等截面彈塑性回轉體截面翹曲變形分析

劉明君

摘要：研究等截面彈塑性回轉體扭轉問題，針對不同截面形狀，給出了兩種求解方法：一種是基于邊界方程的半逆解法，另一種是傅里葉解法，兩種方法均是通過構造滿足控制相容方程的應力函數，反推出截面翹曲位移表達式，可將復雜問題轉換為簡單問題，并給出具體實例，得到仿真結果圖。

關鍵詞：回轉體;扭轉;翹曲位移

中圖分類號：TU313

文獻標識碼：A

文章編號：1001-5922（2020）12-0121-06

0 引言

等截面回轉體的自由扭轉是彈性扭轉中常見的問題，扭轉模型本質上是三維的，通常很難確定解析解[1]。根據Saint Venant原理[2， 3]，在回轉體中心位置上，彈性場的特性主要受荷載的合力和合力矩的影響，而荷載的具體分布只影響荷載作用區附近的應力分布，因此在回轉體原理末端的位置尋求近似解。從應力函數出發，已有的求解方法包括松弛法，有限元法，非正交曲線查分法等，這些方法均根據三維彈性力學中Kelvin解構造基本解[4-6]。

本文研究等截面彈塑性回轉體側面無外部載荷僅受底端平面受力下的特殊解問題，首先建立回轉體基本方程[7]，從相容關系出發，針對橢圓形截面和三角形截面，根據邊界條件構造滿足條件的應力函數，反推出應變表達式，求解截面翹曲位移。針對矩形截面，將應力函數寫成齊次拉普拉斯方程的通解加上非齊次方程特解的形式，并根據標準變量分離法，將齊次解構造成傅里葉余弦級數的形式，反推出截面翹曲位移。以上兩種方法都是采用半逆解法推導翹曲位移表達式，使其滿足控制方程，將復雜問題轉換為簡單問題，并最終給出仿真結果圖。

1 回轉體基本方程

對于如圖1所示的等截面彈性回轉體，側面S上無約束，僅在底面R上施加載荷力Q和力矩M，則滿足如下條件[8]：

5 翹曲變形求解方法

5.1 基于邊界方程的半逆解法

當截面形狀為橢圓形時，橢圓的長軸半徑為a，短軸半徑為b，則邊界方程為：

取橢圓的長軸半徑為a=1，短軸半徑為b=0.5，單位長度扭轉角a=1，圖4給出了截面位移等高線圖，圖5為翹曲位移三維圖。

圖9給出了邊長比a/b=1時的截面位移等高線圖，對于正方形截面形狀，產生了八個位移相似區域，圖10為邊長比a/b= 0.5時的截面位移等高線圖，隨著邊長比的減小，四個位移區域消失，得到的等高線圖類似橢圓截面的位移等高線圖。

6 結語

文章給出了等截面彈塑性回轉體截面翹曲位移的求解方法，針對橢圓形截面和三角形截面，采用基于邊界方程的半逆解法，擬合出滿足控制相容方程的直力函數，結合應變方程推導出截面位移變形量;針對矩形截面，無法根據邊界方程擬合出滿足條件的應力函數，此時采用傅里葉解法，將應力函數分解為齊次和非齊次拉普拉斯方程解之和的形式，根據變量分離法構造傅里葉級數形式的應力函數，滿足控制相容方程，最終推導出截面位移變形量。結合實例給出具體推導過程，并進行仿真求解，畫出截面位移等高線圖。

參考文獻

[1]雷小燕，黃茂光，回轉體彈塑性扭轉問題的一種邊界積分方程解法[J].固體力學學報，1985，4（4）：445-455.

[2]梁以德，鄭建軍，二維彈性平面問題中任意邊界條件下應力分布的封閉解[J].應用數學和力學，2007，28（12）：1455-1466.

[3]閏維明，石魯寧，何浩祥，等，完全彈性支承變截面梁動力特性半解析解[J].振動與沖擊，2015，34（14）：76-84.

[4]周凌遠，李喬，張士中.采用有限元法計算梁任意形狀截面特性[J].計算力學學報，2008，25（5）：634-638.

[5]陳常松，陽斌，顏東煌，任意梁截面特性值的有限元計算方法[J].長沙理工大學學報，2013，10（1）：41-46.

[6]劉佳，崔桐，虛擬等截面彈性柱體自由扭轉/變形模型[J].重慶理工大學學報，2012，26（12）：59-64.

[7]路曉明，曹海，龔耀清，任意復雜截面梁的扭轉中心[J].力學與實踐，2019，41（4）：453-457.

[8] Xianggang Liu， Chuangze Xu， Jiepeng Liu， et al.Re-search on special- shaped concrete- filled steel tubularcolumns under axial compression [J].Journal of Construc-tional Steel Research， 2018， 147 （4）：203-223.

[9]陳明祥，彈塑性力學[M].北京：科學出版社，2010.

[10]楊綱，郝一龍，胡啟方，等，任意直角梯形截面梁扭轉剛度的無窮級數解法[J].傳感技術學報，2012，25（5）：594-598.