穿越11年的數學長跑，尋找那顆最完美的“鵝卵石”

徐海濤 陳諾

著名學者弗里曼·戴森說，有些數學家是鳥，有些是青蛙。飛鳥可以俯瞰延伸至遙遠地平線的數學遠景，青蛙則樂于深入探討特定問題的細節。至于我們，就像是池塘邊碰巧發現美麗花朵的青蛙。”

近期，中國科學技術大學教授陳秀雄、王兵取得重大突破，證明了“哈密爾頓—田”和“偏零階估計”這兩個國際數學界20多年懸而未決的核心猜想。面對如潮贊譽，他們這樣說。

能完全看懂的“不到10人”

陳秀雄、王兵的論文，發表于國際頂級數學期刊《微分幾何學雜志》。

學術界有人說，這篇長達123頁的論文，全世界能完全看懂的估計“不到10人”。“確認過眼神，我是看不懂的人。”網友的態度真實而可愛。有科普作家說，“這是最難進行的一次科普。”

那么，他們到底證明了什么？

“我們在沙灘上看到的鵝卵石大多是圓潤的，它一開始可能有棱有角，但隨著時空流轉、潮起潮落，形狀會越來越接近完美、標準。然而即便再完美的演化，鵝卵石也可能包含一些異變之處，幾何上稱為‘奇點。簡單來說，‘哈密爾頓—田猜想即猜測大多數地方都是完美的，而‘奇點的大小是可控的，被限制在一個低維空間。”陳秀雄說，他和王兵，就是在數學上嚴格證明了這個猜想，并以此為基礎證明了分析領域的“偏零階估計猜想”。

數學猜想，是關于某個自然現象或理論的猜測、假設，如果被數學方法證明為正確的，就成為定理；證明為錯誤的則拋棄。

“提出猜想——證明或證偽，再提出猜想——再證明或證偽……日日新，又日新，這就是數學發展的路徑。”王兵說，“這也是人類對自然認知不斷加深的過程。”

微分幾何學是研究空間幾何的學問，在這個領域，出現過歐拉、高斯、黎曼等偉大的名字。大到宇宙膨脹，小到熱脹冷縮，諸多自然現象都可以歸結到空間演化。“哈密爾頓—田猜想”和“偏零階估計猜想”提出于20世紀90年代，屬于數學界的核心猜想。

“鵝卵石會越變越完美，幾何結構會變成一個期待的形狀。我們把自然現象用數學工具做了證明。”陳秀雄說。

可能100年后才有用

“這兩個猜想有什么用？”在一些網站上，這是個熱點話題。有學術界網友認為，應該更長遠地看待這個問題，現在前沿的數學成果，“可能100年后才有用”。

“跟隨自己的內心，好奇心驅動我們的研究。”陳秀雄說，基礎研究一般不直接著眼于應用，但社會發展證明了基礎研究的作用。

微分幾何學起源于17世紀，對物理學、天文學、工程學等發展產生了巨大推動作用，廣義相對論、量子場論等都依賴微分幾何作為數學基礎。

對人工智能、機器人、VR（虛擬現實）等現代技術，微分幾何同樣不可或缺。比如電影、游戲特效依靠計算機圖形學，微分幾何學就是其基礎。

“人工智能是對真實世界的有效逼近。比如自動駕駛技術，可以把前20年所有的車禍信息都錄入數據庫，但世界是向前發展的，如何應對并避開新情況下的車禍？”陳秀雄說，這個問題或許可以用微分幾何的思想解決，對未來可能出現的車禍進行“猜想”，從而提前規避。

在黑屋子里“找門”

研究猜想用了5年，論文篇幅長達123頁，發表出來又花了6年……相比猜想本身，這些數字背后的故事同樣引人遐思。

11年前，當27歲的美國普林斯頓大學博士后王兵提出主攻“哈密爾頓—田猜想”時，他的導師陳秀雄吃了一驚。3年的博士后，做出科研成果才能申請正式教職。但以這個猜想的難度，3年幾無可能，甚至可能會被“卡住”“迷失”，毀掉學術生涯。

“導師擔心我把自己置于危險境地。”王兵說，也想先做點容易的研究，但發現做不到，“做別的什么都沉不下來，茶不思、飯不想，成天想著這個事。”

數學之美讓來自中科大少年班的王兵癡迷，這已非一天兩天。2003年，俄羅斯學者格里高里·佩雷爾曼歷經8年，證明了著名的龐加萊猜想。

“要說好在哪里，說不出來，就像王維的詩，你能說清楚美在哪里？我就是著迷。”王兵說，佩雷爾曼突破的更大意義在于，打開了一個宏大瑰麗的科研“寶藏”入口，讓全球的青年數學粉絲為之癡狂。

整整啃了兩年，王兵讀懂了佩雷爾曼的3篇雄文，還發現了其中一個錯漏，佩雷爾曼很快回信表示認可。

但“哈密爾頓—田猜想”之難遠超想象。“2012年3月我在夏威夷開會，看著窗外美景，忽然想起來，我們的論證有個漏洞。這意味著干了兩年多的研究要推倒重來，寫了五十多頁的論文要從零開始。”王兵說，這種大錯誤犯過兩次，小的不計其數。

“證明未知的猜想，就像在一個方圓1平方公里的黑屋子里找路，沒有任何光亮，但你要在1個小時內找到唯一一扇能出去的門。”陳秀雄說，最有效的方式是朝著一個方向走，但人往往走了不久就開始嘀咕：萬一方向不對呢？

“所以，好的數學一定是發自內心的，你很喜歡，相信它是對的。”研究了30多年數學的陳秀雄說。

論文長，解釋更長

2014年初夏，歷經5年苦斗，他們終于完成了猜想的證明，并將成果預印本張貼到學術網站，引起行業內不小的震動。

為了將證明完整呈現，王兵將論文投稿到一家知名數學期刊，不料卻開啟了另一段長征。

猜想證明中有很多新概念、新方法，這家期刊的匿名審稿人不斷提出疑問，他們就不斷回復解釋。兩年間，回復多達十幾次，回復內容累積近200頁，比原文還長。

就在他們以為都解釋清楚了，卻收到了拒稿信，審稿人含糊地表示，仍對部分解釋不滿意。

但同時，學術網站上卻出現了另一篇立意相近、結構類似的論文。作者是一名歐洲人，他的論文架構基于陳秀雄、王兵論文的關鍵想法，卻宣稱自己證明了“哈密爾頓—田猜想”。

多年成果可能會被搶走，陳秀雄和王兵將文章分成兩部分，分別投稿給不同的學術雜志，都在2017年年底被接受。由于雜志排期原因，2017年和今年，他們103頁的論文前半部分和123頁的后半部分，分別得以發表。

而那位歐洲學者在正式發表的論文中，也明確注明陳秀雄、王兵已經先行證明了“哈密爾頓—田猜想”。至此，爭議塵埃落定。

《微分幾何學雜志》審稿人評論認為，陳秀雄、王兵的論文是幾何分析領域的重大進展，將激發諸多相關研究。菲爾茲獎獲得者西蒙·唐納森稱贊說，這是“幾何領域近年來的重大突破”。

此時，距離他們啟動研究，已過去了11年。

回國，這里有最好的學生

走進王兵的辦公室，最引人注目的是一個大黑板，幾乎占據縱向一面墻。“我還嫌不夠大，寫幾步就沒地方了。”在王兵看來，數學是長跑是積累，“不寫在黑板上，想的東西可能是錯的。”

2018年，已在美國獲得終身教職的王兵與夫人一起回國，一是為了“歸屬感”，二是因為“這里有最好的學生”。

在正常教學之外，王兵創辦了一個“討論班”，每周一三開課，20多個學生中部分來自本校，更多是天南海北慕名而來的“數學門徒”。

21歲的徐鈺倫是來自復旦大學數學系的“學霸”，4個月前來到合肥，租住在中科大學校旁的一間公寓。

一間教室、一塊黑板，每次圍繞一篇論文，一人上臺講，大家臺下聽。徐鈺倫說，當學生在臺上講不下去了，王兵就會從凳子上“跳”到講臺上，拿起粉筆與大家一起向下推導。“大家歡笑著討論數學，非常純凈。我覺得，這就是數學愛好者的天堂。”

來自遼寧的一位中科院博士生說，當讀懂一篇論文、解決一個難題，有些洋洋得意，王老師會告訴他，“提問題比解決問題更重要”“數學的邊界是越來越大的”。

“上士聞道，勤而行之；中士聞道，若存若亡；下士聞道，大笑之。”21歲的趙新銳說，自己在討論班上記得最清楚的，是導師引用《道德經》里的這段話，“這是數學研究的境界和旨趣所在。”

留下新的“鵝卵石”

“現在的學生，比我當年在中科大讀書時的水平高得多，一些本科生已經達到了國外名校研究生水平。”王兵說，數學強調一代代人的積累，不僅是一個人，而是一個大學、一個國家的事，他看好中國數學的前景。

對證明猜想所引起的巨大社會反響，陳秀雄和王兵都“出乎意料”。“我很高興，希望能吸引更多的年輕人來研究基礎學科，不僅是數學，還有物理、化學……基礎性的工作需要有人做。”陳秀雄說。

“論文發表以后，我收到很多郵件，大多是要論文，不少人表達對數學的仰慕，還有人自稱是‘被金融耽誤的數學愛好者。”王兵說，中國日漸強大，需要更多優秀的年輕人進來，夯實國家的數學之基。

在佩雷爾曼證明龐加萊猜想的論文中，留下了一段話：下一步，準備研究“哈密爾頓—田猜想”。

“這個指引，是我們研究這一猜想的原因。”王兵說，如果證明“哈密爾頓—田猜想”是尋找“最完美的鵝卵石”，在他倆那篇論文和以后的其他論文中，他們也留下了新的方向、新的線索。如同新的“鵝卵石”，這是數學界的傳承，也是指向未來的路標。