自旋軌道耦合量子氣體中的一些新進展*

施婷婷 汪六九2) 王璟琨2)? 張威2)?

1) (中國人民大學物理學系, 北京 100872)

2) (中國人民大學, 光電功能材料與微納器件北京市重點實驗室, 北京 100872)

隨著人造規范勢和自旋軌道耦合在冷原子體系中的實現, 對這類效應的研究成為了冷原子物理研究的熱門方向之一.冷原子系統具有豐富的可操控性, 因此不僅可以作為優秀的量子模擬平臺來研究其他領域中有意義的模型和問題, 還基于體系自身的特點衍生出了一系列新穎的問題和方向.本文將以綜述的形式介紹具有自旋軌道耦合的超冷原子系統中的一些新研究進展, 重點關注該體系中特有的物理要素, 如耗散、新穎的相互作用形式、大自旋和長程相互作用對系統性質的影響.這些研究進展可以為理解自旋軌道耦合效應提供新的啟示和思路.

青年科學評述

1 引 言

自旋軌道耦合 (spin-orbit coupling, SOC) 是指一個物體的自旋角動量和軌道角動量之間的耦合.在經典物理中, 一個熟悉的例子是月球的自轉和繞地球的公轉通過潮汐力相互耦合, 最終鎖定為相同的運動周期.在原子物理中, 電子的自旋角動量和繞原子核的軌道角動量發生耦合, 形成原子的精細結構劈裂.自旋軌道耦合的定義還可以進一步推廣為一個物理系統的內部自由度和外部自由度之間的耦合.例如在凝聚態物理中, 電子自旋和Bloch波矢之間的關聯也被稱為自旋軌道耦合.不同類型、不同強度的SOC不僅會顯著影響材料中電子的運動, 還能夠改變系統的拓撲性質[1?6].

近年來, 利用原子與光之間的相互作用, 人們在冷原子系統中實現了人造的SOC效應.在這類實驗中, 原子通過吸收和放出光子, 從一個內態躍遷到另一個內態, 同時經過與光子的反沖獲得動量的改變.經過這一過程, 原子的內部自由度和平動的外部自由度形成了耦合.2011年, NIST的Lin等[7]首先通過雙光子Raman過程在87Rb原子玻色-愛因斯坦凝聚 (Bose-Einstein condensate, BEC)中實現了一維的 SOC.2012年, 山西大學 Wang等[8]和MIT的Cheuk等[9]分別在40K和6Li簡并費米氣體中實現了一維SOC.2016年, 山西大學Huang等[10]通過一個改進的tripod打光方案, 在40K費米氣體中實現了二維的SOC, 即原子的自旋算符和二維動量之間的耦合.同年, 中國科學技術大學Wu等[11]通過二維光晶格驅動Raman過程,在87Rb原子BEC中也實現了二維SOC.最近, 臺灣中研院Chen等[12]和中國科學院武漢物理與數學研究所Zhang等[13]先后實現了87Rb 原子內態和軌道角動量的耦合(spin-orbital-angularmomentum coupling).

由于SOC會對單粒子的色散關系產生非微擾的影響, 因此在玻色系統中, SOC會顯著改變BEC的性質.在具有一維SOC的玻色系統中, 單粒子基態可能在非零動量上發生二重簡并.在發生玻色-愛因斯坦凝聚時, 單粒子基態的簡并可能使得除U(1)對稱性之外的其他對稱性破缺, 并導致新奇宏觀量子態和非平庸超流態的出現[14].在具有高維SOC的玻色系統中, 單粒子基態的簡并度可能進一步上升.例如, Rashba類型SOC的單粒子基態在動量空間形成一個連續的圓[15], 而三維各向同性SOC的單粒子基態會構成一個球面[16].在高維SOC的玻色系統中, 物理性質和一維SOC的情況有很多相似之處, 但更大的單粒子基態簡并空間會導致平衡態和漲落中的一些有趣的物理現象[17?27].

在費米系統中, SOC和體系的拓撲性質緊密相關.目前在冷原子中實現的人造SOC與凝聚態系統中的形式有很大不同, 但是存在很多如何實現能夠誘導拓撲非平庸相的人造SOC的理論建議[28?34].因此, 在高度可控的超冷原子氣體中模擬各種拓撲相, 促進了對SOC費米氣體的深入研究.由于SOC改變了單粒子色散譜, 使得系統中的配對超流態可能出現很多新奇的形式, 包括拓撲超流態[35,36], SOC 誘 導 Fulde-Ferrell(FF)態[37?40]等等.此外, SOC也能導致具有少體關聯的三聚體態, 并可能出現更有趣的多體相[41,42].因此,SOC的出現大大豐富了我們對超冷原子氣體的調控手段, 為該體系中的量子模擬開辟了新的思路.

近年來對具有SOC的超冷原子氣體的研究衍生出了一些新的方向, 包括在非平衡態系統[43]、大自旋體系[44]、擁有長程相互作用的體系[45]、以及具有軌道自由度和軌道Feshbach共振的類堿土金屬原子系統[46].本文首先對超冷原子氣體中實現的人造規范勢和人造自旋軌道耦合進行介紹.文章第3節將關注光學微腔中的準一維費米氣體, 介紹該系統中發生超輻射相變之后所誘導出的新奇拓撲超輻射態.第4節考慮具有軌道Feshbach共振的類堿土金屬原子, 討論其中可能出現的費米對稱性保護拓撲態.第5節介紹具有SU(3)類型自旋軌道耦合的大自旋玻色系統, 以及其中新奇的拓撲缺陷, 即自旋雙渦旋.第6節介紹同時具有軟核長程相互作用和自旋軌道耦合的二維玻色-愛因斯坦凝聚中的手性對稱破缺的超固體相.本文所涉及內容都是由冷原子系統所特有的物理要素所派生的新問題, 體現了冷原子物理的特色.

2 超冷原子氣體中的人造規范勢和人造自旋軌道耦合

在量子系統中, 規范勢和自旋軌道耦合都可以被歸為某種形式的幾何相位(geometrical phase),即波函數在空間中演化時所產生的相位[47].在冷原子氣體中, 可以通過設置合適的激光, 使原子在空間運動時感受到光場對原子的相互作用勢.在絕熱條件下, 原子感受到的勢場可以產生所需的幾何相位, 以及相對應的人造規范勢或自旋軌道耦合.

考慮一個一般性的原子哈密頓量[48]

其中H0=p2/2m是動能項,V(r)代表原子和激光的相互作用, 位置r=r(t) 描述了原子在空間中的運動.在某個確定的時間t和位置r, 可以將V(r)在原子的內部自由度子空間中對角化, 并得到一系列由指標α標記的本征模式值得強調的是,是內部自由度的本征態, 而不是坐標空間的波函數.事實上, 這里位置r不是波函數的自變量, 而是一個指標.在某個確定的時間t, 原子所處的狀態可以由波函數描述, 并可以被展開為的線性組合

其中, 展開項系數cα(r,t) 描述了原子在空間中運動時狀態的演化, 并滿足如下的含時薛定諤方程

上式描述了原子在等效勢場Eα(r) 中的運動.

在運動過程中, 原子雖然沒有在內部自由度的其他狀態上產生布居, 但會由此攜帶一個幾何相位.為了看出這一點, 我們可以在方程(4)的動能項中插入完備基

式中, 利用了動量算符的定義p= ?i??, 并定義矢勢

在給定α的情況下, 標勢W是一個常數, 可以作為能量零點被扣除.由此, 得到系統的等效哈密頓量

上述哈密頓量中的矢勢A描述了原子的內部自由度跟隨質心自由度的變化.如果這一變化體現為內部自由度波函數上單一的相位變化, 具體演化序列的順序改變不會產生任何影響, 我們稱矢勢A代表一個可交換的幾何相位, 或稱為阿貝爾幾何相(Abelian geometrical factor).人造電場和人造磁場都可以歸為這一類.如果A引起的變化體現為一個內部自由度希爾伯特空間中的轉動, 演化序列的順序會對結果產生重要影響.此時稱A是非交換或非阿貝爾的(non-Abelian), 人造自旋軌道耦合即屬于此類.

在目前的冷原子實驗中, 人造規范勢和自旋軌道耦合多通過激光耦合原子的不同內態來實現.例如在NIST的實驗中, Lin等[49]通過兩束對射的激光在 87 Rb原子兩個超精細能級之間驅動一個雙光子Raman過程, 使得當原子從一個超精細能級(或贋自旋)躍遷到另一個時, 原子的質心動量也會發生改變.通過選擇合適的Raman過程,這一方案可以在冷原子氣體中產生阿貝爾規范勢,如等效磁場[49]、等效電場[50], 也可以產生非阿貝爾規范勢和自旋軌道耦合[7].圖1(a)展示了這一方案的基本思路.

圖1 (a) 一維自旋軌道耦合的實驗實現方案； (b) 利用tripod方案實現二維人造規范 勢的方案；(c) 利用Raman晶格實現二維人造自旋軌道耦合的實驗方案Fig.1.(a) The NIST scheme to realize 1D spin-orbit coupling; (b) the tripod scheme to realize 2D synthetic gauge field; (c) the Raman optical lattice scheme to realize 2D spin-orbit coupling.

通過這個方案實現的自旋軌道耦合具有如下的等效哈密頓量

這里x為 Raman 激光的方向,δ為 Raman 過程的雙光子失諧,?為 Raman 過程的 Rabi頻率.通過一個繞σy的自旋旋轉σz→σx和σx→ ?σz, 上式哈密頓量可以進一步改寫為

此時可以看出, 這種一維的自旋軌道耦合(即只有一個方向的動量和一個方向的自旋耦合)是Rashba類 型 (kxσx+σyσy) 和 Dresselhaus類 型(kxσx?σyσy)的等權重疊加.同時, 這一方案會自然地包括沿x方向的等效磁場δ/2 和沿z方向的等效磁場?/2 , 且可以在實驗中進行調節.

除了上述通過一個雙光子Raman過程實現一維SOC的方案, 人們也在積極探索二維SOC的實驗實現.一種可能的方式是利用原子的三個基態能級和一個激發態能級, 通過三束激光實現三個基態能級分別和激發態耦合的tripod構型, 如圖1(b)所示[51].原子與光耦合的哈密頓量可以寫為[52]

這里?是從基態到激發態躍遷的單光子失諧,?i為對應的 Rabi頻率, h .c.代表厄米共軛項.通過將三個Rabi 頻率寫成如下形式:?1=?sinθcos?eiS1,?2=?sinθsin?eiS2,?3=?cosθeiS3,并將上述相互作用哈密頓量對角化, 可以得到體系的兩個綴飾態(dressed states):

將這兩個綴飾態看作一個贗自旋 1 /2 體系, 并通過恰當選擇三個相位Si在空間中的分布, 上述哈密頓量可以實現一個非阿貝爾的人造規范勢

式中定義Sij=Si?Sj.例如, 如果選擇θ=?=π/4,S12=k0x,S23=k0x+k0y,S13=?k0x+k0y, 可以獲得如下形式的二維人造規范勢

2016年, Huang 等[10]在40K 費米氣體中實現了這一類型的人造規范勢.在適當的動量空間和自旋空間旋轉下, 該工作實現的人造規范勢對應如下類型的二維自旋軌道耦合：

通過自旋注入(spin injection), 文章測量了該體系中綴飾態的單粒子色散關系, 確認了Dirac點的存在.

另一種二維自旋軌道耦合的方案是在光晶格中利用Raman晶格實現的[53].如圖1(c)所示, 在一個由紅失諧駐波光?1構成的二維立方晶格中,疊加上一個由藍失諧行波光?2輔助構成的Raman晶格, 并保持Raman晶格的晶格常數是背景晶格的二倍.通過?1和?2的共同作用, 可以在這個體系中驅動兩個Raman過程, 使原子從不同的內態間實現躍遷.由于藍失諧光晶格的節點恰好出現在紅失諧光晶格強度最大的地方, 在背景晶格的格點附近, Raman晶格具有奇宇稱.具體而言,該體系的哈密頓量可以寫為

其中，背景晶格勢VOL=V0(cos2k0x+cos2k0y),Raman晶 格 勢Mx=M0cosk0xsink0y,My=M0cosk0ysink0x,δ是Raman過程的雙光子失諧,在這里對應一個等效的z方向磁場.注意到在背景晶格的格點附近, 該哈密頓量的自旋軌道部分可以化為更加明顯的二維SOC形式～(λxyσx+λyxσy) .

2016年, Wu等[11]在87Rb玻色氣體中實現了上述類型的二維自旋軌道耦合, 并通過實驗確認了體系的拓撲性質.隨后, Sun等[54]還利用一個改進的Raman晶格方案實現了更加穩定的二維拓撲玻色氣體.

3 光腔中簡并費米氣體的拓撲超輻射態

對于光腔中的超冷原子氣體, 原子運動與光場的相互作用通常會產生豐富的動力學過程和新奇的多體相[55?60].在玻色氣體中, 實驗上已經在與腔光場耦合的玻色-愛因斯坦凝聚中觀察到Dicke超輻射 (superradiant, SR)態, 表現為腔內光場出現宏觀布居, 同時原子在空間發生自組織現象[61?63].對于無自旋的簡并費米氣體, 理論研究表明由于存在費米面嵌套, 腔光子在費米面附近發生的散射可以輔助超輻射相變的發生, 并導致費米面上出現一個體能隙[64?66].

本節研究光腔中的準一維兩分量費米氣體, 以及該體系中由超輻射誘導產生的一個穩定的拓撲超 輻 射 (topological superradiant, TSR)態 .在TSR態中, 原子的拓撲非平庸性質與光腔中SR光同時產生[67,68].這種新奇的拓撲相與系統中的自旋軌道耦合密切相關.盡管在超冷原子氣體中的人造 SOC已被廣泛研究[69?73], 但有光腔誘導的SOC將會有更為豐富的物理前景[74,75].

本節所關注的系統如圖2(a)所示, 一個準一維費米氣體被放置在一個Fabry-Perot腔中, 光腔的兩個本征模式可以分別由沿腔軸向和徑向的線性偏振光驅動.由于兩種腔模間的失諧通常要比系統的相關動力學能量尺度大得多, 所以可以對兩種腔模分別進行處理.如圖2(b)所示, 通過利用原子的激發態, 沿軸向驅動產生的腔模A和徑向泵浦光可以經過兩個不同的拉曼過程將兩個超精細基態 (分別標記 為)耦合起來.原子態的磁量子數滿足關系:沿軸 方 向 的 偏 置 磁 場 在和兩個態之間產生了一個等效塞曼場mz.腔模A的頻率ωc與泵浦激光頻率ωA接近, 且二者均為藍失諧, 同時單光子失諧滿足關系?? ?A,gA.其中?A為徑向泵浦激光的拉比頻率,gA為腔模A的單光子拉比頻率.另外, 由于沿腔軸向驅動的腔模B的作用, 原子將被束縛在沿方向的一維背景晶格勢中.當mz大于臨界值mc時, 背景晶格勢將會打開一個能隙, 同時在SR相變前會產生一個半滿的鐵磁絕緣 (ferromagnetic insulator, I)態.

圖2 (a)準一維費米氣體與雙模光腔耦合的示意圖.在腔軸向 (沿 軸)和徑向 (沿 ? 軸)均有泵浦光; (b)原子能級和光耦合的示意圖[76]Fig.2.(a) A quasi-one-dimensional Fermi gas, which is coupled to a two-mode optical cavity, is under both transverse (along ? ) and longitudinal (along ) pumping; (b)the level scheme of atom[76].

3.1 哈密頓量

通過對腔場使用平均場近似, 可以得到系統的穩態解.同時, 對于準一維費米氣體, 通過積分掉緊束縛的徑向自由度, 可以得到系統的一維有效哈密頓量:

3.2 拓撲超輻射態

哈密頓量(17)式描述的體系中, 一個最顯著的特點是隨著有效泵浦強度ηA的增大, 系統中會出現超輻射(SR)相變.與SR相變對應的臨界泵浦強度可以利用二階微擾理論計算自由能得到[66].通過積分掉費米場, 并使自由能二階微擾展開系數為零, 我以得到臨界泵浦強度:

在SR相變前, 光場強度α=0 , 且原子處于背景晶格勢V0cos2(k0x) 中.在 SR 相變后, 腔模 A 出現大量光子的宏觀占據, 從而改變背景晶格勢, 并且在哈密頓量(17)式中誘導產生一個隨時空變化的SOC.這個SOC的變化周期為背景晶格勢的兩倍.當腔模A強度較弱時, 可以忽略不同能帶的帶間耦合, 并利用單帶緊束縛極限下的規范變換將哈密頓量 (17)式映射為一個手性拓撲絕緣體的哈密頓量.在能帶為半滿狀態且塞曼場低于一個臨界值時, 這個哈密頓量的基態是拓撲非平庸的[77].當ηA增大時, 帶間耦合作用變得不可忽略, 同時單帶緊束縛近似不再適用.盡管如此, 我們發現即使在深SR區域, 拓撲性質依然存在.

首先在開邊界條件且mz=0 的有限尺寸晶格中對角化等效哈密頓量(17)式, 同時對腔場進行自洽求解.計算得到的腔場強度和能譜分別如圖3(a)和圖3(c)所示.從圖中可以明顯看出, 只要泵浦強度超過一個臨界值, 一對如圖3(d)所示的擁有局域波函數的零模將會在超輻射誘導的體能隙中出現.與此同時, 超輻射相變所對應的序參量會由0 變為有限值, 如圖3(b)所示.因此, 在這個系統中伴隨腔模的SR相變, 原子體系也展現出拓撲性質, 我們定義為拓撲超輻射(TSR)相.

3.3 系統穩態相圖

通過描繪體系在ηA?mz平面的穩態相圖, 可以研究體系中TSR相的穩定性.SR相邊界可以通過方程(18)計算得到, 而拓撲相邊界由體系的拓撲數決定.通過定義從第一布里淵區到自旋空間的映射, 可以用動量空間中的自旋結構來定義體系的拓撲數, 其中σy和σz為泡利矩陣.上式中的期望值由動量空間中最低能帶的布洛赫態計算得到.通過上面提到的映射, 每一個布洛赫態會對應一個位于y-z平面內的自旋, 其單位向量為閉環S1的基本組成部分.因此, 這個體系的環繞數可以通過計算閉環S1被覆蓋的次數得到.

圖3 開邊界條件下準一維晶格中 TSR 態的一些特征 (a) 腔場強度 |α| 隨有效泵浦 ηA 的變化; (b) 序參量 θ (x) 在 TSR 相變前(點線表示, ηA=1Er )和相變后 (實線和點劃線表示, ηA=3Er )在中心六個格點中的變化情況.臨界點位于～ 2.05Er 處.在TSR相中, 由于自發對稱性破缺, 腔場 α 可以取正值或負值, 對應序參量由實線或點劃線表示; (c) 當系統穿過相邊界進入TSR態后, 系統會由于超輻射相變打開一個體能隙, 同時出現一對零能的邊緣態 (d) 當 ηA=3Er 時, 圖(c)中的邊緣態所對應的實 空 間 波 函 數.本 圖 中 考 慮 一 個 擁 有 80個 格 點 的 半 滿 晶 格 體 系, 體 系 參 數 選 取 為: kBT=Er/200 , m z=0 , V0=5Er ,κ=100Er , ?A=?10Er , ξA=5Er .對 于 6 Li 原 子 , 通 過 選 取 κ ≈7.4 MHz, gA≈27.1 MHz, | ?|≈ 0.74 MHz, ? ≈2 GHz 和T≈17.7nK可以滿足上述參數條件[76]Fig.3.TSR state in a quasi-one-dimensional lattice with open boundary conditions: (a) The cavity field | α| varies with ηA across the TSR transition; (b) θ (x) on the central six sites.The dotted curve corresponds to the θ (x) before the TSR phase transition,where ηA=1Er .The solid and dash-dotted curves to the θ (x) after the TSR phase transition, where ηA=3Er .The transition point is around≈ 2.05Er .Because of the spontaneous symmetry breaking, the cavity field of the TSR phase acquires a positive(negative) real part, corresponding to solid (dash-dotted) curve; (c) when the system crosses the phase boundary, a pair of edge states emerge in the superradiance-induced bulk gap.(d) the wave functions of the edge states in (c) with ηA=3Er .In our calculation, we consider a half-filled lattice of 80 sites, with the parameters kBT=Er/200 , m z=0 , V0=5Er , κ =100Er ,?A=?10Er , and ξA=5Er .For 6 Li atoms, these parameters can be satisfied by choosing κ ≈7.4 MHz, gA≈27.1 MHz,|?|≈ 0.74 MHz, ? ≈2 GHz, and T ≈17.7 nK[76].

圖4描繪了系統的穩態相圖.當mz

圖4 有限溫度 kBT=Er/200 時系統的穩態相圖.圖中實線為TSR相邊界, 點線為TSR態和普通SR態間的拓撲相邊界.在 mc≈0.132Er 處的細虛線為金屬態(M)和絕緣態(I)間的邊界.點劃線為普通SR相與絕緣相的邊界.不同的相邊界匯聚于 ηA≈ 2.614Er , mc≈0.132Er 處 (如圖中四相點所示).圖中其他參數與圖(2)一致.內嵌圖展示了與大圖中箭頭對應的相變前后體能隙的變化.圖中實線為相變前的能帶, 虛線為相變后的能帶, 點線為相邊界上的情況[76]Fig.4.The phase diagram of steady-state with kBT = Er/200 .The solid curve corresponds to the TSR phase boundary,and the topological phase boundary between the TSR and the trivial SR states corresponds to dotted curve.The thin dashed curve at mc≈0.132Er is the boundary between the M and the I states, and the dash-dotted curve is the conventional SR phase boundary.At the tetracritical point(dot) with ηA≈2.614Er and mc≈0.132Er , the various boundaries merge.Other parameters are the same as those used in Fig.2.Inset: change of bulk gap before (solid), after(dashed), and right (dotted) at the phase boundaries labeled by arrows[76].

當mz>mc時, 在發生超輻射相變之前, 費米氣體中不同自旋間的塞曼能大于能帶寬度, 因此系統處于一個鐵磁絕緣態(I).在剛發生SR相變時,鐵磁體能隙依然處于打開的狀態.費米氣體因此從I態變為拓撲平庸的SR態.隨著泵浦強度不斷增加, 在動量為零處(k=0 )能隙將經歷一個關閉和再次打開的過程, 這是由于體系穿過拓撲相邊界變為了TSR態.通過相圖可以發現此處的TSR態可以絕熱地與mzmc區域.需要強調的是, 拓撲相變是由拉曼誘導的能帶耦合所導致的鐵磁能帶結構變形引起, 且當ηA較大時此現象尤為明顯.具體來講, 在mz>mc區域當ηA從I態開始不斷增大, 體系首先穿過一個I-SR邊界變為普通SR態.ηA的進一步增大將使能帶耦合增強, 此作用將拉低能量最低的次能帶部分, 從而在TSR-SR邊界處使體能隙閉合.有趣的是, 由于在能隙閉合點處的能帶翻轉,當ηA繼續增大到TSR區域后, 能帶間耦合將使體能隙增大.這將導致在相圖中出現一個四相點, 以及在ηA-mz平面沿著不同路線將會看到不同類型的相變.

3.4 小 結

本節介紹了光腔中兩分量簡并費米氣體里的拓撲超輻射態.在光腔中, 沿軸向驅動產生的超輻射光和沿徑向的驅動光將共同形成自旋軌道耦合,并在半滿填充的能帶中打開一個體能隙.此效應將在原子體系中引發拓撲相變, 并由此形成拓撲超輻射態.

實驗中可以利用徑向緊束縛的二維光晶格來實現準一維費米氣體系統.當光腔中有更多數量的原子時, TSR相和對應的相變可以在實驗中更容易實現的參數下出現, 例如較弱的原子與光腔耦合、更大的單光子失諧和更大的光腔衰變率.本節最后需要強調的是, 上述準一維系統中出現的性質可以直接擴展到光腔中的準二維費米氣體, 其中同樣會出現TSR相.在這種情況下, 系統在穿過SR相變后的單帶緊束縛哈密頓量將對應于量子反常 霍 爾 效 應 (quantum anomalous Hall effect,QAHE)模型[77].

4 類堿土金屬原子中有相互作用的對稱性保護拓撲態

對有對稱性保護拓撲相(symmetry-protected topological, SPT)的研究, 已經在很大程度上提升了人們對拓撲性質的理解[78,79].與擁有長程糾纏的內稟拓撲序相比[80?82], SPT相擁有存在體能隙的短程糾纏基態, 同時只要被保護的對稱性不發生破缺, SPT相中就會出現無能隙或簡并的邊緣激發態.從有相互作用自旋鏈中的Haldane相[83], 到自由費米子中的拓撲絕緣體[84?88], 都是SPT相的典型例子.近年來, 玻色SPT相和無相互作用的費米SPT相已被廣泛研究[89?92].而對存在費米邊緣態且有相互作用的SPT相的研究仍處于發展階段[93?96], 特別是實驗中仍無法實現有相互作用的費米SPT相.

本節將討論利用有相互作用的類堿土金屬原子來模擬費米SPT相.由于最外層存在兩個價電子, 類堿土金屬原子擁有長壽命原子激發態, 以及有核自旋不為零的同位素等特殊性質.該類原子在基態1S0(這里稱為軌道態)和亞穩定激發態3P0(稱為軌道態)時, 核自旋自由度和電子自由度基本不耦合, 利用這個特點可以實現對所謂原子鐘態的靈活控制, 以及對具有大自旋SU(N)對稱性系統的模擬.盡管類堿土金屬原子已被應用于量子測量、量子信息和量子模擬等領域[97?124], 但近年來在173Yb原子中發現的軌道Feshbach共振使研究具有強相互作用的類堿土金屬原子體系成為可能[125?127].

本節將利用類堿土金屬原子的上述特點, 探討在這類系統中實現有相互作用的費米SPT相的方案.此拓撲相受U(1) 粒子數守恒和手性對稱的保護, 這些對稱性來源于反幺正群U(1)×.體系中SPT相存在費米邊緣態和 Z4拓撲不變性.這與之前提出的關于實現有玻色邊緣態的SPT相的理論形成鮮明對比, 后者可以在純玻色系統中實現并且受SU(N)/ZN對稱性保護.有相互作用的費米SPT相又與無相互作用的費米SPT相在拓撲不變性和分類上有本質上的區別.

4.1 哈密頓量

研究對象是束縛在光晶格勢中的準一維超冷類堿土金屬原子系統.如圖5所示[128], 一對藍失諧拉曼激光同時將不同軌道上的核自旋態和耦合在一起.形成拉曼過程的兩束激光的拉比頻率分別為?1(x)=?1cos(k0x) 和?2exp(ik0y).通過這一拉曼過程, 兩個不同的核自旋態上將產生SOC, 同時形成與態(α=g,e)對應的一維光晶格勢.當拉曼激光具有魔幻波長時, 對于不同軌道態而言, 光晶格勢和拉曼過程的有效拉比頻率會趨于一致.對于173Yb 原子, 魔幻波長約為 550 nm[129].在這樣的體系中, 單粒子哈密頓量可表示為

其中σ=(↑,↓) ,ψασ是與軌道α和自旋σ對應的原子湮滅算符,δαδ表示外加磁場下相應的塞曼移動[130].晶格勢為V(x)=V0cos2(k0x) , 拉曼晶格勢為M(x)=M0cos(k0x) , 其中V0和M0都與魔幻波長下鐘態的交流極化率成正比.結合近年來在類堿土金屬原子中實現人造SOC的各項實驗進展, 本節研究體系的所有必要參數在實驗中均可實現.

圖5 (a) 處在拉曼光中的準一維超冷原子氣體; (b) 通過拉曼過程耦合的原子能級示意圖.圖中綠色曲線指示了不同軌道態之間的自旋交換相互作用.通過利用與自旋相關的激光頻移, 可以將圖中的四個核自旋態與其他核自旋態分離開來進行操控[128]Fig.5.A quasi-1D atomic gas under Raman lasers; (b) Raman level schemes in the clock-states manifold.The green curve corresponds to the interorbital spin-exchange interaction.By using spin-dependent laser shifts, the four nuclear spin states from 1 S0 and 3 P0 manifolds can be separated from the other nuclear spins[128].

盡管高能帶通常會對拉曼誘導的SOC有重要影響, 但當M0不是很大時, 仍然可以應用單帶緊束縛模型[131?133].具體而言, 當?1? ?2時, 單粒子緊束縛模型可以被表示為

此處?(i)為晶格勢V(x) 中i格點處最低能帶的Wannier函數.

或電子自旋三態和核自旋單態通道

中.在準一維束縛勢阱和外加磁場下, 上述不同散射通道相互耦合, 體系在緊束縛近似下的相互作用可以寫為[134]

4.2 相互作用誘導的拓撲相變和體系相圖

鑒別一維非平庸拓撲相的通常做法是檢測基態糾纏譜中的簡并度.糾纏譜可以定義為ξi= ?ln(ρi)[138?144], 其 中ρi是 約 化 密 度 矩 陣的 本 征 值 ,為 體 系 基 態 , 腳 標L和R與一維鏈的左半部分和右半部分相對應.由于糾纏譜ξi與邊緣激發態能譜相似, 所以只要ξi的本征值是簡并的, 就意味著系統會出現拓撲非平庸性質[144].我們首先介紹固定參數U,和tso條件下, 不斷增大自旋交換相互作用Vex的情況.圖6(a)描繪了約化密度矩陣四個最小本征值的糾纏譜隨Vex/ts的變化情況.從圖中可以看出盡管在Vex=0時糾纏譜中本征態是四重簡并的, 但當Vex較弱時部分簡并消失.由于糾纏譜的簡并性通常等于對稱群中不可約投影表示的維度, 所以簡并度破缺可以理解為此投影表示被約化為了不同的不可約表示.對于排斥相互作用(Vex>0 ), 當相互作用強度超過臨界點/ts≈1.69 時糾纏譜將不再簡并.由于在臨界點兩側不存在局域對稱性破缺序,所以穿過臨界點就標志著發生從有相互作用SPT相到平庸相的拓撲相變.對于吸引相互用區域 (Vex<0 ), 即使在 |Vex| 很大時, 非平庸 SPT 相依然存在.

圖6 (a) 本征值最小的四個糾纏譜 ξ i(i=1,2,3,4) 隨自旋交換相互作用的變化; (b) 開邊界條件下, 在格點數 N =60 的光晶格鏈中, 二階 Rényi熵 S2 和 von Neumann 熵 S vN 隨 Vex/ts 的變化情況; (c) 周期邊界條件下, 在格點數 N =12 的光晶格鏈中, 體能隙 E gap 的變化情況.內嵌圖為體能隙在臨界點處隨 1 /N 的變化情況.圖中線性擬合的紅色實線給出大 N 極限下Egap/ts≈ ?0.02±0.05; (d) 臨界點 Vex/ts=1.694 處, 長度為 j 且格點數 N =120 的子鏈中 von Neumann 熵隨 s in(πl/N) 的變化.通過線性擬合 SvN=(C/6)ln[sin(πl/N)]+1.87 , 可以得到中心荷(central charge) C =1.018 .圖中所有計算均在半滿狀態下進行, 且固定參數=0 , U =0 , tso/ts=0.4 [128]Fig.6.(a) The entanglement spectrum ξ i(i=1,2,3,4) ; (b) in a chain with N =60 lattice sites and under open boundary conditions, the second-order Rényi entropy S2 and the von Neumann entropy S vN vary with Vex/ts ; (c) in a chain with N =12 lattice sites and under the periodic boundary condition, the bulk energy gap E gap varies with Vex/ts .Inset: The bulk gap as a function of 1 /N at the critical point, and the red solid line is a linear fit with Egap/ts≈ ?0.02±0.05 in the large-N limit.(d) in a chain with N =120 lattice sites and at the critical point Vex/ts=1.694 , the von Neumann entropy of a subchain of length l varied with s in(πl/N) .The solid line is the linear fit with SvN=(C/6)ln[sin(πl/N)]+1.87 and C =1.018 .The central charge is 6 times the slope of the linear fit.All calculations are performed at half filling and with the fixed parameters =0 ,U=0, and tso/ts=0.4 [128].

通過對熵和體能隙的計算, 可以進一步確定由相互作用驅動的拓撲相變發生的位置.如圖6(b)所 示 , 二 階 Rényi熵[145?149]和von Neumann 熵在臨界點處都會出現突變.圖6(c)描繪了在周期邊界條件下格點數N=12 的晶格中半滿狀態下體能隙的變化情況.當系統穿過臨界點時, 體能隙會在熱力學極限下閉合(如內嵌圖所示)然后再次打開, 這是一個典型的連續拓撲相變過程.von Neumann熵在臨界點處的突變指示了連續相變的發生, 而由此產生的中心荷可以反映相變的種類.圖6(d)描繪了長度為l的子鏈的von Neumann熵隨ln[sin(πl/N)]的變化.從圖中曲線的斜率可以計算出中心荷C[150,151]約為C≈1.018 , 與 Luttinger液體中的C值接近 (Luttinger液體中C=1 ).此外, 自旋關聯為i格 點處并 處 于α軌 道 的原子 沿x軸方向的自旋算符)在臨界點處將呈現出系數約為 1 .38 的指數衰減.此外, 原子在兩個軌道間的在位密度差也會在臨界點附近出現相似的指數衰減行為, 其衰減系數約為 2.1 , 可以被看作在軌道自由度中的自旋關聯.這些結果表明, 體系在臨界點處為Luttinger液體.

圖7展示了由糾纏譜和熵的數值結果給出的體系相圖.通過計算相應的局域量, 可以進一步確定相圖中的拓撲平庸態, 例如軌道或自旋梯級單態 (orbital or spin rung-singlet, ORS or SRS)、電荷密度波 (charge-density wave, CDW)態和軌道密度波 (orbital-density wave, ODW)態.正如前文討論過的, 當U=0 時, 體系的多體基態將經歷從拓撲(topological, T)非平庸態到平庸態的轉變.在圖7中, 選擇的 SOC 強度為tso/ts=0.4 .如果從T態開始減小tso值, 在臨界值處將發生拓撲相變, 體系在tso<時轉變為拓撲平庸的.此發現進一步強調了SOC在穩定拓撲相方面起到的重要作用.另外, 我們也發現在有限塞曼場中可以得到類似的相圖.

圖7 格點數 N =60 且處于半滿狀態下的體系相圖, 其中=0 [128]Fig.7.The phase diagram of a lattice with N =60 sites at half filling with=0 [128].

4.3 小 結

本節中提出在有相互作用的準一維類堿土金屬原子氣體中, 可以通過利用電子軌道自由度和核自旋自由度, 以及拉曼過程誘導的SOC和軌道Feshbach共振提供的自旋交換相互作用, 實現有相互作用的費米對稱性保護拓撲態.通過數值計算, 給出了體系的相圖, 并刻畫了在不同參數區間存在的物質相和相變.

5 SU(3)自旋軌道耦合玻色氣體中的自旋雙渦旋

在接下來的兩節中, 將討論SOC在玻色系統中的一些新發現.在以往的研究中, 人們更多地關注自旋1/2系統中SOC所衍生的新奇性質.在數學上表現為SU(2)的泡利矩陣代表的自旋算符與動量算符耦合.然而, 如果自旋自由度中包含兩個以上的態,SU(2)自旋矩陣將無法完整地描述內態中的所有耦合.例如, 在一個三分量系統中, 態和間的直接躍遷將被遺漏[152].此時, 需要利用SU(3)矩陣來完整描述三分量體系中的自旋軌道耦合[153].在傳統的凝聚態物理研究中, 人們多關注自旋1/2的電子, 而對SU(3)自旋軌道耦合以及其可能誘導產生的新奇量子態和拓撲缺陷研究較少.

本節關注具有SU(3)自旋軌道耦合的玻色-愛因斯坦凝聚, 并介紹其中可能出現的一類新型拓撲缺陷—自旋雙渦旋.在這個系統中, 根據自旋相互作用是鐵磁或反鐵磁的不同情況,SU(3)自旋軌道耦合可能會產生兩種不同的基態: 磁化相或晶格相.在磁化相中,SU(3)自旋軌道耦合將誘導產生三重簡并的基態, 這與SU(2)自旋軌道耦合的情況形成鮮明對比.在晶格相中,SU(3)自旋軌道耦合破壞了普通旋量BEC中的相位約束條件: 2w0=w1+w?1, 并且會誘導產生三種在中心有不同磁化填充的新奇渦旋.其中wi為第i個自旋分量的環繞數[154?156].這些渦旋的交錯排列將導致環繞數為2的多重自旋渦旋的自發形成.在實驗中, 可以利用對磁場敏感的相位成像技術來觀測此類拓撲缺陷.

5.1 SU(3)自旋軌道耦合

我們研究的系統是F=1 且具有SU(3)自旋軌道耦合的旋量BEC.在平均場近似下, 體系哈密頓量可以寫為Gross-Pitaevskii(GP)方程的形式:

有SU(3)自旋軌道耦合的哈密頓量可以通過與SU(2)自旋軌道耦合相似的方法來實現[162, 163].如圖8所示, 三束有不同偏振和頻率且以 2 π/3 角度相交的激光被用于拉曼耦合中.每束激光分別綴飾一個F=1 的超精細自旋態到 |e?激發態上.當使用標準旋波近似, 并將激發態絕熱消除后, 可以得到如方程(22)所示的有效哈密頓量.

圖8 旋量BEC中產生SU(3)自旋軌道耦合的原理圖(a) 激光作用.三束有不同頻率和偏振的激光, 以 2 π/3 的角度作用于原子氣體; (b) 能級圖.三個拉曼過程分別綴飾87Rb中飾87Rb中 5 S1/2,F=1 基態的超精細塞曼能級 | F=1 ,mF=, | F=1,mF=和 | F=1,mF= ?.δ1 , δ2 和δ3與拉曼過程的失諧對應[162]Fig.8.Scheme for creating SU(3) spin-orbit coupling in spinor BECs: (a) Laser geometry.The cloud of atoms is illuminated by three laser beams with different frequencies and polarizations, intersecting at an angle of 2 π/3 (b) Each of the three Raman lasers dresses one hyperfine Zeeman level from eman level from | F=1,mF=,|F=1,mF= and | F=1,mF=? of the 87Rb 5S1/2,F=1.δ1,δ2 , and δ3 are the detuning in the Raman transitions[162].

5.2 體系相圖

接下來討論體系的多體基態相圖.對于SU(2)自旋軌道耦合的情況, 已有研究表明體系兩個多體基態(磁化態和條紋態)可以在均勻系統中穩定存在[152].盡管Rashba類型的SOC使單粒子譜中存在無窮多簡并的最小值, 但由于存在自旋相互作用, 多體基態在動量空間中將會凝聚于一個或兩個點處[152].這導致對于SU(2)的自旋軌道耦合,除非引入一個強束縛簡諧勢阱, 在動量空間中存在三點或更多處凝聚的晶格態是不穩定的[160].

對于本節考慮的SU(3)自旋軌道耦合的情況,首先選擇Ψ=α1Ψ1+α2Ψ2+α3Ψ3作為試探波函數, 通過變分方法來研究系統可能存在的基態,其中

對應于所有粒子處于單粒子譜三個簡并基態中的某一個多體凝聚態,αi=1,2,3為對應的展開系數.將(23)式—(25)式代入相互作用能量泛函

可以得到

當c2>0 時, 通 過 最 小 化 能 量 可 得|α1|2=|α2|2=|α3|2=/3, 這意味著系統基態是一個由三個單粒子最小值等權疊加的三角晶格相.另一方面, 當c2<0 時, 系統更傾向于成為一個滿足參數|α1|2=,|α2|2=|α3|2=0或|α2|2=|α1|2=|α3|2=0或|α3|2=,|α1|2=|α2|2=0的態, 這意味著基態占據在動量空間的某一個最小值處, 形成一個三重簡并的磁化相.

在SOC比較強的情況下, 體系的化學勢主要由SOC決定, 上面介紹的變分波函數(23)式—(25)式可以比較好地描述體系的性質.而對于SOC強度較弱, 相互作用相對較強的情況, 則必須依賴于數值模擬來得到體系的多體基態.在這種情況下, 我們發現在c2?κ2條件下將會出現在動量空間中有兩個最小值布局的條紋相.

圖9 有SU(3)自旋軌道耦合的BEC中的兩種不同相 (a)?(d) 存在反鐵磁自旋相互作用時( c2>0 )的拓撲非平庸晶格相.圖(a)中的高度和顏色分別代表 Ψ1 的密度和相位.在圖(b)中, 一個單胞中呈現出渦旋(白色圓圈)和反渦旋(黑色圓圈)的位置.圖(c)和圖(d)分別展示了晶格相的動量分布和相分離結構的示意圖; (e), (f) 存在鐵磁自旋相互作用時( c2<0 )的三重簡并磁化相.圖(e)和圖(f)分別展示了 Ψ 1 在實空間和動量空間的分布[162]Fig.9.Two distinct phases of SU(3) spin-orbit-coupled BECS: (a)?(d) The topologically nontrivial lattice phase with antiferromagnetic spin interaction ( c2>0 ).(a) The heights and colors correspond to the density and phase of Ψ 1 respectively, (b) the positions of vortices (white circles) and antivortices (black circles) in the phase within one unit cell, (c) the corresponding momentum distributions, (d) the structural schematic drawing of the phase separation; (e), (f) the threefold-degenerate magnetized phase for ferromagnetic spin interaction ( c2<0 ).(e) the density and phase distributions of Ψ1 , (f) the corresponding momentum distributions[162].

通過虛時演化方法最小化與哈密頓量(22)式對應的能量泛函, 可以數值得到體系的多體基態.研究表明, 數值計算的結果與上文討論的變分結果在弱相互作用區間c2κ2內基本一致.圖9描繪了有SU(3)自旋軌道耦合的旋量BEC中兩種可能存在的基態.當c2>0 時, 如圖9(a)–圖9(d)所示, 體系中三種成分互不相融, 并且排列成一個相互交錯, 且有空間平移對稱性自發破缺的三角晶格.如圖9(d)所示, 此晶格為拓撲非平庸且在其中鑲嵌有渦旋和反渦旋.因此, 晶格相可以在有SU(3)自旋軌道耦合的均勻BEC中穩定存在.與之形成鮮明對比的是, 在SU(2)的系統中一般需要外加一個強簡諧束縛勢阱[160].關于渦旋的性質將在下文討論.另一方面, 如圖9(e)和圖9(f)所示, 當c2<0時, 體系三種成分混合在一起, 同時體系將形成一個具有空間平移對稱性, 但時間反演對稱性破缺的磁化相.由于存在自發對稱性破缺, 磁化相將占據在單粒子譜三個簡并基態中的一個.因此磁化相是三重簡并的, 而在SU(2)情況中為二重簡并[164].

然而, 對于參數為c2?κ2的強反鐵磁自旋相互作用, 系統可能會出現動量空間中三個最小值中的兩處被占據的條紋相.通過將動量空間中兩點或三點最小值處被占據的態作為試探波函數, 同時結合虛時演化, 可以找到相對應的最優基態能量.圖10(a)描繪了原子間相互作用強度為不同值時晶格相和條紋相的能量對比情況.從圖中可以明顯發現當原子間相互作用強度超過一個臨界值時, 條紋相的能量將低于晶格相中能量.如圖10(d)所示, 由于垂直于條紋方向存在有限值動量, 空間平移和時間反演對稱性都會發生破缺(如圖10(b)和圖10(c)所示).這一點也顯著區別于SU(2)自旋軌道耦合誘導產生的條紋相[152].

5.3 相位條件

旋量BEC中的渦旋結構取決于體系三個自旋分量間的相位關系.接下來將討論SOC對晶格結構相位條件的影響.首先假設在極坐標系 (r,θ) 中自旋序參量可以寫為

5.3.1 不存在自旋軌道耦合

當體系中不存在SOC時, 哈密頓量中與相位有關的部分是

圖10 (a) 晶格相和條紋相的能量對比; (b)?(d) 參數 c2=20κ2 和 c0=10c2 時, 條紋相基態的密度、相位和動量的分布[162]Fig.10.(a) Energy comparison between the lattice and stripe phases.The solid (lattice state) and dashed (stripe state) lines correspond to the energy difference ? E between the numerical simulation and the variational calculation; (b)?(d) the ground-state density, phase and momentum distributions of the stripe phase with the parameters c2=20κ2 and c0=10c2 [162].

其中第一項由動能產生, 第二項來自于自旋相互作用.將方程(28)代入(29)式可以得到

從(30)式中可以很容易發現體系在能量上更傾向于處在小環繞數的狀態.從(31)式中進一步看出能量最小化需要環繞數和相位滿足下面的關系:

其中當c2>0 時n為奇數, 當c2<0 時n為偶數.方程(32)所示的相位條件表明下面這些不同自旋分量的環繞數可以存在于旋量BEC系統中:在這里, 符號 × 代表體系中Ψ0成分沒有占據.

5.3.2SU(2)自旋軌道耦合

對于存在SU(2)自旋軌道耦合的情況, 我們以Rashba類型SOC為例, 對應的哈密頓量可以寫為

這里ψ=[ψ1,ψ0,ψ?1]T.將 (28)式代入 (34)式中可以得到

為了最小化SOC能量, 參數傾向于滿足下面關系:

此時SOC能量可以改寫為

通過最小化能量方程(40), 可以確定參數m和n的奇偶性.可以發現SU(2)自旋軌道耦合不違反(32)式所示的一般環繞數條件, 但會另外出現如方程(36)和方程(37)所示的條件.由此產生的影響是 : 盡管環繞數組合和仍被體系接受, 但將 不 被允許.可以明顯看出, SOC破壞了體系的手性對稱, 進而誘導產生手性自旋結構.

5.3.3SU(3)自旋軌道耦合

對于SU(3)自旋軌道耦合, 有效哈密頓量可寫為

將方程(28)代入(41)式, 可得

通過最小化SOC能量, 可以得到下面的關系:

進而SOC能量可以寫為

其中參數m,n,l的奇偶性由方程(49)決定.然而,方程(43)–(45)無法同時滿足.因此SU(3)自旋軌道耦合的相位條件將出現以下幾種情況:

情況一:

情況二:

情況三:

5.4 渦旋結構

根據環繞數組合和渦旋中心磁化特征, 可以對旋量BEC中的渦旋結構進行分類[154?156].舉例來說, Mermin-Ho渦旋具有鐵磁渦旋中心, 且不同自旋分量的環繞數為, 其中 ± 代表渦旋的不同手性[165],表示在波函數中Ψ1,Ψ0,Ψ?1部分分別有環繞數w1,w0,w?1.使用這種標記方式, 極化核心(polar core)渦旋對應環繞數組合和一個反鐵磁渦旋核心, 半量子(half-quantum)渦旋則對應環繞數組合和一個鐵磁渦旋核心.

在由反鐵磁自旋相互作用和SU(3)自旋軌道耦合共同誘導產生的晶格相中, 存在如圖11所示的三種類型的渦旋: 一種是對應環繞數組合的極化核心渦旋, 另外兩種是分別對應環繞數組合的鐵磁核心渦旋.此外, 由于在有SU(3)自旋軌道耦合的系統中手性對稱將發生破缺, 所有具有反手性的渦旋結構, 例如將不被允許.

圖11 有 SU(3)自旋軌道耦合的反鐵磁旋量BEC中的渦旋結構.圖中描繪了三個自旋分量中的渦旋排列.三種類型的渦旋包括: 一個不同自旋分量的環繞數組合為?1,0,1的極化核心渦旋(藍線所示), 兩個環繞數組合分別為,?1,0 (綠線所示) 和,1,?1 (紅線所示)的鐵磁核心渦旋[162]Fig.11.Vortex arrangement among the three components in antiferromagnetic spinor BECs with SU(3) spin-orbit coupling.There are three types of vortices, including a polar-core vortex with winding combination ?1,0,1 (blue line) and two ferromagnetic-core vortices with winding number combinations,?1,0 (green line) and ,1,?1(red line)[162].

5.5 自旋雙渦旋結構

自旋渦旋是由對稱性破缺誘導產生的一種復雜拓撲缺陷, 其特點是環繞無磁化核心的質量流為零、而量子化的自旋流不為零[166?169].自旋渦旋不僅與在磁性薄膜中發現的磁性渦旋不同[170,171], 而且由于存在自旋結構中的奇點[172], 自旋渦旋也有別于二維Skyrmion[173].實驗中已經在鐵磁自旋BEC中觀測到環繞數l=1 的量子自旋環流[174].然而,l(l?2) 的多重量子自旋渦旋被認為是拓撲不穩定的, 至今還沒有在實驗中觀測到.

圖12 有 SU(3)自旋軌道耦合的反鐵磁自旋 BEC 中的自旋雙渦旋 (a)橫向磁化的空間分布, 其中顏色表示磁化方向; (b), (c)分別描繪了縱向磁化和總磁化幅度 | F| 的分布.圖中分別用大圓圈和小圓圈標記了自旋雙渦旋和half-Skyrmion這兩種類型的拓撲缺陷[162]Fig.12.The double-quantum spin vortex in antiferromagnetic spinor BECs with SU(3) spin-orbit coupling: (a) Spatial maps of the transverse magnetization.The colors correspond to the magnetization orientation; (b) longitudinal magnetization; (c) amplitude of the total magnetization | F| .The big and small circles represents the two kinds of topological defects: double-quantum spin vortex and half-Skyrmion.[162].

在本節考慮的具有SU(3)自旋軌道耦合的旋量BEC中, 我們發現晶格相中的極化核心渦旋擁有兩個圍繞無磁化核心的自旋流, 因此可以被定義為自旋雙渦旋.圖12描繪了自旋雙渦旋的橫向磁化F+=Fx+iFy, 縱向磁化Fz和總磁化 |F| 的 幅度, 這些量在實驗中可以通過對磁場敏感的相位成像技術來觀測.從圖中可以發現兩種不同類型的拓撲缺陷: 自旋雙渦旋和 half-Skyrmion(HS)[175], 分別對應環繞數組合為的極化核心渦旋, 以及的鐵磁核心渦旋.值得注意的是, 自旋雙渦旋的核心是非磁化的, 且磁化方向沿著圍繞核心的一條封閉路徑會發生 4π 角度的旋轉.因此在有SU(3)自旋軌道耦合的反鐵磁旋量BEC中會自發出現一個由多重自旋渦旋組成的常規晶格.通過考慮有限溫度的影響, 可以進一步確定自旋雙渦旋在低溫下不會被熱漲落破壞, 因此在實驗中可以被實現.

5.6 小 結

本節介紹了具有SU(3)自旋軌道耦合的旋量玻色氣體中的基態.發現SU(3)自旋軌道耦合和自旋相互作用將共同決定體系的基態相圖.當存在有效鐵磁自旋相互作用時,SU(3)自旋軌道耦合會引入三重簡并, 而在存在反鐵磁自旋相互作用時,SOC將破壞旋量玻色氣體中的一般相位規則, 并在體系中誘導產生自旋雙渦旋.

6 存在軟核長程相互作用和自旋軌道耦合的玻色氣體中的手性超固相

手性是自然界中普遍存在的現象[176,177].研究手性物質中的新奇態, 是物理學的一個重要課題,同時也為設計特殊功能材料提供了一些思路和線索.最近發現的新奇手性物態, 如手性超導[178]、手性電子[179]、手性疇壁[180?182]和手性Skyrmions[183],都吸引了科研工作者的廣泛興趣.在上述的很多體系中, SOC都是手性對稱性破缺的重要因素.

之前關于SOC的大量研究都僅針對硬核系統.這些系統中原子間相互作用通常取為零距離接觸作用[184,185]或長程偶極勢[186,187].然而, 通過使用Rydberg綴飾技術, 可以在玻色氣體中實現軟核相互作用[188?190].硬核相互作用和軟核相互作用的本質區別在于當兩個原子距離較近時, 相互作用勢表現出的行為有顯著的不同.對于硬核情況, 相互作用將趨于無窮大, 而對于軟核系統, 相互作用勢將趨于一個有限值.之前已有研究表明, 軟核長程相互作用可以誘導產生自發超固體[191,192].作為一種人們長期尋找的新奇物質相, 自發超固體可以同時表現出固體性質和無摩擦超流性質[193?197].因此, 對于同時具有SOC和軟核相互作用的體系,人們自然會提出一個問題: 能否實現一個手性對稱性破缺的超固體相?

6.1 哈密頓量

考慮一個有軟核長程相互作用和SOC的二維均勻BEC.體系在平均場近似下的哈密頓量可以寫為Gross-Pitaevskii的形式:

其中旋量BEC的序參量定義為Ψ=[Ψ↑(r),Ψ↓(r)]T,且滿足歸一化條件SOC 項可以寫為:Vso= ?i?κ(σx?x±σy?y) , 其中σx,y為泡利矩陣,κ為 SOC 強度.SOC 項中 ± 代表 了 SOC 的 種 類 , + 為 Rashba類 型 , – 為Dresselhaus類型.本節關注具有SU(2)對稱性的玻色氣體, 因此接觸相互作用強度gij滿足g=g↑↑=g↓↓=g↑↓.描述軟核長程相互作用的有效勢可以寫為, 其 中表示相互作用強度,Rc表示阻塞半徑[189].

實驗中在87Rb原子的 ( 5S1/2,F=1) 基態中可以實現哈密頓量 (62)式, 其中兩個超精細態可以被用來模擬體系中自旋向上和向下的分量.盡管體系中自然存在著接觸相互作用, 但利用Rydberg綴飾技術可以人為創造軟核長程相互作用, 此過程是利用一個非共振雙光子過程將基態原子與一個高激發Rydberg態弱耦合在一起[188?190].軟核長程相互作用強度和阻塞半徑Rc取決于雙光子拉比頻率和失諧, 在實驗中可以在較寬的范圍內調節.Rashba和Dresselhaus類型的SOC可以通過調節梯度磁場[198]或拉曼激光綴飾來實現[28].二維體系可以通過在軸向加一個強簡諧勢阱來實現, 勢阱的特征長度為假設體系所有的能量尺度都遠小于該簡諧勢阱的束縛能, 二維有效接觸相互作用可以寫為其中aij為對應的三維 s 波散射長度[199].

6.2 手性超固體

通過數值最小化哈密頓量(62)式, 可以得到體系的多體基態.在沒有SOC的體系中, 已有研究表明軟核長程相互作用可以誘導產生具有類旋子模式軟化的超固體相[188,189].在這種情況中, 哈密頓量關于手性算符具有對稱性, 這里代表復共軛.而Rashba類型或Dresselhaus類型的SOC可以使這種手性對稱發生破缺, 并且誘導產生一個新奇手性超固體相.如圖13所示, 在這個相中每個單胞都存在順時針或逆時針的環流.同時在每個單胞中兩種自旋分量沿著徑向分開, 分量內相互作用較弱的自旋位于中心位置, 并被相互作用較強的自旋分量環繞.盡管處于單胞中心的自旋分量的相位是平庸的, 但環繞在外的自旋分量 沿著圍繞中心的閉合路徑存在一個 2π 的相位梯度,因此在每個單胞中都存在渦旋.特別值得注意的是, 在這里所有渦旋的環繞方向都相同.與之形成鮮明對比的是, 在有SOC的硬核系統中渦旋和反渦旋總是成對出現的[200?203].

為了得到這些整齊排布的渦旋物理圖像, 我們可以將Rashba類型SOC項

在極坐標系 (r,φ) 下改寫為

其中Λ0表示超固體晶體結構中一個單胞所對應的積分域, 波函數可以表示為密度和相位的形式:對于核心部分 (用下標“?”表示), 為避免降低能量, 相位必須滿足條件:?θ?/?φ=0.另外, 通過考慮旋轉對稱并忽略徑向擴散, 可以自然地假設?nj/?φ=0 和?θj/?r=0 .因此, 可以得到

這里下標?表示環繞核心的部分.當核心部分為自旋向上 (向下) 時, 符號 ± 取 +(-).為了使 SOC 能量最小化, 參數傾向于滿足條件

其中θ?為常數.上述結果意味著如果核心部分為自旋向上(向下), 環繞部分傾向于有一個 + 2π ( ? 2π )的相位梯度, 這同時與圖12所示的數值計算結果一致.

單胞內的徑向相位分離和非平庸的環流共同組成了一種拓撲自旋結構.通過定義布洛赫矢量s=Ψ?σΨ/|Ψ|2, 可 以 從 方 程 (65)中 得 到sx=和sz=(n↑?n↓)/(n↑+n↓), 其中布洛赫矢量s將態Ψ投影到了一個單位布洛赫球面上.很顯然, 在遍歷一個單胞的過程中, 布洛赫矢量僅覆蓋布洛赫球面一次.因此,圖13所示的手性超固相與磁性材料中的Skyrmion晶體有相似的性質[204?207].

在手性超固相中, 每個單胞都具有一個自發粒子環流.在流體動力學理論中[208,209], 質量守恒要求在規范勢下的實際粒子流有如下形式:

其中, 對于Rashba類型 SOC的規范勢為A=?κM(σx,σy), 對于Dresselhaus類型SOC的規范勢為A= ?κM(σx,?σy) .粒子流表達式中的第一項(正則部分)依賴于相位梯度?θj, 而第二項(規范部分)與相位差θ??θ?相關.對于Rashba類型SOC的情況, 依據相位關系(65)式, 粒子流可以表示為

因此, 如圖14(c)和圖14(d)所示, Dresselhaus類型SOC可以誘導產生一個與Rashba類型手性相反的粒子流.

手性粒子環流的存在意味著在超固體相的基態中存在一個有限角動量.根據方程(67), 在每個單胞中由Rashba類型SOC誘導產生的角動量可以表示為

由于所有渦旋的環繞方向相同, 所以系統總角動量不為零.需要強調的是, 此有限角動量的出現是由手性對稱性破缺直接導致的, 這與利用外加旋轉[210,211]或人造磁場[49]產生角動量的傳統方法形成鮮明對比.另外, 角動量的方向由渦旋中心的自旋取向決定, 因此可以通過改變同種自旋分量內的相互作用強度來調節角動量的方向.

手性超固相中的總自旋角動量Sz同樣不為零.通過數值計算可以發現, 系統中大部分粒子位于渦旋核心處, 同時存在較弱的分量內相互作用, 只有很少的粒子位于外圍環流中, 在圖13和圖14中此部分所占比例大約為9.3%.因此, 總自旋角動量大約為從圖14中也可以發現, 對于Rashba類型SOC, 總自旋角動量和軌道角動量的方向相反, 而對于Dresselhaus類型SOC, 二者方向一致.

6.3 系統相圖

圖15描繪了體系在不同參數下的相圖.除了上文討論的手性超固相 (chiral supersolid,CSS)以外, 圖15中還討論了另外兩種超固體相:平面波超固相 (plane-wave supersolid, PWSS)和駐波超固相 (standing-wave supersolid, SWSS).在PWSS相和SWSS相中, 系統均會出現平移對稱性破缺, 從而形成晶體結構.對于 PWSS 相, 在每個單胞中的局域凝聚波函數均會沿一個給定方向出現相位變化.對于SWSS相, 凝聚波函數會出現密度調制并形成條紋.值得注意的是, PWSS相和SWSS相的局域結構與硬核玻色系統中發現的平面波和條紋相十分類似[212?214], 這同樣可以歸因于成分內和成分間相互作用的競爭.

圖14 由 Rashba 類型 SOC((a), (b))和 Dresselhaus類型 SOC((c), (d))誘導產生的粒子流 j 和自旋的徑向磁化 Sz .其中顏色從藍到紅代表 S z 從小到大, 黑色箭頭代表環流方向 j .本圖中參數與圖12相同[200]Fig.14.Particle currents j and longitudinal magnetizations S z of the spin induced by Rashba spin-orbit coupling ( (a), (b)) and Dresselhaus spin-orbit coupling ((c), (d) ).S z and j are represented by the color map and black arrows, respectively.The colors ranging from blue to red represent the values from the minimum to the maximum.The parameters used here are same as those in Fig.12[200].

6.4 小 結

本節介紹了同時具有SOC和軟核長程相互作用的玻色氣體中可能出現的新奇超固體相.在此相中, 伴隨著粒子環流的出現, 手性對稱性將發生破缺.這意味著可以不通過旋轉或有效磁場, 就可以產生一個宏觀大小的有限角動量.可以通過調節SOC強度或原子間相互作用強度改變角動量的方向.此理論預測的手性超固體相 可以在有SOC和Rydberg綴飾的BEC中實現并觀測到.

7 結 論

本文介紹了在有自旋軌道耦合的超冷原子系統中的一些新研究進展.文章首先介紹了光腔里無相互作用的準一維費米氣體系統中存在的拓撲超輻射態.通過超輻射相變, 腔中光場將和驅動光共同誘導產生自旋軌道耦合效應, 并在能帶半滿處打開一個體能隙, 同時引發拓撲相變.通過計算可以得到體系在有效塞曼場中的穩態相圖和相圖中的精確臨界點.當光腔中有更多數量的原子時, 可以在實驗中更容易地觀測到此拓撲超輻射態和對應發生的相變.

然后討論了在有相互作用的準一維堿土金屬原子氣體中存在的對稱性保護拓撲態.通過分離此類原子中的軌道自由度和核自旋自由度, 并利用軌道 Feshbach共振, 可以構造不同狀態之間的SOC, 并實現自旋交換的相互作用.文章討論了這些參數對有相互作用的費米對稱性保護拓撲態的影響, 通過數值計算繪制出體系的相圖, 并刻畫了體系中存在的拓撲相變.

接下來研究了在有SU(3)自旋軌道耦合的玻色氣體中存在的自旋雙渦旋結構.研究發現SU(3)自旋軌道耦合和自旋相互作用對體系相圖有重要的影響.當存在有效鐵磁自旋相互作用時,SU(3)自旋軌道耦合將會在系統基態中引入三重簡并, 而當存在反鐵磁自旋相互作用時,SU(3)自旋軌道耦合將會破壞自旋玻色氣體中的一般相位規則, 同時將在體系中誘導產生自旋雙渦旋.

最后介紹了通過將SOC和軟核長程相互作用相結合, 誘導產生新奇超固相的理論研究.在此超固體相中, 伴隨著粒子環流的出現, 手性對稱性將發生破缺.這意味著可以不通過旋轉或有效磁場,就可以產生一個宏觀大小的有限角動量.通過調節SOC強度或原子間相互作用強度可以改變這個角動量的方向.

通過對上述問題的綜述, 我們展示了在冷原子系統中對人造自旋軌道耦合研究的一些新進展.和傳統凝聚態系統中的工作相比, 這些研究關注了具有耗散、軌道自由度、大自旋、或軟核長程相互作用的新穎系統, 體現了冷原子系統的特色, 并為理解自選軌道耦合效應開拓了新的思路.

最后, 嘗試對冷原子氣體中自旋軌道耦合的未來發展進行一定展望.首先, 一個十分有意義的研究方向是在實驗中實現各種其他新奇形式的SOC.其中特別值得關注的是各種類型的高維SOC, 以及可能由其誘導產生的各種拓撲物質態, 如二維和三維的拓撲絕緣體、Weyl半金屬、拓撲超導或超流相等等.第二, 將原子內態與其他自由度結合的SOC是另一個有趣的方向.無論是類堿土金屬原子(如Sr和Yb)中的電子軌道自由度, 還是外部運動的角動量自由度, 其與原子內態的相互耦合都會衍生出新的物 理, 或有助于發展新的測量操控手段.第三, 研究同時具有SOC和相互作用的強關聯拓撲系統是一個非常 重要, 同時也充滿挑戰的方向.在冷原子系統中, 通過結合人造SOC和Feshbach共振等調控技術, 我們 有望進行在其他體系中難以實現的量子模擬實驗, 并嘗試尋找由相互作用誘導的新奇量子態, 如拓撲超流、分數拓撲絕緣體等.最后, 一個同樣重要且有趣的方向, 是對量子非平衡系統中豐富的拓撲現象的研究.和固體物理材料相比, 冷原子氣體是一個天然的非平衡實驗系統.在極低的溫度下, 冷原子氣體本身就是一個同時具有加熱和各類耗散的非平衡體系.另外, 實驗中還可以通過激光耦合不同能級的方式實現對驅動和耗散的精細調節.這些特點既體現了冷原子系統的特色, 也為我們提供了研究非平衡動力學的重要平臺.