的摩擦性能而廣泛應用于空間機構中[15]。以增加潤滑膜耐荷性為目的，文獻[16]基于微凸峰原理建立了固體潤滑摩擦模型。空間重力釋放不僅會影響機械臂的運動行為[17]，還對關節間隙處的摩擦特性產生影響[18]，可導致航天器機械系統故障[19]。文獻[20]發現重力條件和微重力條件下軸承的保持架運動穩定性與摩擦閾值存在明顯不同。這種由重力環境改變而引起的摩擦力傳遞特性差異也是建模時要考慮的關鍵因素。

面向大型結構裝配這種高精度任務的機械臂難以在地面有效搭建整臂任務級的微重力模擬試驗平臺。本文為實現機械臂系統動力學建模的目的，設計并搭建了以固體潤滑機械臂關節為本體執行機構的半物理仿真試驗平臺，采用半物理仿真試驗的方式在數學仿真中接入實物對象來解決地面試驗困難這一問題，并根據試驗結果修正關節接觸力，建立不同重力環境下的機械臂模型，分析了不同結構參數和工況參數的機械臂在重力釋放下的振動特性差異。進一步針對裝配時頻繁啟停的操作需求，分析了變負載啟停時的振動特性，并從優化傳動系統在啟停瞬間的動態性能著手，研究減小機械臂系統在運行過程中振動的可行方法，用于振動敏感場合的機械臂控制。

1 固體潤滑機械臂系統建模

1.1 關節間隙界面固體潤滑接觸力計算

關節間隙界面處接觸力與變形的關系是建立機械臂系統力學模型的重要一環。當硬質軸覆上固體膜后，由于固體膜硬度較低，軸承在旋轉過程中會對固體膜產生推擠，在軟膜層發生剪切效應，其摩擦力取決于固體膜的抗剪強度，而承載能力仍取決于硬質基體。固體潤滑下接觸力可通過法向碰撞力和切向摩擦力來表示，假設運動過程中軸與軸承的軸線平行且接觸線方向上任意點處碰撞效果接近或相同，建立圖1所示的接觸模型。

(a)接觸模型示意圖

(b)接觸模型截面圖

1.1.1碰撞力計算

固體潤滑下關節的碰撞力根據硬質基體來計算，基于L-N碰撞模型并引入非線性剛度系數，考慮碰撞過程中能量耗散，碰撞力可以表示為

(1)

(2)

式中，Cn為間隙鉸的法向阻尼系數；m為非線性彈簧接觸力系數；δ為間隙鉸的法向變形量；K為間隙鉸的剛度系數；c為裝配間隙；L為軸承軸向長度；E*為軸套、軸承材料的等效彈性模量。

1.1.2摩擦力計算

當Fn達到一定值時，會壓入軟膜層，接觸點處的應力達到受壓的屈服極限而產生塑性變形，此時接觸面將出現牢固的黏著節點，根據黏著摩擦理論可知，通常兩接觸表面間摩擦力可以表示為

Ft=T+Fe=Aτb+Spe

(3)

式中，T為剪切力，T=Aτb；Fe為犁溝力，Fe=Spe；A為黏著面積(即實際接觸面積)；τb為黏著點的剪切強度；S為犁溝面積；pe為單位面積的犁溝力。

一般情況下，軸承和軸套接觸表面比較光滑，犁溝效應通常可忽略不計。當軸承在軸套表面運動時，會對固體膜產生推擠，僅面向運動方向的1/2界面發生接觸，假定軟質二硫化鉬膜為均質體，根據黏著理論，計算接觸點處的摩擦力可表示為

(4)

式中，RJ為軸承半徑；α為半壓入角；vt為接觸點的相對速度；τb為黏著點的剪切強度，其數值與滑動速度和潤滑狀態有關。

1.2 關節運動模型分析

基于上述固體潤滑接觸表達式分析含間隙機械臂旋轉關節運動，考慮到關節在運動過程中存在自由運動和接觸碰撞兩種狀態，建立關節運動模型如圖2所示。

(a)自由運動狀態

(b)接觸碰撞狀態

運動過程中關節的偏心向量可以表示為

eij=rPj-rPi

(5)

rPk=rk+Aks′Pkk=i,j

(6)

式中，rPj、rPi分別為軸承和軸套中心點在廣義坐標系下的位置矢量；rj、ri分別為軸承和軸套質心在廣義坐標系下的位置矢量；Aj、Ai分別為軸承和軸套隨體固定坐標系到廣義坐標系的轉換矩陣；s′Pj、s′Pi分別為自由運動狀態隨體固定坐標系下軸承和軸套中心點的位置矢量。

偏心向量的大小可以表示為

(7)

偏心角位移矢量可以表示為

(8)

式中，eijx、eijy分別為eij在X和Y軸上的分量。

當軸承和軸套發生接觸時(圖2b)，接觸處的法向單位矢量可表示為

(9)

接觸點處的切向單位矢量t可由法向單位矢量逆時針旋轉90°得到。

彈性變形量的大小可由接觸時偏心距eij和間隙c確定：

δ=eij-c

(10)

c=Ri-Rj

式中，Rj為軸承半徑；Ri為軸套半徑。

接觸點在廣義坐標系下的位置矢量可以表示為

rQk=rk+Aks′Qk+Rknk=i，j

(11)

式中，s′Qj、s′Qi分別為接觸碰撞狀態隨體固定坐標系下軸承和軸套中心點的位置矢量。

間隙關節運動副之間的相對接觸速度可以表示為

(12)

將接觸力式(1)和式(4)分解到X、Y軸方向上，由于關節處于自由運動狀態時無接觸力，故引入函數u(δ)來修正接觸力的數值。修正后軸套接觸點處的接觸力矢量Fx和Fy可以表示為

(13)

(14)

在接觸點施加的力需要轉換到剛體質心。軸承j和軸套i之間接觸力作用于質心的力矩為

Mk=Fk×(Aks′k+Rkn) k=i,j

(15)

Fj=Fx+FyFi=-Fx-Fy

式中，Fi、Fj分別為作用力與反作用力。

1.3 系統動力學建模

圖3 n自由度含間隙機械臂模型Fig.3 Schematic diagram of n DOF manipulator with clearance

進一步建立機械臂系統模型如圖3所示。假設連桿i(i=1,2,…,k)為剛性桿，Si為連桿i的質心,LSi為連桿i的質心到第i個軸質心的距離，連桿i的質量為mi，桿長為Li，繞第i軸轉動時的轉動慣量為Ji，轉動角度為θi，Ri1、Ri2分別為第i個軸套和軸的半徑，φi為第i個軸套和軸的偏心角，xSi、ySi分別為連桿質心Si在X和Y軸方向上的位移矢量。

作用在連桿i上的驅動力矩為Ti，作用在末端連桿k上的力為FB，間隙等效模型中產生的接觸力是系統中各連桿所受的外力，連桿i的關節接觸力可由式(13)～式(15)計算。

基于牛頓-歐拉建模方法建立不同重力環境下含間隙的n自由度機械臂模型。對于末端連桿k，分析可得

(16)

(17)

對于連桿i(i=1,2，…,k-1)，分析可得

(18)

Ti+FixRi2sinφi-FiyRi2cosφi-migLSicosθi-

F(i+1)x(Lisinθi+e(i+1)y+R(i+1)2sinφi+1)+

(19)

聯立連桿動力學方程，進一步整理得到地面動力學模型為

(20)

空間動力學模型為

(21)

2 半物理仿真試驗研究

2.1 半物理仿真試驗方案

將固體潤滑機械臂關節實物接入仿真回路進行閉環動態半物理仿真試驗，搭建的系統如圖4所示。基于文獻[21]所提出的載荷分解方法，可將不同重力環境下機械臂關節所受載荷分別分解成一個穩定載荷、一個旋轉載荷以及一個正弦載荷，通過加載裝置分別施加在關節上，來模擬力學環境改變時力傳遞的差異；空間機械臂系統末端運動狀態關節操縱律、加載裝置操縱律等用相應的數學模型(MATLAB)計算；關節接觸部分為硬件實物；將不同重力環境下數學模型的輸出變換成信號指令通過控制卡對關節和加載裝置進行控制，并將力傳感器測得的接觸力經由數據采集卡反饋給上位機，用以計算空間機械臂系統模型。

圖4 半物理仿真系統結構圖Fig.4 Structure of the semi-physical simulation system

設置試驗平臺初始條件：機械臂桿長度l=1 m；臂桿初始角度θ0=-π/2；關節及連桿質量m1=5 kg；轉動慣量I=0.12 kg·m2；關節軸長L=0.05 m；關節半徑R=0.05 m；給定角加速度為4°/s2；PD控制器參數KP=20，KD=15。從平臺采集得到機械臂末端加速度試驗數據如圖5所示。

可以看出，微重力和重力環境下末端加速度振動特性存在明顯差異，重力環境下的振幅和頻率都大于微重力環境，尤其是在Y軸方向上，啟動階段都出現了高頻振動。

2.2 基于試驗結果的固體潤滑摩擦力改進

從平臺采集到的關節實際摩擦力經濾波后如圖6所示。可以看出，啟動時摩擦力很大，之后開始減小，隨著速度的不斷增大，摩擦力不斷增大。這是由于靜止時間長，接觸面間產生的塑性變形使黏結點增大，從而發生界面黏著，因此需要較大的剪切力剪斷黏結點而產生宏觀的相對運動。

(a)X軸方向加速度

(b)Y軸方向加速度

圖6 關節接觸力半物理仿真試驗結果Fig.6 Semi-physical smimulation experimental results of joint contact force

利用MATLAB工具箱對固體潤滑摩擦力進行辨識。基于試驗中摩擦力存在隨速度增大而增大的現象，對式(4)摩擦力進行修正，將其中剪切強度τb修正為相對速度的函數：τb=k1+k2vt，擬合后得到重力與微重力環境下的摩擦力：

(22)

(23)

由圖6試驗結果與擬合結果對比可以看出，辨識得到的重力、微重力模擬環境下摩擦特性曲線可以與試驗結果很好地擬合。

3 振動特性分析

基于式(22)和式(23)修正式(20)和式(21)的機械臂模型進行振動特性研究，對重力及重力釋放下機械臂系統在不同工況參數和結構參數下的振動特性響應規律分別進行分析。仿真條件如下：使用MATLAB R2016b仿真，根據龍格-庫塔法對方程求解，步長取0.000 01。臂桿長度l=1 m；臂桿初始角度θ0=-π/2；轉動慣量I=0.12 kg·m2；關節軸長L=0.05 m；關節及連桿等效質量m=5 kg；關節半徑R=0.05 m。

3.1 負載對關節振動特性的影響

首先分析不同重力環境時，機械臂在變負載質量變間隙時的振動特性響應規律。取負載質量范圍為0～7 kg，間隙變化范圍為0.1～0.4 mm，驅動力矩T=4cos(4πt)N·m。分別對開始運行和穩定運行后的振動情況進行研究。

圖7 不同重力環境和間隙下起動過程負載對振動特性影響Fig.7 Vibration characteristics of load under different gravity environments and clearances during starting

圖7和圖8分別為重力環境不同時負載變化對機械臂啟動過程和穩定運行過程振動峰值的變化曲線。可以看出，與啟動過程相比，機械臂在穩定運行時的振動峰值較小，但在微重力時受間隙與負載耦合影響較大。由圖7可知，啟動時重力環境下的振動大于微重力環境，隨著間隙c增大振動峰值逐漸增高，有負載約束的振動峰值小于空載；隨著負載增大，關節的振動峰值逐漸降低，且降低速度逐漸減緩。雖然負載增大可降低啟動過程的振動峰值，但負載并不是越大越利于穩定。由圖8可知，穩定運行后，隨著負載增大，振動峰值可突然上升，且由于沒有重力約束，微重力環境的振動峰值大于重力環境。在重力環境下，振動峰值隨負載和間隙的改變變化比較穩定；而微重力環境下的負載與間隙耦合影響的振動情況比較復雜，如當間隙c=0.4 mm、負載質量m=5 kg時的振動峰值突增，遠大于其他負載和間隙值的振動峰值。

圖8 不同重力環境和間隙下穩定運行過程負載對振動特性影響Fig.8 Vibration characteristics of load under different gravity environments and clearances during stable operation

3.2 轉速對關節振動特性的影響

在無負載狀態下，勻速轉速變化范圍為1～8 rad/s，間隙變化范圍為0.1～0.4 mm，分析重力環境不同時驅動轉速變化對機械臂啟動過程和穩定運行過程振動峰值的變化，如圖9、圖10所示。

圖9 不同重力環境和乘隙下啟動過程轉速對關節振動的影響Fig.9 Vibration characteristics of speed under different gravity environments and clearances during starting

由圖9可知，啟動時隨著轉速不斷增大，重力與微重力環境下振動峰值都不斷增大，且增速越來越快。穩定運行后，由圖10可知，在重力環境下，小間隙時的振動峰值隨轉速的增大變化不大。間隙值增大后振動峰值略有增大，隨轉速變化較為平緩。而在微重力環境，間隙較小時的振動峰值隨轉速變化比較平穩，當間隙超過一定值，在低轉速情況下的振動峰值變化復雜，且大于高轉速情況。由此可見，運行于低速工況的在軌操作機構，磨損后的機械特性可能與初始設計有較大差距。

圖10 不同重力環境和間隙下穩定運行過程轉速對振動特性影響Fig.10 Vibration characteristics of speed under different gravity environments and clearances during stable operation

4 啟停過程控制優化策略

機械臂作業過程中，啟停階段振動峰值遠大于穩定運行階段，對裝配這種頻繁啟停的振動敏感工況，需以其動態性能為約束進行控制優化研究。選擇關節間隙值0.1 mm、負載質量3 kg對不同重力環境下機械臂變負載啟停過程的動態響應進行分析。

控制速度為快速無超調的階躍曲線是常用的啟停策略。以常規策略(控制器參數KP=20，KD=15)控制得到啟動過程速度控制結果如圖11a所示，關節接觸力如圖11b、圖11c所示。可以看出，即使速度可實現快速平滑的控制效果，但關節處接觸力呈現高頻振蕩的特點，尤其是在啟動階段，這將直接引起加速度的改變，而最大限度地減小振動的加速度峰值將更有利于機械臂系統的減振降噪與減摩，從而改善系統性能。

本文選擇如下引導速度對啟停控制過程進行優化：

v1=4t

(24)

(25)

v3=4-4t

(26)

(27)

式中，v1、v2、v3和v4分別為勻加速啟動引導速度、余弦啟動引導速度、勻減速停止引導速度和余弦停止引導速度。

對3種啟動控制過程臂桿末端的加速度進行對比分析，如圖12所示。可以看出，啟動階段機械臂關節的振動經由臂桿傳遞到末端，階躍啟停這種快速啟停過程會產生高頻高幅值振動，對高精度作業機械臂來說是不期望的。采用勻加速和余弦啟動控制過程優化后的振動峰值得到了明顯的改善，且勻加速啟動和余弦啟動在不同重力環境下表現出不同的振動特性，在重力環境中選用勻加速啟動，在微重力環境中選用余弦啟動更有利于裝配過程的穩定。勻加速啟動和余弦啟動與階躍啟動相比，其末端加速度波動明顯降低，突變情況得到了改善，加速度變化更平穩，從而較好地解決了啟動階段振動帶來的干擾問題。

(a)階躍速度響應

(b)地面關節接觸力響應

(c)空間關節接觸力響應

(a)重力環境下

(b)微重力環境下

取負載質量變化范圍為0～7 kg，不同重力環境下機械臂在3種啟動控制過程的振動峰值如圖13所示。由圖13可見，重力環境和微重力環境下該機械臂在階躍啟動時的振動峰值相差不大，隨負載質量增大而降低。勻加速啟動和余弦啟動這兩種控制過程均能有效降低振動峰值，但空間微重力環境下的振動峰值較重力環境有很大差異，空間微重力環境下的峰值約為重力環境的1/5。同時，微重力環境時余弦啟動振動峰值較勻加速啟動時更低，且隨負載變化不大，此時速度起主要影響作用，因此在微重力環境下，像余弦啟動這種緩慢啟動方式更適用。但在重力環境時，余弦啟動的振動峰值要略大于勻加速啟動過程，并隨負載增大而降低，此時選用勻加速啟動過程更有利于系統的穩定。

圖13 不同重力環境和啟動過程的負載變化對機械臂振動的影響Fig.13 Manipulator vibration characteristics of load under different gravity environments and starting pocess

圖14為不同重力環境下機械臂在3種停止控制過程的振動峰值。由圖可見，余弦和勻減速停止控制過程同樣可有效降低停止過程的振動峰值，空間微重力環境下的振動峰值較重力環境有很大差異，空間微重力環境下的振動峰值約為重力環境的2/3，并都隨著負載質量的增大呈先減小后增大的趨勢。在兩種重力環境中，大部分負載質量下余弦停止方式都優于勻減速停止，但在微重力環境中當負載質量為4 kg時余弦停止控制過程的振動峰值卻高于勻減速停止，此時需要根據負載特性來選擇合適的停止方式。

圖14 不同重力環境和停止過程的負載變化對機械臂振動的影響Fig.14 Manipulator vibration characteristics of load underdifferent gravity environments and stoping process

5 結論

(1)本文提出了一種基于半物理仿真試驗的含軸向尺寸固體潤滑機械臂的建模方法，對比研究了不同啟停控制策略下的振動響應，給出了減小啟停過程中振動峰值的可行性方法，為需要頻繁啟動的振動敏感工況動態性能的控制研究提供基礎。

(2)相比于重力場，啟停過程中微重力環境中機械臂振動峰值更小，但在穩定運行時，微重力環境的振動峰值更高。

(3)負載對振動有一定抑制作用，但關節間隙變化(如磨損)可在負載增大時帶來重力環境不能體現的在軌性能突變，尤其低速工況下，負載間隙的耦合影響更復雜。

(4)裝配這種振動敏感工況時，快速啟停不適用。如啟動時重力環境選用勻加速控制過程，微重力環境選用余弦控制過程更有利于裝配過程的穩定；停止時重力環境選用余弦控制過程更有利于裝配過程的穩定，微重力環境則需要根據負載特性來選擇停止控制過程。增加引導速度的優化方式令不同重力環境下的控制性能差異更明顯。后期將進一步研究差異自適應的控制策略。