概率不確定語言熵及其多屬性群決策

王 寧，朱 峰

鄭州大學 商學院，鄭州450001

1 引言

為了解決復雜多屬性決策中專家偏好的不一致性，Torra 等[1-2]提出了猶豫模糊集。近年來，國內外學者對猶豫模糊集進行了較為廣泛的研究和應用，先后將猶豫模糊集拓展為區間猶豫模糊集[3]、對偶猶豫模糊集[4]、猶豫三角模糊集[5]等。在多屬性決策過程中，人們對評價方案的屬性常常難以給出準確的數字度量，而利用語言評價或不確定語言評價能滿足這類決策的實際需求。Rodriguez 等[6]對猶豫模糊集進行了拓展提出了猶豫模糊語言集。雖然猶豫模糊語言集允許一個元素屬于某個集合的語言術語可以是多個，但卻將每一個語言術語發生的概率看作是相同的。然而，在多屬性決策問題中，決策者通常會偏好一些語言術語，使得其具有不同的重要程度。因此，Pang 等[7]提出了概率語言集，不僅考慮到了不同的語言術語，而且給出了其各自發生的概率。目前，概率語言集的研究已引起了愈來愈多學者的關注[8-12]。在實際的決策過程中，由于專業知識和背景的不同，人們對評價對象的認知存在著模糊現象，因而，更傾向于用不確定語言術語進行決策分析。為此Lin 等[13]對概率語言集進行了拓展提出了概率不確定語言集。

為了測量猶豫模糊集和區間猶豫模糊集的不確定性，猶豫模糊熵和區間猶豫模糊熵被引入到多屬性決策中。Xu等[14]將模糊熵、交叉熵推廣到猶豫模糊環境下，定義了猶豫模糊集的熵和交叉熵，并討論了兩者之間的關系。Farhadinia[15]基于猶豫模糊元的距離測度提出了多種猶豫模糊元的熵。Wei等[16]等結合猶豫模糊元的均值和方差提出了一系列的猶豫模糊熵。Hu等[17]基于猶豫模糊相似度，提出了新的猶豫模糊熵。Zhao等[18]從猶豫模糊元的模糊性和猶豫性兩個角度提出了猶豫模糊元的二元熵。李香英[19]首先提出了區間猶豫模糊集的熵和相似度，并分析了兩者之間的關系，Alonso 等[20]根據區間猶豫模糊集具有模糊性、猶豫性和信息不完全性的特點提出了區間猶豫模糊集的三元熵。

對于任意一個概率不確定語言集，其不確定語言術語的確定具有一定的模糊性。該語言集是由多個不同的不確定語言術語構成，顯示了一定的猶豫性。其次，每一個不確定語言術語的概率不盡相同，具有一定的似然性。并且每一個不確定語言術語本身具有一定的信息不完全性，因此概率不確定語言集的不確定性主要包含模糊性、猶豫性、信息不完全性和似然性。目前關于概率不確定語言熵的多屬性決策的研究仍為鮮見。因此，為了測量概率不確定語言集的不確定性，本文首先提出了概率不確定語言集的模糊熵、猶豫熵和不完全信息熵的公理化定義以及相關測度，以分別測量概率不確定語言集的模糊性、猶豫性和信息不完全性。其次，為了能夠測量概率不確定語言集的整體不確定性，本文結合概率不確定語言集的模糊熵、猶豫熵和不完全信息熵，提出了概率不確定語言集總熵的公理化定義和相關測度。最后，本文將概率不確定語言熵與VIKOR 方法結合運用到屬性權重未知的多屬性決策問題中，并通過具體案例進行了驗證分析。

2 預備知識

定義1[13]設集合S={si|s0≤si≤sg,i=0.1,…,g}是一個粒度為g 的語言術語集，則概率不確定語言集（PULTS）可定義為：其中和分別是不確定語言術語的上界和下界。l 代表S(p)中元素的個數，而且pλ代表的概率。 S(p)的補集為，其中Lλ和Uλ分別代表和的下標度。

當概率不確定語言集S(p)包含不連續的不確定語言術語且它的概率滿足，例如S(p)={＜[s1,s2],0.4 ＞,＜[s1,s3],0.4 ＞}。為了計算的方便，文獻[13]提出一種可將其轉化為包含連續不確定且概率之和為1的語言術語的標準化處理方法。

首先，要求將不連續的不確定語言術語分成一定數量的連續不確定語言術語，并且將其概率平分。然后為了使概率不確定語言集中的概率和歸一化，按照以下方法對其進行處理：

為了計算方便，本文中所有的概率不確定語言集都是經過標準化處理的。

定義2[13]設任意兩個經過標準化的概率不確定語言集S1(p),S2(p)，則稱

為兩個概率不確定語言集的距離。其中δ(λ):(1,2,…,l)→(1,2,…,l)是一種排列，且滿足

3 概率不確定語言熵

為了測量概率不確定語言集的模糊性、猶豫性、信息不完全性和整體不確定性。本文將分別提出概率不確定語言集的模糊熵、猶豫熵、不完全信息熵和總熵的公理化定義和一系列熵測度公式。

3.1 概率不確定語言集的模糊熵

定義3 設任意三個概率不確定語言集S(p),S1(p),S2(p)，其中，S1(p)=。一般稱函數EFp:S(p)→[0,1]為概率不確定語言集的模糊熵，且滿足以下性質：

（1）EFp(S(p))=0當且僅S(p)={＜s0,p ＞,＜sg,1-p ＞}。

（2）EFp(S(p))=1 當且僅當

（4）EFp(S(p))=EFp(Sc(p))。

為概率不確定語言S(p)的模糊熵。且函數f(x):[0,1]→[0,1]滿足：（1）f(x)=0 當且僅當x=0或x=1；（2）f(x)=1 當且僅當x=0.5；（3）f(1-x)=f(x)：（4）當x ∈[0,0.5]時，f(x)關于x 為單調遞增，當x ∈[0.5,1]時，f(x)關于x 為單調遞減。

由于篇幅有限，因此EFp(S(p))滿足定義3的證明過程省略。通過改變定理1 中f(x)的表達式可以獲得許多類型概率不確定語言集的模糊熵，如：

其中0 ＜t ≤1。

文獻[21]認為一個新的熵可以由自變量為已知的熵的函數構成?；谠撍枷?，本文提出一種具有廣義形式的概率不確定語言集的模糊熵。相關表達式如下：

定理2 對于任意一個概率不確定語言集S(p)，設EFp1(S(p)),EFp2(S(p)),…,EFpn(S(p)) 是S(p) 的模糊熵，則稱

為S(p) 的模糊熵，其中函數Φ(x1,x2,…,xn):[0,1]n→[0,1]滿足以下三個性質：

（1）當xi∈[0,1](i=1,2,…,n)時，Φ關于xi單調遞增。

（2）當函數值Φ(x1,x2,…,xn)=1 時僅當xi=1(i=1,2,…,n)。

（3）當函數值Φ(x1,x2,…,xn)=0 時僅xi=0(i=1,2,…,n)。

關于Φ(x1,x2,…,xn)的表達式本文給出一些簡單的例子，例如：

3.2 概率不確定語言集的猶豫熵

猶豫熵的本質是描述概率不確定語言集的不確定語言術語的離散程度。本文認為一個概率不確定語言集的猶豫性可以從以下方面考慮：（1）當不確定語言術語保持不變，而其對應的概率越接近時，則表示不確定語言術語的猶豫性越大；（2）當不確定語言術語的概率保持不變，而它們彼此差異程度越大時，其猶豫性越大。基于以上分析，本文提出了概率不確定語言集的猶豫熵公理化定義和對應的熵測度。

定義4 任意三個概率不確定語言集S(p),S1(p),S2(p)，一般稱函數EHp:S(p)→[0,1]為概率不確定語言集的猶豫熵，而且需要滿足以下性質：

（1）EHp(S(p))=0 當且僅當S(p)={＜[sL,sU],1 ＞},sL,sU∈S。

（2）EHp(S(p))=1當且僅S(p)={＜s0,0.5 ＞,＜sg,0.5 ＞}。

（4）EHp(S(p))=EHp(Sc(p))。

為S(p)的猶豫熵，其中：

同時函數g(x):[0,1]→[0,1]滿足以下3個性質：

（1）g(x)=0 當且僅當x=0。

（2）g(x)=1 當且僅當x=1。

（3）g(x)關于x 為嚴格單調遞增函數。

同樣關于EHp(S(p))滿足定義4的證明過程省略。

通過改變g(x)的表達式可以獲得許多類型概率不確定語言集的猶豫熵，如：

本文基于文獻[21]的思想，提出具有廣義形式的概率猶豫模糊元的猶豫熵，定義如下：

定理4 對于任意一個概率不確定語言集S(p)，設EHp1(S(p)),EHp2(S(p)),…,EHpn(S(p))為S(p)的猶豫熵，則稱

為S(p)的猶豫熵，其中函數Φ(x1,x2,…,xn)同樣滿足定理2中3個性質。

3.3 概率不確定語言集的不完全信息熵

不完全信息熵是描述概率不確定語言集的不確定語言術語所包含決策信息的不完全性。本文認為一個概率不確定語言集的信息不完全性可以從兩個方面考慮：（1）當不確定語言術語的概率保持不變而其下界和上界的差異程度越大，則不確定語言術語包含決策信息的不完全性越大；（2）當不確定語言術語下界和上界的差異程度保持不變，且其差異程度較大的概率越大，差異程度較小的概率越小，則不確定語言術語的不完全信息越多?；谝陨蟽牲c，本文提出了概率不確定語言集的不完全信息熵，其公理化定義和對應的熵測度定義如下：

定義5 任意三個概率不確定語言集S(p),S1(p),S2(p)，一般稱函數EGp:S(p)→[0,1]為概率不確定語言集的不完全信息熵，且滿足以下性質：

（1）EGp(S(p))=0 當且僅當

（2）EGp(S(p))=1 當且僅當S(p)={＜[s0,sg],1 ＞}。

（4）EGp(S(p))=EGp(Sc(p))。（5）若和，則EGp(S1(p))≤EGp(S2(p))。

為S(p)的不完全信息熵，其中函數h(x):[0,1]→[0,1]滿足以下3條性質。

（1）h(x)=0 當且僅當x=0。

（2）h(x)=1 當且僅當x=1。

（3）h(x)關于x 為嚴格單調遞增函數。

同樣關于EGp(S(p))滿足定義5的證明過程省略。

通過改變h(x)的表達式可以獲得許多類型概率不確定語言集的不完全信息熵，如：

根據已知的概率不確定語言集的不完全信息熵可以得到具有廣義形式的新不完全信息熵，相關定義如下：

定理6 對于任意一個概率不確定語言集S(p)，設EGp1(S(p)),EGp2(S(p)),…,EGpn(S(p)) 為S(p) 的不完全信息熵，則稱

為S(p)的不完全信息熵，其中函數Φ(x1,x2,…,xn)同樣滿足定理2中的三個性質。

3.4 概率不確定語言集的總熵

由上文可知模糊熵、猶豫熵和不完全信息熵僅代表了概率不確定語言集的模糊性、猶豫性和信息不完全性。為了全面地考慮概率不確定語言集信息的不確定性，本文根據定義3、定義4和定義5提出概率不確定語言集的總熵以及對應公理化定義。

定義6 設任意三個概率不確定語言集S(p)、S1(p)、S2(p)，函數EˉFp為概率不確定語言集的模糊熵，函數EˉHp為概率不確定語言集的猶豫熵，函數EˉGp為概率不確定語言集的不完全信息熵。一般稱函數ETp:S(p)→[0,1]為概率不確定語言集的總熵，而且ETp需要滿足以下性質：

（1）當ETp(S(p))=0 時，當且僅當S(p)={＜s0,1 ＞}或者S(p)={＜sg,1 ＞}。

（2）當ETp(S(p))=1 時，當且僅當S(p)={＜[s0,sg],1 ＞}或S(p)={＜s0,0.5 ＞,＜sg,0.5 ＞}。

（4）ETp(S(p))=ETp(Sc(p))。

定理7 對于任意一個概率不確定語言集h(p)，則稱為概率不確定語言集的總熵。同時函數F(x,y,z):[0,1]3→[0,1]滿足以下4個性質：

（1）F(x,y,z)=0 當且僅當x=y=z=0。

（2）F(1,0,0)=F(0,1,0)=F(0,0,1)=1。

（3）設x′,y′,z′是x,y,z的任意位置互換，則F(x,y,z)=F(x′,y′,z′)。

（4）當y,z 不變時，函數F(x,y,z)隨著x 的遞增而遞增的；當x,z 不變時，函數F(x,y,z)隨著y 的遞增而遞增的；當x,y 不變時，函數F(x,y,z)隨著z 的遞增而遞增的。

關于定理7滿足定義6的證明過程略。通過改變定理7中的函數F 表達形式，可以獲得許多類型的概率不確定語言總熵，例如：

根據已知的概率不確定語言集的總熵可以得到具有廣義形式的新概率不確定語言集的總熵，相關定義如下：

定理8 對于任意一個概率不確定語言集S(p)，設為S(p)的總熵，其中函數Φ(x1,x2,…,xn)同樣滿足定理2中的三個性質。

4 基于概率不確定語言熵的多屬性決策模型

利用上述概率不確定語言集的模糊熵、猶豫熵、不完全信息熵和總熵，下面將建立基于四種不確定概率語言熵的多屬性決策模型。

對某一概率不確定語言多屬性決策問題，語言術語集S={si|s0≤si≤sg,i=0,1,…,g} ，設 方 案 集X={xi|i=1,2,…,m} 、屬性集A={aj|j=1,2,…,n} 和屬性權重集w=(w1,w2,…,wn)T，其中方案集和屬性集已知，而屬性權重集未知，則決策步驟如下：

步驟1 首先獲得專家的決策結果，其次由于多屬性決策問題中屬性存在兩種類型，即利益型和成本型，前者的屬性值越大越好，而后者的屬性值越小越好。兩種屬性值無法進行數學運算，因此需要按照以下規則進行處理：（1）對于利益型屬性，其屬性值保持不變；（2）對于成本型屬性，需要將其轉化為利益型屬性，即Sij(p)?，最終獲得了決策矩陣M=(Sij(p))m×n。

步驟2 首先根據式（6）、式（15）和式（21）計算概率不確定語言集Sij(p) 的模糊熵、猶豫熵和不完全信息熵。根據式（25）確定概率不確定語言集Sij(p)的總熵。若屬性權重完全未知，則由信息熵理論可知，熵值越小，相應的評價指標越重要；反之熵值越大，則該評價指標越不重要，則屬性aj的權重wj的計算公式如下：

如果決策者根據經驗能夠提供部分屬性權重信息，設部分屬性權重信息集合為Δ，則可以將決策者提供的部分主觀權重信息作為優化模型的約束條件，此外屬性的權重應當使得信息熵越小越好[22]，因此建立一個有主觀權重信息約束的屬性權重確定模型（M-1）：

步驟3 根據式（1）分別計算每一個概率不確定語言集Sij(p)與正理想概率不確定語言集S+(p)={＜[sg,sg],p1＞,＜[sg,sg],p2＞,…,＜[sg,sg],plij＞}、負理想概率不確定語言集S-(p)={＜[s0,s0],p1＞,＜[s0,s0],p2＞,…,＜[s0,s0],plij＞} 的距離dp(Sij(p),S+(p))、dp(Sij(p),S-(p))，S-(p),S+(p)中的元素個數會隨著每一個概率不確定語言集Sij(p)中元素的個數而定，而且概率pλ(λ=1,2,…,lij)與概率不確定語言集Sij(p)中隸屬度的所有概率相等。

步驟4 根據改進VIKOR 方法[23]、屬性權重集w=(w1,w2,…,wn)T，dp(Sij(p),S+(p))和dp(Sij(p),S-(p))，計算每一個方案xi(i=1,2,…,m)的群體效益值、個體遺憾值和綜合評價值計算公式分別是：

步驟5 分別根據MSi、MRi和MQi對方案進行升序排列，得到三個排序，其中MSi和MRi數值越小，MQi數值越大代表方案越優。

步驟6 確定妥協方案。設MQi按照升序排列得到的結果為x(1),x(2),…,x(m)，如果x(1)同時滿足以下兩個條件，則為妥協方案：

（2）在依據MSi和MRi進行排列時，x(1)至少有一個依然排列為最小值。

如果上述條件不能同時滿足，則可以依據以下情況分別得到妥協方案：如果不滿足條件（2），則x(1)和x(2)均為妥協方案；如果不滿足條件（1），則妥協方案為x(1),x(2),…,x(m)，其中

5 案例分析

為了便于與已有的方法進行比較，本文選取了文獻[13]采用的案例。

5.1 問題描述

假設一家公司邀請五位專家ek(k=1,2,…,5)根據成本a1、可靠性a2、安全性a3、可用性a4和功能a5這五個屬性對四種云存儲服務xi(i=1,2,3,4)進行評估，并且從中選擇最佳的服務。其中a1是屬于成本型其他屬性均為利益型，五位專家的權重相等，其評估結果用概率不確定語言集的形式表示。其中專家采取的語言術語集為S={s0：極其差，s1：非常差，s2：差，s3：稍差，s4：一般，s5：稍好，s6：好，s7：非常好，s8：極其好}。表1～5分別表示五位專家對這四種云存儲服務的評估。

表1 專家e1 的評價結果矩陣

表2 專家e2 的評價結果矩陣

表3 專家e3 的評價結果矩陣

表4 專家e4 的評價結果矩陣

表5 專家e5 的評價結果矩陣

由于專家們的權重一樣，根據3.1 小節中對不確定概率語言集的標準化方法對五位專家的評價結果進行處理，然后形成了概率不確定語言決策矩陣，如表6 所示。

5.2 屬性權重的確定

5.3 評估方案排序

本文取θ=0.5，根據式（28）、（29）和（30）計算所有概率不確定語言集Sij(p)(i=1,2,3,4,j=1,2,…,5)的群體效益值MSi、個體遺憾值MRi和綜合評價值MQi。

根據表7 和步驟6 可以得到對于方案x2，條件1：

表7 各方案的量值及排序

5.4 敏感性分析

在式（30）中偏好系數θ 的取值可能會影響最終的排序結果，因此通過對θ 取不同的數值進行敏感性分析。將偏好系數θ 從區間[0，1]范圍內以步長為0.1 取值，分析四種云存儲服務評價結果的排序情況。計算結果如圖1所示。

圖1 θ 值對妥協方案的影響

根據圖1的結果可見，隨著偏好系數θ 的改變排序結果始終是x2?x1?x3?x4，且經過計算最終得到的妥協方案始終為x1和x2，與上文的決策結果是一致的。由此可見，排序結果對偏好系數θ 的變動不敏感。

5.5 比較分析

為了說明本文模型的有效性，運用文獻[13]的方法對評價結果進行比較分析。其中文獻[13]分別提出了概率不確定語言TOPSIS（PUL-TOPSIS）法和基于概率不確定語言加權平均算子（PULWA）的多屬性決策方法。將以上兩種方法的計算結果與本文的計算結果進行比較，其結果如表8所示。

表8 三種方法的結果比較

根據表8的結果可知：雖然本文模型得到的結果與文獻[13]中的結果存在部分差異，但本文模型具有以下優勢：（1）文獻[13]的方法采取離差最大化確定屬性權重，而在本文模型中決策者可根據自身偏好選擇合適的熵測度進行確權，具有較大的靈活性；（2）文獻[13]中的方法假設決策者是完全理性的，而在本文模型中決策者可根據自身偏好選擇合適的偏好系數θ 進行決策分析，充分考慮了決策者的心理偏好，更加符合決策者的實際經歷；（3）文獻[13]的方法并未考慮屬性的類型，而本文模型中考慮了屬性存在成本型和利益型，因此得到的結果更加合理；（4）文獻[13]的方法只適用于屬性權重完全未知的情況，而本文模型不僅適用于屬性權重完全未知，也適用于屬性權重部分未知的情況，適用范圍更廣。

6 結論

面對概率不確定語言多屬性決策的實際需求和概率不確定語言熵的研究仍為鮮見的現狀，本文指出了概率不確定語言集的不確定性包括模糊性、猶豫性、信息不完全性和似然性，提出了測量概率不確定語言集模糊性、猶豫性和信息不完全性的模糊熵、猶豫熵和不完全信息熵，并結合猶豫熵、模糊熵和不完全信息熵提出了全面測量概率不確定語言集不確定性的總熵。針對屬性權重完全未知的概率不確定語言多屬性決策問題，本文應用這四種概率不確定語言熵建立了決策模型，研究結果表明了該決策模型的有效性。在后續的研究中，將關注概率不確定語言集的其他類型的集結算子。