對H-H連通率估計模型的討論

（成都理工大學地質災害防治與地質環境保護國家重點實驗室，成都 610095）

連通率是影響巖體穩定性的一重要指標，并對巖體穩定性起著控制性的作用。由于結構面在空間發育的不穩定性、不均勻性和野外露頭的局限性[1]，因此，準確計算出與實際工程相符的連通率仍是一個難題。

H-H連通率估計模型（窗口法）是基于跡長均值的估計方法，并在實際中得到了較為廣泛的應用。然而，該方法具有較為明顯的尺度效應[2]，部分情況下的計算結果與實際情況不符。為此，大量改進修正方法被提出。如：范留明[3,4]提出了一種廣義H-H跡長估算方法，該方法能較好的消除Laslett對長跡長估計的局限性；楊春和[5]提出采用同心圓法和相切圓法，并對岌岌采石場巖體節理的平均跡長和跡線中點的密度進行估計，分析表明采用相切圓法能夠得出穩定、具有一致性的結果；王貴賓[6]得出當圓形窗口的直徑與測線法刪節長度相等時，擴展測線法和圓形窗口法估計所得的巖體節理平均跡長比較接近；吳瓊[7]等在考慮結構面跡長和跡線與統計窗邊線的交角均遵循一般概率分布類型的基礎上,從概率統計角度推導出窗口法中結構面平均跡長的估算公式。根據取樣窗口尺寸相對于不連續面的尺寸關系，劃分修正連通率計算適用條件三種情況。目前這方面報導較少；本文通過連通率計算式的修正研究；以期能為連通率計算提供一種合理的修正模型。

圖1 跡線與窗口交切關系

1 H-H連通率估計模型

1.1 H-H跡長均值估計模型

H-H連通率估計模型是以H-H跡長均值估計模型為基礎，通過從不連續面與窗口交切的充要條件出發，在測量區取一個矩形窗口，設窗口長為w，高為h，與窗口交切的跡線有3種情況，兩端可見、一端可見和兩端均不可見[8](圖1)。只需統計與窗口存在不同交切關系的裂隙數量，根據交切幾何概率求出平均跡長；同上述思路再推導不連續面平均間斷長的估算公式，進而根據連通率的定義求出連通率。該模型避免了復雜的計算過程，在實際工程中有著廣泛的應用[9]。

根據實測數據，假設兩端可見的跡線有n2條，一端可見的跡線n1條，兩端均不可見的跡線n0條，總的跡線數量為N條[10]。若跡線中點在窗口內部服從均勻分布，則跡線與窗口頂邊或底邊交切的充要條件為[11]：

同理，跡線與窗口左邊或右邊交切的充要條件為：

與窗口頂邊或底邊交切記作事件A，則概率P(A)可表示為：

同理，與窗口左邊或右邊交切記作事件B，則概率P(B)可表示為：

窗口邊界被交切的平均頻率為：

將P(A)和P(B)代人上式，整理后可得：

上式即為H-H跡長均值估計模型。

1.2 不連續面連通率的估算

根據同樣的思路，平均間斷長也從H-H跡長均值估計模型的得出，得到鎖固段與窗口交切關系及數量就可以估計出平均間斷長。兩端不可見的跡線在延伸方向與窗口無交切，此時有n0條與窗口不交切的鎖固段；一端可見的跡線的延伸方向與窗口有一個交切點，此時有n1條與窗口不交切的鎖固段；兩端可見的跡線與窗口有兩個交切點，此時有2n2條與窗口不交切的鎖固段。假設窗口內有n3條兩端可見的鎖固段，得到與窗口交切關系的鎖固段總數為[3]：

利用H-H模型進行平均間斷長的估計，可得間斷長的公式為：

由連通率定義可知：

將兩式代人上式，經整理可得：

考慮到在實際測量中n3相比N,要小得多，故可令其為0，式(10)簡化為：

上式即為不連續面連通率的估算公式。

在實際工程當中，常會出現兩種極端情況：其一是取樣窗口相對于窗口中最長跡長足夠大時，此時有n0=N，n1=n2=0如圖2所示；二是取樣窗口相對于窗口中不連續面足夠小時，此時有n0=n1=0，n2=N，如圖3所示[12]。

我們將上述兩種情況分別作為第一種情況和第三種情況，介于兩者之間的作為第二種情況，根據工程存在的三種不同情來對H-H連通率計算式進行修正，以得到符合工程實際的連通率。

圖2 兩端不可見跡線

圖3 兩端可見跡線

第一種情況：由于取樣窗口相對于窗口中的不連續面足夠大，此時，兩端都交切以及只有一端交切的跡線均為0，在這種情況下根據H-H跡長均值估計模型和不連續面連通率的估算公式計算出的平均跡長和連通率均為0,這不符合實際情況。鑒于此，以下給出第一種情況下連通率修正估算式：

式中：l′為修正后的平均跡長，按下式計算：

式中：lj為窗口中包含的不連續面的實測均值。

第二種情況：可直接采用式(12)計算。

第三種情況：由于取樣窗口相對于窗口中的不連續面尺寸較小，不連續面都與取樣窗口相交切；在這種情況下根據不連續面連通率的估算公式計算出的連通率為1,不符合實際情況。有必要對該情形下連通率進行修正。由陳劍平[11]對n0，n1和n2的數量占N比例的情況討論，對于不同情況下的平均跡長做了修正，其中，R0,R1,R2分別為n0，n1和n2的數量占N的比例。在此基礎上，我們按如下方法修正：

R0＜10%，R1＜10%時，采用公式（13）修正；

R0＜10%，10%＜R1＜40%時，采用如下公式進行計算；

上式中，l′為修正后的平均跡長，計算公式如下：

R0＜10%，R1＞40%時，采用如下公式進行計算；

上式中，l′為修正后的平均跡長，計算公式如下：

R0＞10%，R1＜10%時，采用（14）進行修正；

R0＞10%，R1＞10%時，采用（12）進行計算。

以上給出了本文完整的連通率修正計算式，下文將開展實際驗算，以檢驗修正是否合理。

圖4 部分平硐裂隙圖（PDJ02）

2 實例

以某水電站平硐裂隙實測數據為例（圖4），該地區巖性構成多為英安巖，發育隨機的不連續結構面，我們取選取多個平硐的左壁作為研究區，窗口高為2m，長為100m。通過Dips軟件分析得到多組優勢結構面，進而進行驗證（圖5，圖6）。考慮到工程實際中對邊坡穩定性的影響起主導作用的為傾坡外的不連續結構面，故右表中給出了傾坡外優勢結構面的基本參數及未修正連通率計算結果和修正后的結果[13]，通過兩種計算結果的對比，既驗證了不同情況下各修正公式的正確性，又得到了與工程實際相符的連通率。

圖5 結構面走向玫瑰花圖

圖6 結構面等密圖

其中，PDJ02和PDJ06都屬于第E種情況，故直接采用（12）式進行計算，所以前后值相同；我們將修正后的結果與修正前相比，連通率相比修正前有增大的趨勢，首先：這符合前人對跡長修正后增加的情況；其次，這個結果對工程有著重要的影響，更利于我們對于巖體穩定性的判斷，已作出正確合理的支護和防治措施。

傾坡外優勢結構面的基本參數表

3 結論

本文對連通率的計算開展了研究，獲得了如下結論：

根據取樣窗口相對于窗口中不連續面的尺寸，將連通率計算分為了三種不同情形，根據對每種情形下跡長的修正，進而建議了相應的連通率修正計算式。

修正后的結果符合前人對跡長修正后增加的情況，也與現場實際勘測相符，這對工程有著重要的影響。

以某水電站平硐連通率計算實例表明修正計算方法能夠獲取更符合實際的計算結果。