Boussinesq方程的Lax對、B?cklund變換、對稱群變換和Riccati展開相容性*

劉萍 徐恒睿 楊建榮

1) (電子科技大學中山學院電子信息學院, 中山 528402)

2) (電子科技大學物理學院, 成都 610054)

3) (上饒師范學院物理與電子信息學院, 上饒 334001)

Boussinesq方程是流體力學等領域一個非常重要的方程.本文推導了Boussinesq方程的Lax對.借助于截斷Painlevé展開, 得到了Boussinesq方程的自B?cklund變換, 以及Boussinesq方程和Schwarzian形式的Boussinesq方程之間的B?cklund變換.探討了Boussinesq方程的非局域對稱, 研究了Boussinesq方程的單參數群變換和單參數子群不變解.運用Riccati展開法研究了Boussinesq方程, 證明Boussinesq方程具有Riccati展開相容性, 得到了Boussinesq方程的孤立波-橢圓余弦波解.

專題：非線性物理

1 引 言

一般來講, Boussinesq方程可寫為

其中, 下角標x和t表示偏微分.Boussinesq方程可以用于描繪淺水波、等離子體、非線性晶格等眾多物理現象[1?5].

由于該方程應用廣泛, 一些特殊形式的或者修正的Boussinesq方程被推導出來研究.例如, “壞”Boussinesq方程(也叫不適定Boussinesq方程)的形式為

這個方程是在1872年由Boussinesq[1]提出來用于描繪淺水波問題的.Benny和 Luke[6]發現這個Boussinesq方程非線性弱散色現象的一般近似.“好”Boussinesq方程的形式為

這個方程是作為描繪弦的非線性振動模型提出來的, 也可以用于描繪非線性介質材料中的電磁波[7].一種修正的Boussinesq方程的形式為

這個方程也經常被稱為“改進的”Boussinesq方程[8],它由流體力學推導而來, 也可以用于描繪波在磁場中的傳播, 并取代“壞”Boussinesq方程.

很多不同形式的Boussinesq方程, 是方程(1)的特殊形式.本文旨在研究Boussinesq方程(1)的可積性、對稱性和嚴格解.在下文中, 如果沒有特殊說明, Boussinesq方程指的是方程 (1).論文結構如下: 在第2節中, 從一個簡化的Boussinesq方程的Lax對, 推導出Boussinesq方程(1)的一組Lax 對; 在第 3 節, 對 Boussinesq 方程 (1)進行截斷 的 Painlevé展 開 , 得 到 Boussinesq 方 程 的B?cklund變換; 第4節研究了Boussinesq方程的單參數群變換; 第5節討論了Boussinesq方程的全點李對稱性相似解; 第 6節應用 CRE(consistent Riccati expansion, CRE)方法證明了Boussinesq方程的CRE相容性.Boussinesq方程孤立波-周期波在第7節進行了討論; 第8節是本文的結論和討論.

2 Boussinesq方程的Lax對

當α=0 ,β=1 ,γ=1/3 時, 方程 (1) 退化成

為了將方程(1)和方程(5)的變量進行區分, 我們將方程(1)中的變量 {u,x,t} 對應地寫成方程(5)中 的 {v,χ,τ} .Weiss[9]通 過 研 究 方 程 (5)的painlevé性質, 推出了方程 (5)的一組 Lax 對, 其形式如下

方程(1)和方程(5)之間存在標度變換

結合方程(5)的Lax對(6)式以及標度變換, 可以得到方程(1)的Lax對.

定理1(Lax對定理)

Boussinesq方程(1)具有如下形式Lax對:

這里的l代表譜函數,j表示 {x,t} 的任意函數.

3 與截斷Painlevé展開相關聯的B?cklund變換

截斷Painlevé展開法, 是分析非線性系統最有效的方法之一[10?12].對 Boussinesq 方程 (1), 可將u展開成

這里的u0,u1,u2和f都是 {x,t} 的函數,f是奇異流函數.將(9)式代入到方程(1)中, 所得到的多項式中,f的所有不同階次的系數都應該為零.由f?6的系數為零, 可得到

由f?5的系數為零, 可得

由f?4的系數, 容易得到

將 (10)式–(12)式代入到f?3的系數中, 得

方程 (13)在 M?bious變換下, 保持形式不變, 因此被稱為Schwarzian形式的Boussinesq方程[9].

將(9)式—(13)式代到方程(1)中, 比較所得方程中f0的系數, 可發現u0也是 Boussinesq 方程的一個解, 這表示u=u0是Boussinesq方程的一個 自 B?cklund 變 換 .而 且 , 對 以 上 截 斷Painlevé展開進行總結, 可得到一個非自B?cklund變換.

定理2(B?cklund變換定理)

如果f是 Schwarzian形式的 Boussinesq方程 (13)的解, 那么

也是Boussinesq方程(1)的解.

定理3(B?cklund變換定理)

如果f是 Schwarzian形式的 Boussinesq方程 (13)的解, 那么

也是Boussinesq方程(1)的解.

4 單參數群變換

Boussinesq方程的對稱σu也相應地拓展為滿足下式的四分量對稱 {σu,σf,σg,σh} ,

對方程(16), 我們也可以研究它的全點李對稱.基于這個目的, 四分量對稱 {σu,σf,σg,σh} 應該滿足Boussinesq方程的線性化的非線性系統.按照點李對稱的方法, 經過計算可得總的對稱矢量為

各個對稱矢量為:

由對稱矢量(19)式, 可得到六個單參數不變子群:

從以上六個單參數不變子群, 可到到下列B?cklund變換定理.

定理4(單參數群變換)

如果{u(x,t),f(x,t),g(x,t),h(x,t)}是拓展的Boussinesq系統(16)的一組解, 則下列函數也是拓展的Boussinesq系統(16)的一組解,

5 全點李對稱相似解

對稱性理論是求解偏微分方程的一種有效系統的方法[13?19].從對稱矢量 (19)式, 不僅可以得到單參數不變子群和群不變解, 而且可以得到Boussinesq的相似解和約化方程.將約化方程的嚴格解和相似解相結合, 則可以得到所研究系統的嚴格解.可得到下列四組非平庸情況.

情況 1

在種情這況, 群不變量可寫為

相似解的形式為

情況 2

{σu,σf,σg,σh}包含C4, 而C4是與非局域對稱相關聯的, 那么如果令C4=0 , 則相似解會變得更加簡化.這樣, 相似解為:

與情況一相比, 時間和空間的對稱性都沒有改變,因此這種情況的群不變量與情況一相同, 仍為

將 (24b)式代入 (16d)式和 (16e)式, 則變量f和g變成:

將(24b)式代到(16c)式, 可以得到用和F表示的u的表達式, 將(24b)代入到(16b)式, 可以得到F滿足的約束方程.由于這兩個式子都很長,此處省略不寫.

情況 3

(18)式和(19)式說明空間x和時間t的對稱受到C1的影響.當C1=0 時, 群不變量x將比情況一和情況二的群不變量簡單.此時, 群不變量變為

相似解為:

其中F(ξ) 滿足

將(29b)式代到(16c)式, 可得到關于Boussinesq方程的下列B?cklund變換.

定理5 (B?cklund變換定理).

如果F滿足 (30)式, 則 Boussinesq方程的解為

情況 4

這種情況下, 拓展系統(16)的相似解為:

這里, 群不變量x為

將(32b)式代入到(16b)式, 可得到F(ξ) 滿足的約束方程.將(32b)式代入到 (16c)式, 則得到下列定理.

定理6(B?cklund變換定理).

如果F(ξ) 滿足 (32b)式, 則 Boussinesq 方程的解可以寫為

6 Boussinesq方程的CRE相容性

本節將通過 CRE (consistent Riccati expansion, CRE)方法來討論 Boussinesq方程的嚴格解[20].Riccati方程的形式為

這里的a0,a1和a2是任意常數.Riccati方程的嚴格解可寫為

其中,

對于一個偏微分系統

我們可假設它可以展開為

這里的R(w) 是 Riccati方程的嚴格解.將 (39)式代入到 (38) 式, 并令Ri(w) 的系數為零, 可得:

如果系統 (40)是自洽的, 則展開式 (39)式是“CRE”, 且非線性系統 (38)是“CRE”相容系統[20].

為了得到孤立波-周期波碰撞解, 可應用CRE方法.CRE方法可被用于證明一個系統是CRE相容系統, 并可用于尋求非線性系統的碰撞波解.對Boussinesq方程,u可展開成截斷展開的形式:

這里,u3,u4,u5和w都是x和t的函數,R(w) 是Riccati方程的一個解.

將(35)式和(41)式代入到方程(1)中, 并令R(w)所有階次的系數為零, 可得

這里w滿足

通過CRE和CRE相容性的定義, Boussinesq方程顯然是一個CRE相容系統.基于以上討論, 可得到如下定理:

定理7(CRE相容性定理)

Boussinesq方程是一個CRE相容系統.如果w是相容性條件(43)式的一個解, 則下列形式的u也是Boussinesq方程的一個解.

這里的R(w) 和q分別滿足(36)式和(37)式.

7 孤立波-周期波碰撞解

從Boussinesq方程的CRE性質, 可進一步研究Boussinesq方程的嚴格解.將(36)式代入到(44)式中可得

從(45)式可看到, 如果我們想知道u的具體形式, 那么需要先知道w的表達式.如果w具有如下形式:

這里k1,k2,ω1,ω2,a3,n和m是常數,Eπ是第三類不完全橢圓積分.將(46)式代入到(43)式中, 并令 s n(k2x+ω2t,m) 的所有不同階次的系數為零,可發現參數應該滿足:

這里a4=k1+a3k2.

將(46)式代入到(45)式中, 得:上式中的參數滿足(47)式或(48)式.

圖1和圖展示了滿足約束關系(47)的解(49)式.圖1 中的自由參數選為{n= 0.2,m=0.5,a1= 1,a3= 1,k1= 1,k2= 1,ω2=1,α= ?0.8,β=1}, 圖2中的自由參數選為{n= 0.2,m= 0.9,a1= 1,a3= 1,k1= 1,k2=1,ω2=1,α= ?0.8,β=1} .圖1 和圖2 展示了亮孤子和周期波的碰撞行為.圖3展示了圖1和圖2中u的密度函數, 圖3(a)對應圖1, 圖3(b)對應圖2.兩種情況的周期波和孤立波的方向是一致的, 而碰撞處的形狀則不相同.

圖1 滿足 (47)式的碰撞波解 (49)式.自由參數為{n = 0.2,m = 0.5, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 = 1, w2 = 1, a = –0.8,b = 1}Fig.1.The solution (49) with Formula (47).The free parameters are {n = 0.2, m = 0.5, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 =1, w2 = 1, a = –0.8, b = 1}.

圖4和圖5展示了滿足參數限制(48)式的碰撞波解(49)式, 里邊的周期波在扭結孤立波上運動, 而不是在常數背景上運動.圖4中的自由參數選為 {n= 0.4,a1= 1,a2= 1,a3= 2.2,k1= 1,k2= –0.22,ω2=1,α= ?400,β=80} , 其 中(48)式中的m選“+”; 圖5中的自由參數選為{n= 0.6,a1= 2,a2= 1,a3= 4,k1= 1,k2= –0.12,w2= 0.1,α=?14,β=6} , 其中 (48)式中的m選“–”.圖6展示了圖4和圖5中u的密度函數,圖6(a)對應圖4, 圖6(b)對應圖5.圖6清楚地展示了扭結孤立波和周期波的碰撞.

圖2 滿足 (47)式的碰撞波解 (49)式.自由參數為 {n =0.2, m = 0.9, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 = 1, w2 = 1, a =–0.8, b = 1}Fig.2.The solution (49) with Formula (47).The free parameters are {n = 0.2, m = 0.9, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 =1, w2 = 1, a = –0.8, b = 1}.

圖3 u 的密度函數圖.圖 (a)的參數與圖1 相同, 圖 (b)的參數與圖2 相同Fig.3.The density of u.The parameters of the Fig.(a) are the same as those of Figure 1 and the parameters of the Fig.(b) are the same as those of Figure 2.

圖4 參數關系滿足 (48)式的碰撞波解 (49)式的演化圖.自由參數為 {n = 0.4, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2.2, k1 = 1, k2 =–0.22, w2 = 1, a = –400, b = 80}Fig.4.The interaction solution (49) with parameter satisfying Formula (48).The free parameters are chosen as {n =0.4, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2.2, k1 = 1, k2 = –0.22, w2 = 1,a = –400, b = 80}.

圖5 參數關系滿足 (48)式的碰撞波解 (49)式.自由參數為{n = 0.6, a1 = 2, a2 = 1, a3 = 4, k1 = 1, k2 = –0.12, w2 =0.1, a = –14, b = 6}Fig.5.The interaction solution (49) with parameter satisfying Formula (48).The free parameters are selected as {n =0.6, a1 = 2, a2 = 1, a3 = 4, k1 = 1, k2 = –0.12, w2 = 0.1,a = –14, b = 6}.

圖6 u 的密度函數圖.圖 (a)對應圖4, 圖 (b)對應圖5Fig.6.The density of u.The Fig.(a) is related to Fig.4 and the Fig.(b) is corresponding to Fig.5.

8 總結和討論

本文推導了Boussinesq方程的Lax對, 說明Boussinesq方程是 Lax可積模型.運用截斷Painlevé展開法研究了 Boussinesq方程, 得到了Boussinesq方 程 的 自 B?cklund變 換 , 以 及Boussinesq方 程 和 Schwarzian形 式 的Boussinesq方程之間的非自B?cklund變換.研究了Boussinesq方程的全點李對稱, 得到了單參數群變換和單參數子群不變解.運用CRE方法研究了Boussinesq方程, 證明了Boussinesq方程是一個CRE相容模型, 得到了Boussinesq方程的孤立波-橢圓余弦波碰撞解.Boussinesq方程廣泛地應用于描繪流體動力學、電磁學、等離子體、非線性晶格等物理現象.它作為一個著名的孤立子方程,各種各樣的激發模式, 以及它在各種物理情景中的應用, 值得不斷深入研究.

感謝樓森岳教授和任博博士的寶貴討論.