關于偏好關系的質化與量化研究
——中間道路的探索

劉奮榮 付小軒

(1.清華大學 人文學院， 北京 100084; 2.中國政法大學 人文學院， 北京 100088)

一、 引 言

在哲學、經濟學、計算機科學和人工智能等領域，對偏好概念的研究具有重要的理論價值，這些學科對偏好概念的分析方式各不相同。本文重點關注的是作為主觀評估的偏好概念，它往往與“主體”和“對象”概念聯系在一起。

一般而言，任取兩個對象X和Y，主體對它們的偏好大致存在以下三種關系：

(1)主體偏好X勝于Y；

(2)主體偏好Y勝于X；

(3)偏好X與偏好Y對主體而言都是一樣的。

利用數學表達式，這三種關系也可以分別表示為：Y

關于≤-關系的質化與量化研究，由于研究方式上的差異，往往會產生不同的邏輯系統。本文將從兩個研究方向出發，基于不同的邏輯系統，分別介紹≤-關系從質化到量化的研究以及從量化到質化的研究。通過比較這兩類研究方式，本文將提出一種結合質化與量化研究的新方法——概率與偏好關系的結合，以探索質化與量化研究之間的中間道路。

二、 ≤-關系從質化到量化的研究

在邏輯層面，關于≤-關系的研究主要采取質化分析。由于研究重點的不同，這些質化分析可以大致分為兩種方式：一種是將≤-關系解釋為偏好關系，另一種是將≤-關系解釋為信念關系。前一種研究方式將在下一節具體討論，此處不贅述。后一種研究方式通常將≤-關系作為置信度關系引入。

從質化研究的角度來說，對任意的兩個對象X和Y而言，X≤Y表示的是：Y至少和X一樣可信?；谶@種定義，巴爾塔格(Baltag)等將其與信念更新理論相結合，提出了一套完備的信念邏輯系統[1]。范·本特姆(van Benthem)等進一步將該定義擴展到了動態認知邏輯領域，并引入了概率來刻畫信念更新[2]。

≤-關系的量化研究可以追溯到德·菲尼蒂(de Finetti)1937年的工作[3]。他第一次將概率解釋與邏輯研究相結合，并提出了一個重要猜想,即給定一個任意非空有窮的集合S，以及其所有子集X和Y上的≤-關系，存在一個概率函數P，使以下命題成立：

X≤Y當且僅當P(X)≤P(Y)。

直觀上，這個命題表達的是：對任意兩個有窮子集X和Y，如果Y至少和X一樣好，那么一定可以找到一個概率分布P，它能保證Y出現的概率至少和X出現的概率一樣大。通過尋找這樣的概率分布，德·菲尼蒂將邏輯層面對≤-關系的質化比較轉變為概率之間的量化比較。

與此同時，德·菲尼蒂也給出了滿足這個命題需要確保的五個條件，分別是：

(1)空集≤X。該條件既是為了滿足≤-關系的基本要求，也是為了契合概率分布的要求。因為空集里面不具有任何元素，所以一個主體通常會認為空集不會比有元素的其他集合更好。一般而言，一個概率分布必須是落在0到1之間的一個實數，譬如0.1。而空集的概率的基本定義就是等于0。由此，借助以上命題，該條件表示的是：任意一個至少和空集一樣好的集合X，其概率大于等于0。

(2)S>空集。其中，>是并非≤的縮寫。由于S是個非空集合，與第一個條件同理，該條件也需要保證S比空集更好。

(3)X≤Y，或者Y≤X。該條件被稱作完全性，它表示的是：任意兩個集合之間都可以比較。

(4)如果X≤Y，并且Y≤Z，那么X≤Z。該條件被稱作傳遞性，它表示的是：假定Y至少和X一樣好，又有至少和Y一樣好的Z，那么Z也至少和X一樣好。

(5)任取一個與X、Y都不相交的集合Z。X≤Y，當且僅當X與Z的并集≤Y與Z的并集。該條件被稱作有窮求和性，它表示的是：假定Y至少和X一樣好，那么將同樣的元素都分別加進這兩個集合，擴充之后的Y集合依然至少和擴充之后的X集合一樣好。同理，假定擴充后的Y集合至少和擴充后的X集合一樣好，那么去掉它們當中共同新增的元素，Y依然至少和X一樣好。

德·菲尼蒂的這五個條件不僅保證了≤-關系的一般屬性，而且還契合了概率分布的定義。但是，他所提出的條件對概率分布而言不充分?？ǚ?Kraft)等給出了一個具有以下關系的集合S={p,q,r,s,t}:

{q,s}<{p}、{p,q}<{r,s}、{p,s}<{t,q}、{r,t}<{p,q,s}。(<-關系集)

他們證明了上述<-關系集可以擴充成同時滿足德菲尼蒂五個條件的序列，然而，并不存在一個概率函數可以同時滿足這四個<-關系[4]。

為了避免這個問題，斯科特(Scott)去掉了德·菲尼蒂的條件四，并加強了條件五[5]。他在考慮線性關系的基礎上找到了一個平衡性條件來保證：

{q,s}<{p}、{p,q}<{r,s}、{p,s}<{t,q}必然蘊涵{p,q,s}<{r,t}。

因為{r,t}<{p,q,s}與{p,q,s}<{r,t}無法同時成立，所以平衡性條件與<-關系集中的四個關系也就無法同時成立。由此，斯科特在德·菲尼蒂的前三個條件的基礎上加上了平衡性條件，不僅避免了卡夫等人所給出的反例，也保證了下述命題依然成立：

X≤Y當且僅當P(X)≤P(Y)。

借助斯科特的研究成果，范·?？?van Eijck)等從貝葉斯(主觀)概率出發，利用概率化的方式來表示置信度關系[6]。在他們看來，命題φ比命題ψ更可信，表達的是:命題φ的概率大于命題ψ的概率。由此，他們利用概率化的量化方式取代了質化的置信度關系比較(1)范·?？说热说倪@種量化定義方式還避免了純粹質化定義方式(譬如KD45類的信念模型)所面臨的“彩票悖論”。具體參見van Eijck J. & Renne B., ″Update, Probability, Knowledge and Belief,″ in Beklemishev L., Demri S. & Máté A. (eds.), Advances in Modal Logic： Volume 11, London: College Publications, 2016, pp.551-570。。而這種定義方式正好也契合了德·菲尼蒂的猜想。

三、 ≤-關系從量化到質化的研究

≤-關系作為偏好關系的量化研究，主要集中于經濟學領域尤其是決策論方面。在決策論中，效用函數可以看作其量化研究的起點。而效用函數主要分為三類：第一類是序數效用，第二類是區間值效用，第三類是比值效用。在使用序數解釋效用時，對于任意集合S以及其中的任意元素x和y:

U(x)≤U(y)當且僅當x≤y。

例如，假設U(x)=5并且U(y)=10，那么就有x≤y。不過，當開始考慮具體差異時，自然會出現一個問題：假設U(x)=6并且U(y)=10，那么也有x≤y，它與前一個例子有什么區別？為了回答這個問題，哈里森-崔那(Harrison-Trainor)提出了所謂的區間值效用，以此來表示效用值之間的“距離”也至關重要[7]。比值效用也是類似的解決方案，它通過計算效用值的比率來比較偏好。例如，10的效用是5的兩倍。

在決策論中，經濟學家們更關心主體在不確定情境下的偏好關系。因此決策論在效用函數的基礎上加入了概率，由此引入了期望效用。此時主體的偏好關系通過期望效用值之間的大小比較體現出來。而其中作為奠基性工作的正是馮·諾伊曼(von Neumann)等人所提出的計算方式：

EU(L)=∑kU(Ok)·Pk。

在該公式中，EU表示的是一個從彩票集合到實數集合的期望值函數[8]。對每張彩票L而言，考慮所有可能的結果O及每個Ok的效用值，概率分布P都給予每一個可能結果Ok發生的客觀概率Pk。直觀上，這個公式表達的是：一張彩票的期望效用值需要綜合考慮開獎后的所有可能結果與這些結果發生的概率，以判斷該彩票是不是比其他彩票更好。用≤-關系來表示的話，亦即對其他的彩票L′而言，是否滿足L′≤L。

區別于客觀概率，利用主觀概率來定義期望效用主要有以下兩種方式：

一種是沿襲了馮·諾伊曼的定義方式，由薩維奇(Savage)提出的計算方式[9]。薩維奇將等式中的彩票L轉變為行為F，而Pk所表達的是主體相信某個結果有多大概率可能發生。那么薩維奇提出的計算方式所要比較的就是：主體基于自身的信念會更偏好哪個行為。薩維奇的理論不僅引入了概率來表示某個狀態出現的置信程度，也通過效用函數揭示出了主體對某個行為(或行為的結果)的偏好程度。由此，利用薩維奇的定義方式，主體就能比較不同行為的期望效用值，從而推導出自身應該偏好哪個行為(實際上就是期望效用值最大的行為)。

另一種是杰弗里(Jeffrey)所提出的計算方式[10]。區別于前面兩者，杰弗里將命題作為偏好關系的基本組成部分。主體的行為和可能的結果都通通被看作命題。對于每個可能結果的概率，杰弗里利用條件概率來區分。例如，主體需要選擇是否帶傘，可能的結果是下雨或者不下雨，那么條件概率就能表示在帶傘(或者不帶傘)的情況下下雨以及不下雨的概率。

雖然以上三種計算方式在表達形式上有所不同，但它們本質上都是一樣的理念：通過考慮每個行為(或命題)所產生的效用值，以及所發生行為的狀態出現的概率，來計算這個行為的最終期望值。

≤-關系作為偏好關系的質化研究，可以追溯到馮·賴特(von Wright)對它的邏輯研究[11]。他第一次為偏好邏輯提供了完全的系統?；谒墓ぷ?，劉奮榮區分了靜態與動態的偏好模型，并進一步為偏好邏輯的動態變化提供了完全的系統[12]?；衾?Holiday)等為了避免亞爾欽(Yalcin)所提出的蘊涵問題[13]，提出了定義≤-關系的新方法：X≤Y當且僅當存在一個從X到Y的通脹函數，并且該函數是單射[14]。其中，從X到Y的函數f是通脹的，指的是：對X中每一個x而言，x≤f(x)都成立?；衾系日J為主體根本不會有足夠的信息來完全確定命題(或狀態)的總體排序，因此允許了許多不可比性。哈里森-崔那等認為霍利迪等所提出的這個新方法相對于埃隆(Alon)等所提出的不精確概率的比較邏輯是可靠并且完全的[15]。而最為重要的是：通過這些設定，他們以純粹質化的形式表達了≤-關系的概率化解釋。

實質上，在偏好關系的研究中，邏輯學家們更多關注的是≤-關系應該滿足的性質。一般而言，這些性質主要是：

(1)自反性。該性質表示的是一個對象(或命題)至少和自身一樣被偏好。

(2)完全性。該性質表示的是任意兩個對象(或命題)都可以比較。

(3)傳遞性。該性質表示的是：假定一個對象(或命題)A至少和一個對象(或命題)B一樣被偏好，又有一個對象(或命題)C至少和A一樣被偏好，那么C至少和B一樣被偏好。

在關于≤-關系的研究中，邏輯學家們著重考慮≤-關系是否滿足以上這些性質，從而將≤-關系轉變為純粹的質化研究。

四、 新道路: 量化與質化方式的結合

綜合以上討論可以看出，質化與量化的研究方式都在邏輯層面有所運用。但量化方式主要局限于將≤-關系作為信念關系來考量，而質化方式主要局限于將≤-關系作為偏好關系來分析。那么一個問題就自然而然地產生了：當≤-關系作為偏好關系時，是否也能類似于信念關系那樣，利用概率化的形式表現？

舉個最簡單的例子：X≤Y當且僅當P(X)≤P(Y)這樣的定義方式是否能直接應用到偏好關系上？假如可以的話，這個關系所表達的就是：如果集合Y至少和集合X一樣被偏好，那么Y出現的概率至少和X出現的概率一樣大。反之也成立。

當然，這種假定的方式和偏好關系的邏輯性質并不矛盾，也與概率的定義相一致。借助斯科特的條件，確實也能找到唯一的概率函數來表示該關系。但是，這種定義方式不僅與信念的概率化定義雷同，而且遺漏了個體之間的偏好關系。例如，集合Y至少和集合X一樣被偏好，直觀上，往往是需要集合Y里面被偏好的元素出現的概率至少與集合X里面被偏好的元素出現的概率一樣大。

那么該如何既保留個體之間的偏好關系，又將概率納入偏好邏輯中考量?這里就面臨一個挑戰：如何將質化的≤-關系與概率相結合?

下面將針對這個問題，以集合X和集合Y中的元素之間的兩兩對比為出發點，通過定義一種概率化偏好比較方法，將元素之間的≤-關系與它們出現的概率結合起來，以此來定義兩個集合之間的偏好關系。

這種結合量化與質化方式的概率化偏好比較方法的定義如下：

對任意兩個集合X和Y而言，如果Y比X更被偏好，亦即X≤Y，當且僅當如下條件被滿足：

∑xXyYP(x)P(y)y≤x≤∑xXyYP(x)P(y)x≤y。

其中，P(x)是元素x出現在集合X中的概率，P(y)是元素y出現在集合Y中的概率。y≤x是個分段函數，它表示的是：如果Y≤X成立，那么y≤x的值等于1；反之，y≤x的值等于0。

這個定義表達的是：任取集合X和集合Y中的一對元素x和y，如果y≤x這類關系出現的概率比x≤y這類關系出現的概率小，那么集合Y就更被偏好。反之同理。此定義的重點在于計算y≤x以及x≤y這兩類關系各自出現的概率。若前者出現得更多，則集合X就更被偏好；若后者出現得更多，則集合Y就更被偏好。

例如，假定集合X={x,x′}且集合Y={y,y′}，兩個集合的元素之間的偏好關系分別是：x≤y、x≤y′、x′≤y、y′≤x′。不妨假定這四組關系出現的概率相同，那么通過以上概率化偏好比較方法的計算可以得出：主體會更加偏好Y。此處當然也可以假定每對關系出現的概率不一樣，它們具體的概率都取決于主體對每個狀態(或結果)的置信度。

與≤-關系作為偏好關系的質化研究相比較，上述定義方式保留了元素之間的≤-關系和該關系對應的邏輯性質，以保證元素之間的偏好關系能夠在最終的計算結果中體現出來。與此同時，上述定義方式在質化研究的基礎上增加了概率的維度。也就是說，一個集合是否更被偏好，不僅僅需要考慮該集合中更被偏好的元素有哪些，還需要計算這些元素出現的概率是否更大。由此，這種定義方式既保證了元素之間的偏好關系滿足邏輯上的性質，又能保證集合之間的偏好關系綜合考慮了元素之間的對比與每個元素各自出現的概率。

與將≤-關系作為偏好關系的量化研究相比較，上述定義方式把決策論中求解期望效用的比較方式分解成以下三個步驟：

第一步，考慮兩個集合中所有元素的可能配對組合；

第二步，考慮每組元素之間的大小關系，并乘以該組兩個元素各自出現的概率；

第三步，分別計算出x≤y以及y≤x這兩類關系出現的概率總和，再進一步進行比較。

其中第三個步驟是重點：此處拋棄了決策論中對≤-關系的賦值(亦即并沒有將該二元關系轉化為效用函數來表示)，而直接利用集合中元素之間的大小關系，將它們用-函數計算出來。對任意兩個元素x和y而言，如果x≤y成立，那么x≤y就需要“記錄”這個關系(用1表示)，從而通過乘以這組關系出現的概率，作為最終求和的一部分；反之，x≤y則不需要“記錄”該關系(用0表示)。因而在最終對比x≤y和y≤x這兩類關系的概率總和時，-函數就有效記錄了這兩類關系所出現的總次數。

不過，這種概率化偏好比較方法與純量化的計算方式還是存在一些區別：將概率加入≤-關系考量之后，集合之間的≤-關系不再具備傳遞性(2)滿足概率化偏好比較方法定義的≤-關系并不傳遞。對于這個結論可以舉出三類反例：(1)假設X={2}，Y={3}且Z={1，4}，這些元素之間的偏好關系是1<2<3<4，并且對其中的任意兩個集合而言，每一對元素出現的概率都是它們在各自集合中被抽出的客觀概率。那么根據概率化偏好比較方法可以得出：X=Z，Y=Z并且X

接下來簡單介紹這個方法在概率悖論方面的一個應用即擲骰子游戲：

張三邀請李四玩骰子。現在桌子上有三個骰子：A、B和C。它們分別是：

A={3,3,5,5,7,7}；B={2,2,4,4,9,9}；C={1,1,6,6,8,8}。

張三要求李四首先選擇一個骰子，然后他選擇剩下兩個中的一個。在投擲兩個骰子的過程中，擲出更大數字的人就是勝利者。那么張三應該選擇哪一個骰子？

在以上游戲中，無論李四選擇了哪個骰子，張三都可以有獲勝的策略。通過對任意兩個骰子之間的點數以及出現概率的比較，并且計算每個骰子各自點數出現的概率，可以推斷出：

A

因此，如果李四選A，那么張三將選擇C；如果李四選擇B，那么張三將選擇A；如果李四選擇C，那么張三將選擇B。顯然，這三組之間的偏好并不具有傳遞性，而本節所定義的概率化偏好比較方法恰好可以用來解釋這種概率悖論。

基于以上對概率化偏好比較方法的闡釋，接下來引入概率偏好模型。

首先，需要對命題邏輯語言進行擴充，引入形如φ≤ψ這樣的公式。其中，φ和ψ都是由命題變號或者僅僅是由布爾運算構成的命題。在語義上，φ≤ψ這個公式表達的是：公式ψ至少和公式φ一樣被偏好。

接下來給出關于概率偏好模型的定義：

概率偏好模型M是一個四元組M=。其中，S是一個非空且有窮的狀態集；?是S上的一個自反且傳遞的二元關系；V指派給每個命題變號一個S的子集；P是從S到[0,1]的一個概率分布。

再次，根據模型的定義給出模型上的可滿足關系。命題變號以及布爾運算按照通常的定義。其中，最為關鍵的是定義φ≤ψ這類公式如何在模型M上被滿足。依然借助概率化偏好比較方法，模型M上的一個狀態滿足φ≤ψ公式，當且僅當滿足ψ公式的那些狀態y以及滿足φ公式的那些狀態x，能夠保證x≤y這類關系出現的總概率至少和y≤x這類關系出現的總概率一樣大。這個定義方式在直觀上與概率化偏好比較方法的定義相同。它們之間唯一的差異在于：此處x和y的概率是分別基于φ公式和ψ公式的條件概率。這是因為在定義模型M時，P是從S到[0,1]的一個概率分布，由此必須首先計算出在S中分別滿足φ公式和ψ公式的那些狀態的概率，再來各自計算它們中每個元素出現的概率。

最后，根據以上關于概率偏好模型的定義以及模型上可滿足關系的定義，接下來列舉該邏輯的一些有效式和非有效式，并以此來解釋該模型的一些邏輯性質。

概率偏好模型中的有效式枚舉如下，我們省略證明：

(φ≤ψ)(ψ≤φ)。該公式表示的是：概率偏好模型保證了偏好關系的完全性。

φ≤φ。該公式表示的是：概率偏好模型保證了偏好關系的自反性。

(φ≤ψ)((φ)≤(ψ))。該公式表示的是：概率偏好模型保證了偏好關系的有窮求和屬性。

(φ≤ψ)(φ≤(φψ)≤ψ)。該公式表示的是：概率偏好模型滿足了決策論所關心的獨立性條件，它也是杰弗里在考慮量化的偏好關系時所提出的必要條件。

(φ≤ψ)(≤ψ)((φ)≤ψ)。該公式表示的是：對三個對象(或公式)而言，假如主體有個最偏好的對象，那么即使將另外兩個對象結合在一起，主體依然會選擇他最偏好的那個對象。

概率偏好模型中的非有效式枚舉如下，同樣省略證明：

φ≤┬。該公式不是有效的，它表示的是：存在一些公式使得它們的概率至少和重言式一樣大。

(φ≤ψ)(ψ≤)(φ≤)。該公式不是有效的，它表示的是：概率偏好模型的偏好關系并不傳遞。

由此可見，概率偏好模型滿足了第三節探討偏好邏輯時所提到的偏好關系應該具有的大部分性質，并且去除了那些顯然不應該具有的性質。雖然這種定義方式不能保證傳遞性，但也不失為一種統一邏輯和概率的新方法。

五、 結 論

本文遵循了兩個研究方向，具體探討了≤-關系在質化和量化兩方面的研究成果，引入了概率與≤-關系相結合的中間道路，詳細介紹了其中的-函數及其具體應用。作為一種初步嘗試，本文試圖將量化的研究方式引入偏好邏輯的研究中。除此之外，本文還為這種新方式提供了邏輯模型，并探討了該概率偏好模型所具有的邏輯性質。

當然，針對偏好邏輯的概率化研究，邏輯定義方面可以做更多的嘗試。本文主要是通過回顧質化以及量化方法，揭示出了兩種截然不同的思維方式，并展示了這兩種方式結合的可能性。雖然完全公理化仍然是一個未解決的問題，但總體而言，本文所提出的研究方式為偏好邏輯的研究提供了一個新的維度，也為邏輯的概率化研究指出了一條中間道路。