感應同步器前處理模擬電路誤差對系統測量精度影響分析

李太平 齊曉軍 夏振濤

(1．上海衛星裝備研究所，上海 200240；2．上海裕達實業有限公司,上海 200240)

1 引 言

感應同步器[1,2]是一種基于電磁感應原理，用于測量相對角度或者相對位移的測量元件。由于其制備材料相對較為成熟、可靠，本身具有很強的抗干擾、防輻射能力，同時具有少量污染不敏感的特點，因此得到了廣泛的應用。

感應同步器研究國外起步較早，典型的如美國AER-1004、MPACS 30H系列轉臺等[3]；國內哈工大也做了很多研究，DPCT-2單軸伺服轉臺實現了高精度測量，測量精度為0.0001°[4]。早期的感應同步器測量系統多數通過反三角函數查表的方式[5～9]，直接開環測量獲得感應同步器的電氣轉角。此種外圍電路復雜，需要存儲大量的反三角函數，但是其方法理論簡單，所以早期的感應同步器處理芯片也采用此種算法。但是此種算法只能輸出一個電氣周期內的電氣轉角，無法獲得當前系統的電氣周期數，所以現在新型的解算器均不采用此種方法，而是采用II型跟蹤系統自動跟蹤的方法。本文據此仿真分析了感應同步器前處理電路中誤差對系統測量精度的影響，并最終給出了電路誤差對系統測量精度影響的理論計算公式。

2 理論分析

2.1 前置放大電路

如圖1所示，SIN_C、COS_C為感應同步器的輸出信號，其幅值很低，需要通過一個帶通濾波器進行濾波放大，生成新的信號SIN_F、COS_F，一般幅值放大倍數不小于60dB，需要通過多級串聯實現放大；R_C為原始感應同步器勵磁參考信號，由于最終輸入到解算電路中的參考信號需要和SIN_F、COS_F滿足一定的相位關系，所以也經過一個特定的帶通濾波器，生成R_F。

圖1 感應同步器前處理電路輸入輸出信號Fig.1 Inductor synchronizer pre-processing circuit input and output signals

經過帶通濾波器后的三個信號的理想數學表示分別為

SSIN_F=ASIN_FsinθsinΩt

(1)

SCOS_F=ACOS_FcosθsinΩt

(2)

SR_F=AR_FsinΩt

(3)

式中：SSIN_F、SCOS_F、SR_F——分別為圖1中SIN_F、COS_F和R_F信號；ASIN_F、ACOS_F、AR_F——分別為三個信號的幅值，且滿足ASIN_F=ACOS_F；θ——電氣轉角；Ω——勵磁頻率；t——時間。

2.2 跟蹤算法

圖2 跟蹤算法Fig.2 Tracking algorithm

圖2為系統的跟蹤框圖，圖中：Ka=62000；T1=0.0061；T2=0.001。其中f的表達式為[10]

f=(SSIN_FcosθOUT-SCOS_FsinθOUT)SR_F

(4)

式中：f——誤差生成函數；θOUT——跟蹤系統的角度輸出。

2.3 跟蹤系統穩定性

將公式(1)、公式(2)、公式(3)代入公式(4)中，可得

(5)

式中：Δθ=θ-θOUT。

圖3 線性化系統Fig.3 Linearization system

圖4 系統bode圖Fig.4 System bode diagram

圖3所示系統的開環傳遞函數為

(6)

其閉環傳遞函數為

(7)

對于位置、速度和加速度輸入信號的穩態誤差為

(8)

式中：u(s)——輸入信號。

由于測角系統主要用于測量角位移、角速度以及角加速度，但是在角加速度不為0時，系統處于加速狀態，一般對系統的測量精度要求都不高，而對于穩態角速度和角位移，測量精度要求較高，所以以下主要是針對速度跟蹤的誤差進行分析。

圖5 系統初始誤差Fig.5 System initial error

(9)

在Δθ初始分別取值-π、-3π/4、-π/4、3π/4、π時進行仿真。仿真結果如圖6所示，其中x軸為時間，y軸為輸出的角度，結果表明系統穩定，能夠實現對系統的穩態跟蹤。同時，當初值為-π和π時，顯然系統的“啟動”時間很長，在經過0.15s后才開始“上升階段”，在0.15s之前，依靠頻率為2Ω的高頻噪聲通過兩次積分，使其偏離滿足sinΔθ=0，但是Δθ≠2nπn∈N的點。

3 誤差仿真分析

在無特殊說明下，后文的仿真均取以下參數：Ω=10kHz，θ=2πt，仿真步長不大于1×10-6s。

3.1 SIN_C、COS_C相移不同步分析

SIN_C和COS_C端的信號經過放大后，分別為sinθsinΩt、cosθsin(Ωt+φ)，φ為一個偏差小量，絕對值不大于0.05rad。輸出為φ，則輸入到積分端的誤差函數為

esd=sinθcosφsin2Ωt-sinφcosθsin(Ωt+φ)sinΩt

(10)

令esd=0，同時，當跟蹤上時θ≈φ，同時考慮2sin2Ωt=1-cos2Ωt，由公式(10)可得

(11)

表1 不同相移下的理論誤差與仿真誤差

表1中：φ——SIN_C和COS_C的相位差；ΔθS——仿真得到的最大誤差；ΔθT——公式(11)計算得到的最大理論誤差，即公式(11)θ=π/4；Err——(ΔθS-ΔθT)/ΔθT×100%。

由圖7可知，誤差絕對值最大點的橫坐標為θ=π/4+nπ，n為整數，與公式(11)一致。由表1可得：理論誤差與仿真誤差的吻合度很高，最大相對誤差為0.64%，驗證了公式(11)。

圖6 系統在不同初始誤差下的跟蹤結果Fig.6 Tracking results of the system at different initialerrors

圖7 信號不同相移下的誤差結果Fig.7 Error results under different phase shifts of the signals

3.2 參考信號相位誤差分析

R_C端的信號經過放大后為cosθsin(Ωt+φs)，φs為一個偏差小量，絕對值不大于0.05rad。輸出為φ，則輸入到積分端的誤差函數為

(12)

忽略公式(12)高頻項，則

(13)

所以，參考信號的相位誤差相當于在圖3所示的跟蹤系統中的Ka乘以一個系數cosφs，cosφs為正，且保證系統仍然處于穩定狀態，則不會由此產生測量誤差，如圖8所示。但是由于Ka發生變化，所以系統的跟蹤性能發生了變化，上升時間和超調量均會發生變化，如圖9所示。

圖8 參考信號不同相移誤差跟蹤曲線Fig.8 Tracking diagrams of reference signal different phase shift errors

圖9 參考信號不同相移誤差跟蹤曲線局部放大Fig.9 Partial enlargement of tracking diagrams of reference signal different phase shift errors

3.3 電路調幅誤差

SIN_C和COS_C端的信號經過放大后，分別為sinθ、(1-k)cosθ，k為一個偏差小量，絕對值不大于0.05。輸出為φ，同時考慮2sin2Ωt=1-cos2Ωt，忽略高頻信號，則誤差函數為

esd=sinθcosφ-(1-k)cosθsinφ=sin(θ-φ)+kcosθsinφ

(14)

令esd=0，同時，當完成跟蹤時θ≈φ，由公式(14)可得

sin(θ-φ)+kcosθsinθ=0

所以

(15)

圖10 不同幅值偏差下的仿真誤差Fig.10 Simulation error under different amplitude deviations

由圖10可知，誤差絕對值最大點的橫坐標為θ=π/4+nπ，n為整數，與公式(15)一致。由表2可看出：理論誤差與仿真誤差的吻合度很高，最大相對誤差為2%，驗證了公式(15)。

表2 不同幅值偏差下的理論誤差與仿真誤差

表2中：k——SIN_C和COS_C的幅值偏差小量；ΔθS——仿真得到的最大誤差；ΔθT——公式(15)計算得到的最大理論誤差，即公式(15)中θ=π/4；Err——(ΔθS-ΔθT)/ΔθT×100%。

4 結束語

通過引入參考信號，此跟蹤算法能夠實現系統的穩定跟蹤；前置放大電路中，SIN_F、COS_F的相位不同，會造成系統的測量誤差為Δθ=arcsin[sin2θ·(1-cosφ)/2]；參考信號的相位誤差，在保證相位誤差的余弦值符號不發生變化時，會造成系統實際增益變化，但不會直接造成系統的速度跟蹤誤差，考慮到調相電路的難度，應將該誤差絕對值控制在45°內；SIN_F、COS_F的調幅誤差，會造成系統的測量誤差為Δθ=-arcsin[k(sin2θ)/2]。