橢圓軌道欠驅(qū)動航天器編隊重構(gòu)軌跡優(yōu)化*

鐘都都 黃 煦,2 賈曉曉 金學(xué)敏

1.中國人民解放軍96901部隊24分隊，北京100094 2.清華大學(xué), 北京 100084 3.中國人民解放軍火箭軍駐北京地區(qū)第七軍事代表室, 北京 100039 4.中國人民解放軍96669部隊610分隊，北京 102208

航天器編隊飛行是空間任務(wù)中的一項關(guān)鍵技術(shù)，可應(yīng)用于大地測量、深空探測以及在軌服務(wù)等任務(wù)[1-6]。航天器編隊飛行技術(shù)將傳統(tǒng)大型航天器的功能分布于一群近距飛行的小型航天器[4]。因此，與單個大型航天器相比，航天器編隊的優(yōu)勢包括降低風(fēng)險與成本、提高可靠性與魯棒性等[7]。此外，編隊航天器可根據(jù)不同任務(wù)需求變換構(gòu)型，即編隊重構(gòu)，從而進一步提高了空間任務(wù)靈活性以及自適應(yīng)能力[8]。因此，編隊重構(gòu)控制問題得到了廣泛研究關(guān)注。例如，Huntington和Rao[9]基于高斯偽譜法求解了連續(xù)推力作用的航天器編隊重構(gòu)最優(yōu)控制軌跡。同理，已有學(xué)者基于偽譜法探索了利用星間庫侖力或者空間電磁力進行編隊重構(gòu)的可行性[10-12]。不同于上述直接優(yōu)化方法，Lee和Park[13]采用間接優(yōu)化方法求解了最優(yōu)編隊重構(gòu)近似解析解。此外，滑模控制、魯棒控制以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等方法也被應(yīng)用于編隊重構(gòu)控制器設(shè)計[14-19]。

然而，上述重構(gòu)控制方法均假設(shè)編隊動力學(xué)系統(tǒng)全驅(qū)動，即徑向、跡向和法向均存在獨立的控制通道。因此，若控制器發(fā)生故障，編隊控制系統(tǒng)變?yōu)榍夫?qū)動系統(tǒng)，則以上全驅(qū)動控制方法均無法適用。為解決由控制器故障引起的重構(gòu)任務(wù)失效，最為直接的方法為安裝備份控制器[20]。但是，考慮到航天器的結(jié)構(gòu)質(zhì)量與制造成本，更為經(jīng)濟的方法為設(shè)計欠驅(qū)動控制器[21]。

現(xiàn)有欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制器可分為徑向欠驅(qū)動和跡向欠驅(qū)動控制器2類[20-30]。對于徑向欠驅(qū)動情況，Leonard等[22]基于近距航天器間的相對大氣阻力近似作用于跡向的假設(shè)，提出了圓軌道徑向欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制概念。隨后，Kumar等[23-24]針對類似問題提出了線性控制器，且Varma和Kumar[25]基于滑模控制方法提出了另一類非線性控制器。針對類似問題，張相宇等[26]采用狀態(tài)依賴?yán)杩ㄌ岱匠谭椒ㄔO(shè)計了徑向欠驅(qū)動最優(yōu)控制器。對于跡向欠驅(qū)動情況，Godard等[20]分析了圓軌道跡向欠驅(qū)動編隊重構(gòu)可行性，并針對性地提出了跡向欠驅(qū)動控制策略。此外，Huang等[28]求解了圓軌道欠驅(qū)動編隊重構(gòu)最優(yōu)解析解，并解決了欠驅(qū)動編隊重構(gòu)過程的避撞問題[29]。可見，現(xiàn)有欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制方法多局限于圓軌道，橢圓軌道相關(guān)研究還很少。

基于此，本文基于橢圓軌道徑向或跡向欠驅(qū)動編隊重構(gòu)可行性分析結(jié)果，采用直接優(yōu)化方法求解了能耗最優(yōu)指標(biāo)條件下的最優(yōu)重構(gòu)控制軌跡。與現(xiàn)有研究成果相比，本文提出的控制方法的優(yōu)勢在于：

1)與現(xiàn)有全驅(qū)動控制方法相比[13-19]，本文提出的欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制方法可適用于欠驅(qū)動工況，進而避免由推力器故障引起的編隊重構(gòu)任務(wù)失效；

2)與現(xiàn)有圓軌道欠驅(qū)動控制方法相比[20-29]，本文提出的控制方法可適用于橢圓軌道，因而適用范圍更廣；

3)文獻(xiàn)[30]中采用自適應(yīng)滑模控制方法設(shè)計了橢圓軌道欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制器，但未考慮控制能耗問題。與之相比，本文進一步簡化了橢圓軌道欠驅(qū)動編隊重構(gòu)的可行性條件，并且實現(xiàn)了能耗最優(yōu)的欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制。

綜上，本文結(jié)構(gòu)安排如下。第1節(jié)針對徑向和跡向欠驅(qū)動情況，基于橢圓軌道欠驅(qū)動編隊動力學(xué)方程分析了系統(tǒng)能控性以及重構(gòu)任務(wù)可行性。第2節(jié)將編隊重構(gòu)問題表述為約束軌跡優(yōu)化問題，并簡要介紹了高斯偽譜法。為驗證欠驅(qū)動控制器性能，第3節(jié)中引入全驅(qū)動控制器進行對比并詳述了數(shù)值仿真結(jié)果。基于理論分析與數(shù)值仿真結(jié)果，第4節(jié)對全文進行了總結(jié)。

1 欠驅(qū)動編隊重構(gòu)可行性分析

1.1 相對運動方程

(1)

其中

(2)

(3)

式中

(4)

對于橢圓軌道，ωC和αC分別為

(5)

式中，eC和θC分別為主航天器的軌道偏心率和真近點角。

圖1 坐標(biāo)系定義

注1 上述線性化假設(shè)對近距航天器成立。對于典型地球軌道，若航天器相對距離小于100km，則由上述線性化假設(shè)引起的相對誤差小于0.03%[33]。本文中討論的航天器編隊均在幾公里范圍內(nèi)，因而上述線性化假設(shè)成立。

1.2 能控性分析

(6)

其中

(7)

(8)

可見，徑向或跡向欠驅(qū)動情況下，式(6)均為線性時變系統(tǒng)。根據(jù)線性時變系統(tǒng)的能控性格拉姆矩陣判據(jù)[34]可得，徑向欠驅(qū)動條件下，系統(tǒng)(A,B1)仍完全可控。但是，在跡向欠驅(qū)動條件下，系統(tǒng)(A,B2)非完全可控。

1.3 可行性分析

引理1[35]為實現(xiàn)周期為T的相對軌道，近地點處(即θC=0)的初始相對運動狀態(tài)應(yīng)滿足

(9)

基于該引理，橢圓軌道徑向和跡向欠驅(qū)動編隊重構(gòu)可行性分析結(jié)果總結(jié)于如下定理。

定理1 對于徑向欠驅(qū)動情況，編隊重構(gòu)仍可實現(xiàn)，且無任何附加條件。對于跡向欠驅(qū)動情況，當(dāng)構(gòu)型I和構(gòu)型II的初始相對運動狀態(tài)滿足xⅠ(0)=xⅡ(0)時，編隊重構(gòu)可實現(xiàn)。

證明 徑向欠驅(qū)動條件下，相對軌道動力學(xué)系統(tǒng)仍完全可控，因而編隊重構(gòu)仍可行。但是，跡向欠驅(qū)動條件下，相對軌道動力學(xué)非完全可控。由該不可控性引起的編隊重構(gòu)可行條件證明如下。

由式(6)得，跡向欠驅(qū)動條件下的跡向相對運動方程為

(10)

將式(5)代入式(10)中，化簡可得

(11)

上式表明，跡向欠驅(qū)動條件下，不可控狀態(tài)Xu在控制過程中保持不變。

對于構(gòu)型I，在初始時刻t=0且θC=0處，由引理1得，不可控狀態(tài)Xu為

(12)

同理，對于構(gòu)型II，初始時刻的不可控狀態(tài)為

XuⅡ(0)=eCxⅡ(0)

(13)

可見，若主從航天器初始時刻構(gòu)成編隊構(gòu)型I，則不可控狀態(tài)為XuⅠ(0)=eCxⅠ(0)。由于不可控性，XuⅠ將保持其初始不變。若XuⅠ(0)=XuⅡ(0)，即xⅠ(0)=xⅡ(0)時，則不可控狀態(tài)XuⅠ也滿足待重構(gòu)的構(gòu)型II的編隊條件。綜上，若xⅠ(0)=xⅡ(0)成立，則由于狀態(tài)XuⅠ的不可控性，恰好同時滿足構(gòu)型I與構(gòu)型II的編隊條件，因此，構(gòu)型I和構(gòu)型II是可重構(gòu)的。

證畢。

2 軌跡優(yōu)化

2.1 問題描述

將橢圓軌道欠驅(qū)動編隊重構(gòu)問題表述為軌跡優(yōu)化問題。通常，軌跡優(yōu)化問題中的約束條件包括動力學(xué)約束、邊界約束和過程約束[36]。考慮到燃耗是空間任務(wù)設(shè)計的關(guān)鍵因素，選取如下二次型控制能耗指標(biāo)，即

(14)

式中，t0和tf分別表示初始時刻和終端時刻。

此外，該軌跡優(yōu)化問題的動力學(xué)約束如式(6)所示。邊界約束包括初始條件約束與終端條件約束，其中，初始條件約束為滿足編隊構(gòu)型I幾何約束條件式(9)的初始相對運動狀態(tài)，即

(15)

同理，終端條件約束為滿足編隊構(gòu)型II集合約束條件[即式(9)]的終端相對運動狀態(tài)，即

(16)

考慮到航天器的推力存在上限Um，則對控制輸入的過程約束為

-Um≤Uj≤Um,j=x,y,z

(17)

2.2 高斯偽譜法

采用高斯偽譜法求解以上軌跡優(yōu)化問題。高斯偽譜法屬于一類直接配點法，通過全局正交多項式將配點處的狀態(tài)量與控制量參數(shù)化，并通過高斯積分近似配點處的動力學(xué)約束，將軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成一般的非線性規(guī)劃問題。隨后，采用數(shù)值優(yōu)化方法求解得到非線性規(guī)劃問題。高斯偽譜法是空間軌跡優(yōu)化問題中的常用優(yōu)化方法，其具體原理與方法步驟詳見文獻(xiàn)[37]。

3 數(shù)值仿真

假設(shè)主航天器運行于典型橢圓軌道—閃電軌道，其初始時刻軌道根數(shù)如表1所示。

表1 主航天器初始時刻軌道根數(shù)

初始時刻主從航天器構(gòu)成編隊構(gòu)型I，且初始相對運動狀態(tài)為

(18)

式中，相對位置的單位為km，且相對速度的單位為m/s。將式(18)代入式(9)中，可以驗證該相對運動狀態(tài)滿足橢圓軌道編隊構(gòu)型條件。

要求在一個軌道周期T后實現(xiàn)編隊構(gòu)型重構(gòu)，即終端時刻tf=T。定義終端時刻構(gòu)型II的主從航天器相對運動狀態(tài)為

(19)

式中，相對位置的單位為km，且相對速度的單位為m/s。同理，將式(19)代入式(9)中，可以驗證該相對運動狀態(tài)滿足橢圓軌道編隊構(gòu)型條件。此外，由定理1可得，即使在跡向欠驅(qū)動的情況下，構(gòu)型I和構(gòu)型II仍然是可重構(gòu)。

圖2 控制輸入軌跡

過程約束中的控制上限設(shè)定為Um=10-3m/s2。高斯偽譜法中，選用50個配點求解上述約束軌跡優(yōu)化問題，其結(jié)果如圖2～5所示。圖2給出了徑向欠驅(qū)動、跡向欠驅(qū)動以及全驅(qū)動3類情況下的最優(yōu)控制輸入。圖中各離散點為偽譜法求解結(jié)果，且圖中各連續(xù)曲線為各離散點間的拉格朗日插值結(jié)果。表2給出了3類情況下的指標(biāo)函數(shù)。可見，在本算例中，跡向欠驅(qū)動情況所需的控制能耗最高，全驅(qū)動情況所需的控制能耗最低，且徑向欠驅(qū)動與全驅(qū)動情況的控制能耗類似。

表2 指標(biāo)函數(shù)對比

圖3 相對位置軌跡

圖4 相對速度軌跡

圖3和圖4分別給出了3類情況下的相對位置和相對速度軌跡。同理，圖中各離散點為偽譜法求解結(jié)果，但各連續(xù)曲線并非拉格朗日插值結(jié)果。為驗證圖2中的插值控制軌跡的有效性，將插值后的連續(xù)控制輸入代入動力學(xué)方程式，并采用4階Runge-Kutta方法進行數(shù)值積分，得到實際的相對位置和相對速度軌跡，分別如圖3和圖4中的各連續(xù)曲線所示。可見，偽譜法求解結(jié)果與數(shù)值積分結(jié)果近似重合，且2種方法的相對位置和相對速度終端誤差分別為10-4m和10-6m/s數(shù)量級，進而驗證了偽譜法的有效性與正確性。此外，選用更多配點以及更為精確的數(shù)值積分方法可進一步減小終端誤差。

圖5給出了3類情況下的編隊重構(gòu)軌跡。同理，圖中各離散點為偽譜法求解結(jié)果，且各連續(xù)曲線為數(shù)值積分結(jié)果。可見，3類情況下，從航天器均可從構(gòu)型I出發(fā)，并在終端時刻到達(dá)構(gòu)型II。上述算例驗證了本文提出的欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制方法的有效性。

綜上可得，對于滿足重構(gòu)條件的橢圓軌道編隊，欠驅(qū)動控制器可在徑向或跡向欠驅(qū)動條件下完成與全驅(qū)動控制器同樣的編隊重構(gòu)任務(wù)，并且保持類似的控制能耗。不同的是，欠驅(qū)動控制器可適用于由推力器故障引起的欠驅(qū)動情況，而全驅(qū)動控制器無法適用。

4 結(jié)論

提出了橢圓軌道欠驅(qū)動航天器編隊重構(gòu)最優(yōu)控制方法。基于徑向和跡向欠驅(qū)動條件下的系統(tǒng)能控性與重構(gòu)任務(wù)可行性分析結(jié)果，將編隊重構(gòu)最優(yōu)控制問題表述為約束軌跡優(yōu)化問題，進而采用高斯偽譜法求解得到最優(yōu)重構(gòu)軌跡。通過引入全驅(qū)動編隊重構(gòu)控制方法進行控制能耗性能對比，驗證了橢圓軌道欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制方法的有效性。基于理論分析與數(shù)值仿真得出主要結(jié)論如下：

圖5 編隊構(gòu)型重構(gòu)軌跡

1) 對于橢圓參考軌道，徑向欠驅(qū)動條件下，相對軌道動力學(xué)系統(tǒng)完全可控，因而編隊重構(gòu)任務(wù)可行。相反，跡向欠驅(qū)動條件下，相對軌道動力學(xué)系統(tǒng)非完全可控，且編隊重構(gòu)任務(wù)條件可行；

2) 對于滿足重構(gòu)條件的橢圓軌道編隊，欠驅(qū)動控制器可在徑向或跡向欠驅(qū)動條件下完成與全驅(qū)動控制器同樣的編隊重構(gòu)任務(wù)，并且保持類似的控制能耗；

3) 欠驅(qū)動控制器可適用于由推力器故障引起的欠驅(qū)動情況，進而避免編隊重構(gòu)任務(wù)失效。相反，全驅(qū)動控制器無法適用于欠驅(qū)動工況。