基于數(shù)學理解性學習的計算教學實踐

江蘇省江陰市敔山灣實驗學校 錢 博

《數(shù)學課程標準》指出：數(shù)學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數(shù)學知識間的關聯(lián)。學生掌握數(shù)學知識，不能死記硬背，應該以數(shù)學理解性學習為前提。所謂數(shù)學理解性學習，是指學生在理解基礎上的數(shù)學學習，也即通過這樣的學習使學生獲得了對數(shù)學的理解。

數(shù)學理解性學習追求的是在數(shù)學學習的歷程中對數(shù)學的理解不斷深入與拓展。數(shù)學理解的形成是一種不斷發(fā)展的層級遞進過程。呂林海教授提出了數(shù)學理解性學習的層級發(fā)展的過程模型，即學生在數(shù)學學習的過程中，會相繼經(jīng)歷經(jīng)驗性理解、形式化理解、結構化理解和文化性理解四個發(fā)展階段。下面以計算教學為例，談談在實際教學中，借助層級發(fā)展的過程模型來促進學生數(shù)學理解性學習的教學策略。

一、聯(lián)系舊識，豐富經(jīng)驗性理解

經(jīng)驗性理解是學習者在自身經(jīng)驗的基礎上對學習對象最初的理解。對于數(shù)學學習來講，經(jīng)驗性理解通常發(fā)生在學習的初始階段。因此，發(fā)展學生的經(jīng)驗性理解，一方面要注意從學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，聯(lián)系舊知，另一方面要關注知識組織的形式和呈現(xiàn)的方式。以“分數(shù)除法計算”為例，學生對于分數(shù)除法計算并不是一無所知，分數(shù)乘法、倒數(shù)、商不變的規(guī)律等，都是學生在學習中積累的知識經(jīng)驗。因此，從學生數(shù)學理解的角度出發(fā)，設計開放性的問題和熟悉的問題情境，可以有效地激活學生已有的知識經(jīng)驗，為學習分數(shù)除以整數(shù)提供現(xiàn)實基礎。

【片段一】

1.復習分數(shù)乘法。

（1）口算。

復習分數(shù)乘法的計算方法。

（2）練習。

通過以上練習讓學生明白：求1 除以某個數(shù)的商就是求某個數(shù)的倒數(shù)。

2.探究不同算法。

師：大家想出了這么多解決的辦法，這些方法都正確嗎？請你說出理由。

3.優(yōu)化算法，總結歸納。

師：同學們說的這5 種方法殊途同歸，結果都是正確的。這里的每一種方法都運用了轉化的數(shù)學思想方法，轉化是一種非常重要的數(shù)學思想方法。你覺得在這幾種方法中，哪一種方法最好？

學生先討論，再說明理由，最后歸納出分數(shù)除以整數(shù)的計算法則。生1：分數(shù)除以整數(shù)，就等于分數(shù)乘以這個整數(shù)的倒數(shù)。

生2：這個整數(shù)不能為0，因為0 是沒有倒數(shù)的。

……

教師沒有預先給定材料和方向，而是給予學生充分的時間思考，創(chuàng)設富有挑戰(zhàn)性的問題情境，讓學生運用已有的知識經(jīng)驗獨立思考，嘗試探究，獲得計算方法。學生通過自己的努力，創(chuàng)造出比書本給出的還要多的幾種計算方法，體驗到了解決問題的樂趣，特別是學生運用商不變的規(guī)律來解決問題，將以前學到的知識與新學到的知識聯(lián)系起來，在新舊知識的連接點上發(fā)展了新知，同時滲透了“轉化”的數(shù)學思想。

二、抓住本質，實現(xiàn)形式化理解

學習者對自身經(jīng)驗知識中的各種刺激進行整理、組織、概括與重新表征，學習者擺脫經(jīng)驗認識中的非本質屬性，而直達知識的本質，經(jīng)歷“數(shù)學化”的過程，借助抽象與建模，讓學生的學習上升到形式化的理解。以“乘法分配律”為例，讓學生通過理解乘法的意義去掌握乘法分配律的算理和算法，把握乘法分配律的本質，使學生能夠深入理解乘法分配律的數(shù)學模型。

【片段二】

師：這里式子不同，結果卻是相等的，你知道這是為什么嗎？

生1：這里的兩個式子都是表示四年級和五年級一共要領跳繩的根數(shù)，所以結果相等。

教師引導學生結合圖形說出自己的想法，課件演示，把實物抽象成圖形。

生2：因為6×24 表示6 個24,4×24 表示4 個24，把它們加起來就是10 個24，而（6+4）×24 就表示一共有10 個24，所以結果相等。

師：聽明白了，你是從乘法的意義去理解（6+4）×24=6×24+4×24，所以不計算也能知道它們的結果是相等的。

師：（6+4）×24=6×24+4×24，從右往左可以怎么說？

師：比較等號兩邊的式子，有什么相同點和不同點？

生1：左右兩邊都有乘法和加法。

生2：（6+4）×24 是先算加法，再算乘法，6×24+4×24 是先算乘法，再算加法。

師：你能再寫出兩個這樣的式子，說一說每個式子分別表示什么嗎？

教師引導學生寫出等式，運用乘法的意義來判斷等式的左右兩邊是否相等。學生從計算和乘法的意義兩個知識層面理解相等的道理，有利于學生自主建構和理解乘法分配律的模型，把握知識的本質，對乘法分配律的認識由感性到理性，實現(xiàn)對數(shù)學內(nèi)容本質的理解。

三、知識遷移，促成結構化理解

結構化理解是一種形成結構關聯(lián)的理解，學生在知識關系的脈絡中把握知識的本質與內(nèi)涵，從而形成一個知識鏈和知識整體結構，比形式化理解更進一步。以“小數(shù)乘整數(shù)”為例，學生通過溝通聯(lián)系，出現(xiàn)多種方法計算。

【片段三】

師：會計算0.8×3 嗎？請你試一試。

學生獨立計算后交流。

生1：0.8+0.8+0.8=2.4。0.8×3 表示3 個0.8 相加。

師：看起來小數(shù)乘法的意義和什么是相同的？

生：整數(shù)乘法。

生2： 0.8元=8角，8×3=24（角），24角=2.4元，也就是0.8×3=2.4（元）。

師：運用單位名稱的換算，把小數(shù)轉化成整數(shù)，再計算。

生3：0.8 是8 個0.1，3 個0.8 是24 個0.1，是0.8。

師：看成24 個0.1 來計算，這個結果是否正確呢？我們借助圖形來驗證一下結果。

小數(shù)乘法與整數(shù)乘法有著密切的聯(lián)系，把整數(shù)乘法的意義，整數(shù)乘法的計算方法與小數(shù)乘整數(shù)聯(lián)系起來，理解小數(shù)乘整數(shù)的算理和算法，形成一條完整的知識體系鏈，教學中讓學生回顧、梳理，運用已學的知識，幫助學生把新知納入自己的整體知識結構中，深化對數(shù)學的理解。

四、拓展應用，滲透文化性理解

文化理解是一種對數(shù)學的綜合的、整體性的理解。數(shù)學作為一種文化，它蘊含著久遠而深刻的思想方法，對社會發(fā)展具有重要的推動作用和獨一無二的美，無疑對學生的數(shù)學學習具有重要的價值。以我國明朝的《算法統(tǒng)宗》中“鋪地錦”的乘法計算方法為例，學習了兩位數(shù)乘兩位數(shù)后，在教材的“你知道嗎”中介紹了“鋪地錦”， “鋪地錦”因其計算時畫出的格子類似先人制造的地錦而得名。

【片段四】

師：在上課前，很多同學來問我什么是“鋪地錦”？它的計算方法是怎樣的？

開場白結束后，學生A就立刻站起來說：“老師，我知道什么是‘鋪地錦’，我把計算方法講給大家聽。”

他自信地來到講臺上，計算62×35，先把乘數(shù)分別寫在方格的上面和右面，然后把一個乘數(shù)各位上的數(shù)相乘，積寫在相應的方格里，像6 乘3 得18，寫在左上方格里，再把斜對著的數(shù)分別相加，就得到相乘的積為2170。

師：你們覺得這樣計算對嗎？

生列豎式計算，檢驗。列豎式計算后，大家一致肯定。

師：將豎式算法與“鋪地錦”的算法比一比，有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：豎式計算，先算5 乘62，而“鋪地錦”的計算順序是先算3 乘62。

師：為什么這兩種算法中有這么多不同之處，卻不影響答案呢？接下來，大家小組合作，一起探索。

生：分析豎式計算過程的每一步，可以發(fā)現(xiàn)在“鋪地錦”中出現(xiàn)的數(shù)，同樣在豎式計算過程中也會出現(xiàn)，這些計算過程在豎式計算中是口算的，省略了。

師：原來兩種算法是相通的。

數(shù)學文化通過感悟，讓學生對知識及其脈絡形成深刻理解，引導學生回溯知識的源頭，展現(xiàn)知識真實的發(fā)展過程，觸摸到知識的本質，深化理解，感悟數(shù)學文化的魅力。

學生或許知道很多數(shù)學知識，但并不一定真正理解數(shù)學的本質。計算教學不能教授機械的算法和規(guī)則，要給予學生各種機會，在解決問題和交往互動中達到對算理、算法的深度理解。從關注雙基到走向理解性的學習，是數(shù)學學習的一種價值回歸。