GNSS 站間距離的歸算方法──GNSS 測量成果應用問題之一

劉基余

（武漢大學測繪學院，武漢 430079）

1 站間距離化算到參考橢球面上的改正

在GNSS 測地成果的應用中，根據大地測量計算要求，往往需要將GNSS 測站之間的距離（稱之為站間距離）DS化算到參考橢球面上，即，需要將地面長度DS化算到參考橢球面上的大地線長度S （如圖1所示）；由此引起的改正叫做“斜橢改正”。在圖1中，A、B 是地面長度的兩個端點，它們在參考橢球面上的投影為a、b，它們的大地高度分別為H1、H2，AKa、BKb是A、B 兩點對參考橢球面的法線，N1s是a 點的卯酉圈曲率半徑，即，aKa=N1，并連接BKa，而且在ABKa平面內。以Ka為圓心，N1為半徑作一個球面，ABKa平面分別與所作球面和參考橢球面相交，而得到ab’弧和ab’’弧，ab’弧=S’，ab’’弧=S’’，kab’’=N1，ab’’的弧長為K。

圖1 地面長度化算為大地線長度的圖解

從上式可知：

在圖1B 中，

將式（1）代入上式可得：

式中，h=H2-H1，從上式可知：

式中，Hm=H1+H2。若令：

按照：

展開式（3）：

因為N1＞＞H1、H2，而且H＞＞ε，故上式右邊的方括號項，只取其一次項，固有：

在式（2）中，再令：

在一般情況下，DS＞＞h，故上式可以寫作：

因為h＞ε，故上式可變成為：

上式右邊中的6次項，一般可以略去；僅在地面長度較短和地面長度端點之間的高差處于1km 以上時，才需要顧及之。

將式（4）和式（5）代入式（2）可得：

上式中的H1H2，若以H2m代替之，則對有關項引入的誤差僅為0.3mm。故有：

圖2 三角形KbKaB

由圖2可知：

式中，L=bKa。

在圖1A 中，若令夾角aKab=α，法截弧S 在a 點處的方位角為A1。根據大地測量學的論證，可知：

考慮到級數展開式：

則可求得：

根據式（8A）可知：

現將式（9）和式（10）代入式（7）可得：

將上式兩邊開方，并將方括號展開為級數，取其一次項可得：

根據大地測量學的論證可知：

將上式代入式（11）可得：

從上式可知高程超距：

根據圖1B 可知：

從式（14）可知：

將上式的反正弦函數展開為級數：

當K=100km 時，上式中的第三項等于0.028mm，故知：

根據式（12）可知，橢球面上法截弧S’為：

上式右邊的第三項小于0，2mm，并以式（14）代入上式可得：

上式第二項中的S’’，若以DS代入，其誤差不會大于0.1mm。故有：

當上式右邊第二項中DS=32km 時，該第二項僅為0.9mm；當上式右邊第二項中DS=50km 時，該第二項僅為3.4mm；當上式右邊第二項中DS=100km 時，該第二項為27.4mm。

通過式（16）等方程式，已將所測量的地面長度DS化算成了橢球面上的距離S’；但是，還不是所需要的大地線長度。現在論述從法截弧長S’化算成大地線長度。

圖3 取自圖1A的三角形abb’

圖3是取自圖1A 的三角形abb’，而且自點b 作垂線bn 到法截弧S’，故有：

S = S’-nb’ （17）

式（17）中的nb’可以從三角形abb’求得。因為三角形abb’中的δ 角很小，故三角形abb’可以看作一個平面三角形。因此，可知：

ab’=nbctg（A1+dA1）

上式的余切函數可以展開為級數，并且取其二次項可得：

式（18）中的δ 是照準點高程對水平方向觀測的影響，稱之為“標高差改正”。根據大地測量學的論證可知：

現將上列兩個方程式代入式（18），并略去小于0.1mm 的項，便可按照式（17），就可以求得將法截弧長S’化算成大地線長度S：

現將式（16）、（15）、（6）和（13）代入上式可得：

若令：

并考慮h=H2-H1、2Hm=H1+H2，則有：

上式右邊中的S 和DS若以D’代替之，并考慮到起始點A處的法截弧曲率半徑RA：

則式（20）可寫成：

若令：

并顧及和t1= tgB1，以及K ≈ D''，則有：

從上式右邊可知，DS2/RA2是一個無量綱的系數，最后一項的單位僅僅取決于平均高程Hm；若以RA=6370km，e'2=0.00674代入上式可得：

上式是地面長度的大地線長度，式中的DS是以km 為單位的。該式是游存義教授用兩種方法推導而得的。

在實際應用中，并不按照式（22）計算大地線長度S，而是按照式（22）編算成數字用表。該表載于解放軍總參測繪局編制的“電磁波測距計算用表”；該用表計算橢球面上大地線長度S 是：

式中，

B1為A 端點的大地緯度；A1為A 端點對B 端點的的大地方位角。

“電磁波測距計算用表”載有曲率半徑RA，以及da、Ka、Kb等四個用表。值得注意的是，大地高度H 是下述三者之和：一是測站標石超出大地水準面的高度，它由幾何水準測量或者三角高程測量而得；二是大地水準面超出參考橢球面的高度，這可從一等三角測量方向表上查得；三是激光波束超出測站標石的高度——儀器高，它由GNSS 測量作業實地測量而得。

若地面上A、B 兩點的大地經緯度和大地高為L、B、H，則知A、B 兩點的直角坐標：

地面上A、B 兩點投影到參考橢球面上a、b 兩點上的直角坐標：

地面上A、B 兩點的大地經緯度和大地高度，若分別為L1=100 °、B1=30 °、H1=100m；L2=101 °、B2==30 ° 40’、H2=4000m；方位角A1=43°38'8''。若按照式（24）和式（25）計算出地面上A、B 兩點的直角坐標XAYAZA和XBYBZB，以及xayaza和xbybzb，就可以求得：

DS=121328.181m

Ka=121289.500m

并算得大地線長度S=121282.312m。而且求得弦距：

化算值K'ab與標準值之差，就表明斜距化算成大地線長度的公式精度；在上述示例的情況下，該精度為2cm，即達到了6百萬分之一的相對精度。因此，式（22）適合于100km 左右斜距化算成橢球面上的長度計算。

現在討論測量地面上A、B 兩點的高程和高差的精度。在討論兩者的精度時，可以僅考慮式（22）的主項，按照式（20）和式（21）可知，大地線長度可以近似表達為：

若顧及D'≈DS，以及：

則有：

按照誤差傳播定律可知：

因為：

故有：

如果要求ΔD 的誤差相對于DS 的誤差mD 可以忽略不計，則要：

而且假定式（29）右邊兩項的影響相等，于是可得：

依據式（31）算得在不同高差情況下的高差容許誤差如表1所示。從該表的數據可知，一是GNSS 測地所要求的高差測量精度，既隨著高差的增大而增高，又隨著地面長度測度精度的提高而增高；二是如果高差的實際測量誤差比該表所列出的數值大一倍，測量精度便隨之而降低百分之九左右。根據我國某些地區三角高程測量的高差測量精度統計（如表2所示），一般能夠滿足600m 以下的地面長度測量需要；當測量700m 以上的地面長度時，應用三角高程測量的高差，將導致GNSS 測地精度降低。

表1 高差的容許誤差（以m為單位=take the meters as an unit ）

按照式（31）的推導方法，可以求得：

表2 三角高程測量的高差測量誤差統計表

按照式（32）算得的高程的容許誤差如表3所示；從該表數據可知，隨著地面長度測量精度提高，它要求的高程測量精度也隨之提高；因此，需要依據地面長度測量精度來考慮高程測量問題。

表3 高程的容許誤差（以m為單位）

2 橢球面上的距離化算到高斯平面上的改正

傾斜距離DS化算到參考橢球面上的長度S 以后，有時候還需要將S 化算到高斯—克呂格（Gauss—Kr?ger）平面上。根據大地測量學的論證，化算到高斯平面上的距離DG是：

式中，R 為平均曲率半徑；Ym是測線兩個端點橫坐標的平均值，即：

在式（33）中若令：

則有：

因為式（35）中的右邊二、三項很小，該兩項中的R 可以采用6，370km，且知：

將上述數據代入式（35）可得：

式中，

參考橢球面上的長度S 化算到高斯平面上的距離DG，除了按照式（35）計算以外，還可以編制成數字表，便于查用之。我們按照下列公式編算數字用表：

式中，

表4 給出了一個橢球面上的距離化算到高斯平面上的改正算例；它是依據已知條件：Bm=30°27’、ΔY=25.795km、Ym=2844.249km、S=28230.935m，求改正值ΔDG=？這個算例加深了對上述論證的理解。

表4 球面上的距離化算到高斯平面上的改正算例