玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中的環(huán)狀暗孤子動(dòng)力學(xué)*

郭慧 王雅君 王林雪 張曉斐?

1) (中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710600)

2) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院, 北京 100049)

3) (陜西科技大學(xué)文理學(xué)院, 西安 710021)

環(huán)狀暗孤子最早是在非線(xiàn)性光學(xué)系統(tǒng)中理論預(yù)言并實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的一種二維孤子類(lèi)型.跟通常的二維孤子(如條紋孤子)相比, 環(huán)狀暗孤子具有更好的穩(wěn)定性和更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為.玻色-愛(ài)因斯坦凝聚由于其高度可調(diào)控性為研究環(huán)狀暗孤子提供了一個(gè)全新的平臺(tái).本文結(jié)合玻色-愛(ài)因斯坦凝聚和孤子研究的現(xiàn)狀, 綜述玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中環(huán)狀暗孤子的解析解、穩(wěn)定性調(diào)控及其衰變動(dòng)力學(xué)等方面的研究進(jìn)展.首先介紹了一套變換方法將均勻系統(tǒng)中非線(xiàn)性系數(shù)不隨時(shí)間變化的環(huán)狀暗孤子解析解推廣到諧振子外勢(shì)下非線(xiàn)性系數(shù)隨時(shí)間變化的環(huán)狀暗孤子解析解; 然后討論在形變擾動(dòng)下環(huán)狀暗孤子的穩(wěn)定性相圖, 并介紹了如何利用周期調(diào)制的非線(xiàn)性來(lái)增強(qiáng)環(huán)狀暗孤子的穩(wěn)定性; 此外, 還重點(diǎn)討論了環(huán)狀暗孤子衰變導(dǎo)致的渦旋極子動(dòng)力學(xué)以及斑圖形成.

專(zhuān)題：非線(xiàn)性物理

1 引 言

孤子是一種存在于非線(xiàn)性系統(tǒng)中的奇異拓?fù)浼ぐl(fā).孤子的概念最早是在1965年由Zabusky和 Kruskal[1]在研究Korteweg-de Vries方程時(shí)提出的.穩(wěn)定的孤子在傳播過(guò)程中可以保持形狀、幅度和速度不變.孤子廣泛存在于經(jīng)典和量子流體、非線(xiàn)性光學(xué)、等離子體等各種非線(xiàn)性系統(tǒng)中[2,3],引起了不同領(lǐng)域科學(xué)家的廣泛關(guān)注[4?10].自從1995年超冷原子玻色-愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)[11?14]以來(lái), BEC中的孤子性質(zhì)及其動(dòng)力學(xué)成為冷原子物理領(lǐng)域的重要課題.跟其他非線(xiàn)性系統(tǒng)(如經(jīng)典流體等)相比, BEC具有高度可操控性, 可以通過(guò)光場(chǎng)、磁場(chǎng)、電場(chǎng)跟冷原子耦合來(lái)改變BEC的幾何結(jié)構(gòu)、維度、外勢(shì)以及相互作用等[15?21],從而為孤子的理論和實(shí)驗(yàn)提供了優(yōu)越的平臺(tái), 并為孤子研究注入了新的活力[2,22?25].

BEC中的孤子通常可以分為亮孤子和暗孤子.所謂亮孤子是指在BEC背景上激發(fā)的穩(wěn)定的局域密度凸起結(jié)構(gòu), 而暗孤子是指在BEC背景上激發(fā)的穩(wěn)定的局域密度凹陷結(jié)構(gòu).BEC中是否存在穩(wěn)定的亮孤子或者暗孤子一般取決于原子之間的相互作用.對(duì)于吸引相互作用的系統(tǒng)一般存在亮孤子, 而對(duì)于排斥相互作用的系統(tǒng)一般存在暗孤子.早在BEC實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)以前, 科學(xué)家已經(jīng)從理論上預(yù)言了該系統(tǒng)中可能存在穩(wěn)定的孤子[26].1999年Denschlag等[27]和Sanpera等[28]利用相位刻印技術(shù) (phase imprinting technique)在超冷23Na和87Rb原子的BEC中觀(guān)察到暗孤子, 標(biāo)志著孤子這一非線(xiàn)性現(xiàn)象在BEC系統(tǒng)中的首次實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn).兩個(gè)研究組分別用了不同的原子種類(lèi), 即23Na和87Rb.由于這兩種原子之間的相互作用都是排斥相互作用, 因而亮孤子一般是不穩(wěn)定的.但當(dāng)排斥相互作用和孤子的相位梯度達(dá)到某種平衡時(shí), 系統(tǒng)中允許存在穩(wěn)定的暗孤子.隨著Feshbach共振技術(shù)在超冷原子 BEC中的廣泛應(yīng)用[19,29,30], 2002年Strecker等[31]和 Khaykovich等[32]科學(xué)家利用Feshbach共振技術(shù)調(diào)節(jié)原子間的相互作用從排斥到吸引, 首次在7Li原子BEC系統(tǒng)中實(shí)驗(yàn)觀(guān)察到亮孤子.之后 Cornish等[33]同樣利用Feshbach共振技術(shù), 在超冷85Rb原子BEC系統(tǒng)中實(shí)驗(yàn)觀(guān)察到亮孤子.

在BEC系統(tǒng)中, 一般認(rèn)為一維孤子是可以穩(wěn)定存在的, 而二維及以上系統(tǒng)的孤子卻很難穩(wěn)定.隨著一維孤子在BEC中的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)[27,28,31,32],BEC中高維孤子的產(chǎn)生、穩(wěn)定性及其衰變動(dòng)力學(xué)成為當(dāng)前科學(xué)家關(guān)注的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題[34].以暗孤子為例, 在BEC中產(chǎn)生物質(zhì)波暗孤子需要具備如下幾個(gè)特點(diǎn): 首先在原子背景上具有局部的密度最小值, 而且在局部密度最小值處波函數(shù)的相位有一個(gè)突變, 與此同時(shí)局域密度最小值的幅度和形狀不發(fā)生改變[28,35].研究發(fā)現(xiàn)暗孤子兩側(cè)的相位對(duì)暗孤子的速度和深度起了決定性作用[36].特別地, 當(dāng)暗孤子兩側(cè)的相位差為 π 時(shí), 暗孤子的深度為 1 00% ,即孤子中心處沒(méi)有粒子, 我們稱(chēng)之為全暗孤子或黑孤子.此時(shí)孤子的速度為零.暗孤子的這一特點(diǎn)以及BEC中原子分布的不均勻性, 使得在二維BEC系統(tǒng)中, 條紋暗孤子很不穩(wěn)定, 極易受到橫向擾動(dòng)的影響, 表現(xiàn)出蛇形(snake)不穩(wěn)定性[37,38],最終衰變?yōu)闇u旋對(duì)[39].Dutton等[40]利用慢光技術(shù) (slow light technique)在 BEC中引入密度缺陷, 在密度缺陷的衰變過(guò)程中產(chǎn)生了條紋暗孤子.他們進(jìn)一步觀(guān)察到條紋暗孤子的蛇形不穩(wěn)定性, 以及從條紋暗孤子衰變成渦旋的動(dòng)力學(xué)過(guò)程.在三維BEC系統(tǒng)中, Anderson等[41]發(fā)現(xiàn)條紋暗孤子更加不穩(wěn)定, 會(huì)很快衰變成各種渦旋環(huán)結(jié)構(gòu).

隨著對(duì)暗孤子性質(zhì)理解的不斷深入[42], 人們逐漸認(rèn)識(shí)到在二維非線(xiàn)性均勻系統(tǒng)中, 條紋暗孤子的不穩(wěn)定性區(qū)域是由最大擾動(dòng)波數(shù)Qmax表征的[43].當(dāng)條紋暗孤子的長(zhǎng)度L<2π/Qmax時(shí), 條紋暗孤子的不穩(wěn)定性會(huì)被抑制[44].此時(shí)直的條紋暗孤子會(huì)發(fā)生彎曲, 進(jìn)而閉合成可以長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定存在的環(huán)狀暗孤子.環(huán)狀暗孤子最早是在非線(xiàn)性光學(xué)系統(tǒng)中理論預(yù)言[45,46]和實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的[47,48].在非線(xiàn)性光學(xué)系統(tǒng)中, 環(huán)狀暗孤子可以用于全光控制、光學(xué)開(kāi)關(guān)以及塊體介質(zhì)中光學(xué)信息傳輸通道的多路復(fù)用與分解[47].由于環(huán)狀暗孤子比一般的孤子如條紋暗孤子、塊狀(lump)暗孤子等具有更好的穩(wěn)定性和更豐富的動(dòng)力學(xué)性質(zhì), 因而引起了冷原子物理學(xué)家的關(guān)注[24,44,49?51].Theocharis等[44]最早在 BEC 中引入了環(huán)暗孤子的概念, 并討論了BEC中環(huán)狀暗孤子的解析解、穩(wěn)定性以及動(dòng)力學(xué)性質(zhì).他們發(fā)現(xiàn)由于環(huán)狀暗孤子特殊的對(duì)稱(chēng)性質(zhì), 使得即使在諧振子外勢(shì)下, 密度不均勻的BEC系統(tǒng)中, 環(huán)狀暗孤子在某些條件下仍然可以較長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定存在.環(huán)狀暗孤子可用于產(chǎn)生量子湍流, 進(jìn)而理解量子湍流的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)及其內(nèi)在的物理機(jī)理[52?54].利用環(huán)狀暗孤子衰變可以產(chǎn)生各種類(lèi)型的渦旋結(jié)構(gòu)和斑圖, 從而為深入研究渦旋動(dòng)力學(xué)和斑圖動(dòng)力學(xué)等各類(lèi)非線(xiàn)性現(xiàn)象提供新的技術(shù)手段和思路.在負(fù)質(zhì)量流體[55]、人造規(guī)范系統(tǒng)[21,56]、SU(3)自旋軌道耦合[57]等特殊量子體系中研究環(huán)狀暗孤子的性質(zhì), 還有望發(fā)現(xiàn)新的量子流體動(dòng)力學(xué)規(guī)律, 為設(shè)計(jì)各種新的拓?fù)涔δ懿牧咸峁├碚撘罁?jù).因此, 在量子流體系統(tǒng)中研究環(huán)狀暗孤子的基本性質(zhì)和動(dòng)力學(xué)行為具有非常重要的意義.

本文旨在結(jié)合BEC和孤子研究的現(xiàn)狀, 綜述BEC中環(huán)狀暗孤子的解析解、穩(wěn)定性操控及其衰變動(dòng)力學(xué)等方面的相關(guān)研究進(jìn)展.第二部分針對(duì)BEC原子一般束縛在諧振子勢(shì)阱中, 從而使得系統(tǒng)具有密度分布不均勻這一完全不同于非線(xiàn)性光學(xué)均勻系統(tǒng)的特點(diǎn), 首先介紹了一種處理諧振子束縛系統(tǒng)中精確環(huán)狀暗孤子解的變換方法, 然后將該方法推廣到原子間相互作用隨時(shí)間變化的系統(tǒng).這一工作進(jìn)一步建立了非均勻的BEC系統(tǒng)跟均勻的非線(xiàn)性光學(xué)系統(tǒng)之間的密切聯(lián)系, 為孤子問(wèn)題的解析分析開(kāi)辟了新的道路.第三部分致力于討論BEC系統(tǒng)中環(huán)狀暗孤子的穩(wěn)定性.鑒于先前研究中僅討論了橫向擾動(dòng)對(duì)環(huán)狀暗孤子的影響, 考慮到實(shí)際的實(shí)驗(yàn)情況, 重點(diǎn)討論了環(huán)狀暗孤子形狀的微小形變對(duì)環(huán)狀暗孤子穩(wěn)定性的影響.通過(guò)數(shù)值模擬計(jì)算, 得到了環(huán)狀暗孤子關(guān)于橢圓偏心率和深度的穩(wěn)定性相圖.結(jié)果表明較淺的孤子可以以較大的偏心率穩(wěn)定存在.我們還將亮孤子研究中廣泛應(yīng)用的Feshbach共振技術(shù), 引入到環(huán)狀暗孤子的穩(wěn)定性操控.理論預(yù)言利用Feshbach共振技術(shù)周期性調(diào)節(jié)BEC原子間的相互作用, 可以在同等條件下極大地延長(zhǎng)環(huán)狀暗孤子的壽命.環(huán)暗孤子除了可以在一定程度上克服條紋暗孤子遭遇的蛇形不穩(wěn)定性之外, 還在其不穩(wěn)定區(qū)域表現(xiàn)出豐富的衰變動(dòng)力學(xué).第四部分將討論BEC系統(tǒng)中環(huán)狀暗孤子衰變?yōu)闇u旋對(duì)以及渦旋在諧振子束縛的BEC系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律, 還將說(shuō)明利用環(huán)狀暗孤子衰變引起的自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺, 通過(guò)周期性調(diào)節(jié)原子間的相互作用可以在BEC產(chǎn)生各種斑圖結(jié)構(gòu).最后對(duì)BEC中環(huán)狀暗孤子的相關(guān)研究進(jìn)行了簡(jiǎn)單的總結(jié)和展望.

2 相互作用可調(diào)的BEC中環(huán)狀暗孤子的解析解

一般來(lái)說(shuō), BEC系統(tǒng)中的相互作用是不隨時(shí)間和空間變化的.但隨著Feshbach共振技術(shù)的發(fā)展, 科學(xué)家已經(jīng)可以對(duì)BEC系統(tǒng)中的相互作用強(qiáng)度甚至正負(fù)進(jìn)行調(diào)節(jié).目前為止, 科學(xué)家已經(jīng)相繼發(fā)現(xiàn)了磁Feshbach共振[29,30]、光Feshbach共振[58,59]、束縛誘導(dǎo)的共振[60,61]以及軌道Feshbach共振[62,63]等.這些類(lèi)型的Feshbach共振技術(shù)為調(diào)節(jié)BEC中的相互作用提供了有力工具.利用Feshbach共振相關(guān)技術(shù), 科學(xué)家已經(jīng)理論預(yù)言和實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了各種隨時(shí)間[31,64?66]和空間[67,68]變化的原子間相互作用.因而, 在BEC系統(tǒng)中研究相互作用隨時(shí)間變化的孤子解具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

二維諧振子外勢(shì)中相互作用隨時(shí)間變化的BEC的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可由如下非線(xiàn)性薛定諤方程描述[51]

跟一般的非線(xiàn)性光學(xué)系統(tǒng)相比, 求解BEC中環(huán)狀暗孤子解的一個(gè)困難是諧振子外勢(shì)的存在.當(dāng)沒(méi)有諧振子外勢(shì)即?=0 時(shí), 根據(jù)環(huán)狀暗孤子的對(duì)稱(chēng)性,系統(tǒng)可以表示為如下形式:

利用微擾方法在小振幅近似下, 方程(2)可以變換到著名的CKdV方程[45,46].利用CKdV方程的解析解[69?74], 可以間接得出方程(2)的環(huán)狀暗孤子解析解.當(dāng)存在諧振子外勢(shì)即?0 時(shí), Theocharis等[44]討論了相互作用為常數(shù)時(shí), 系統(tǒng)可能存在的環(huán)狀暗孤子解.

下面介紹一套變換方法來(lái)求解相互作用隨時(shí)間變化的BEC系統(tǒng)的環(huán)狀暗孤子解析解[51].首先,將方程(1)做如下變換:

假設(shè)R(r,t) ,T(t) ,α(r,t) 和β(t) 為實(shí)函數(shù), 并且滿(mǎn)足

在該變換下方程(2)的所有解析解都可以轉(zhuǎn)化為方程(1)的解析解.這就在非線(xiàn)性光學(xué)均勻系統(tǒng)和非均勻BEC系統(tǒng)之間建立了一個(gè)橋梁.利用這一變換關(guān)系, 在其中一個(gè)系統(tǒng)中得到的相關(guān)結(jié)果, 都可以在另一個(gè)系統(tǒng)中找到對(duì)應(yīng), 從而為研究非線(xiàn)性光學(xué)和BEC動(dòng)力學(xué)提供新的思路.

該變換方法還可以推廣到更為一般形式的非線(xiàn)性薛定諤方程[51]

其中需滿(mǎn)足g(t)∝D(t) .對(duì)于BEC系統(tǒng)來(lái)說(shuō), 因?yàn)镈(t) 為常數(shù), 所以此時(shí)相互作用也必須為常數(shù).因而方程(9)轉(zhuǎn)化為諧振子外勢(shì)束縛強(qiáng)度隨時(shí)間變化的情形

利用方程(10), 可以求解諧振子束縛強(qiáng)度隨時(shí)間變化的BEC系統(tǒng)的環(huán)狀暗孤子解析解.

需要特別強(qiáng)調(diào)的是, 該解析方法只是在小振幅近似下才能成立.所以對(duì)應(yīng)于BEC系統(tǒng), 就要求得到的環(huán)狀暗孤子深度不能太深.對(duì)于深的環(huán)狀暗孤子, 目前尚無(wú)有效的解析處理方法, 需要借助數(shù)值模擬計(jì)算, 直接求解原始的非線(xiàn)性薛定諤方程(1).

3 BEC中環(huán)狀暗孤子的穩(wěn)定性

3.1 環(huán)狀暗孤子在形變擾動(dòng)下的穩(wěn)定性相圖

環(huán)狀暗孤子的穩(wěn)定性首先受到橫向擾動(dòng)的影響, 表現(xiàn)出蛇形不穩(wěn)定.Theocharis等[44]率先研究了橫向擾動(dòng)對(duì)BEC中環(huán)狀暗孤子穩(wěn)定性的影響,指出淺的環(huán)狀暗孤子可以不受蛇形不穩(wěn)定影響而長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定存在, 而深的環(huán)狀暗孤子將遭受蛇形不穩(wěn)定而衰變成環(huán)狀分布的渦旋陣列.考慮到真實(shí)的實(shí)驗(yàn)情況, 除了橫向擾動(dòng)之外, 環(huán)狀暗孤子還有可能受到包括徑向擾動(dòng)在內(nèi)的更為復(fù)雜形式的外部擾動(dòng).下面重點(diǎn)討論形變擾動(dòng)對(duì)環(huán)狀暗孤子穩(wěn)定性的影響.

環(huán)狀暗孤子在形變擾動(dòng)下的穩(wěn)定性可以通過(guò)數(shù)值求解非線(xiàn)性薛定諤方程(1)來(lái)進(jìn)行分析[51].首先選擇如下形式的環(huán)狀暗孤子解

3.2 基于Feshbach共振的環(huán)狀暗孤子穩(wěn)定性操控

圖1 形變擾動(dòng)下環(huán)狀暗孤子的穩(wěn)定性相圖[51]Fig.1.Stability phase diagram of ring dark solitons under deformation perturbation.

Feshbach共振技術(shù)在BEC孤子研究中扮演了重要的角色.實(shí)驗(yàn)上利用Feshbach技術(shù)不但可以產(chǎn)生孤子[31?33], 而且還可以用來(lái)調(diào)控孤子的穩(wěn)定性[75].最近, 利用Feshbach共振隨時(shí)間周期性改變?cè)娱g的相互作用引起了理論和實(shí)驗(yàn)學(xué)家的極大興趣[65,76?80].Saito 和 Ueda[78]以及 Abdullaev等[79]發(fā)現(xiàn)利用Feshbach共振調(diào)節(jié)原子間相互作用在吸引和排斥之間的快速振蕩, 可以在二維空間維持穩(wěn)定的物質(zhì)波亮孤子.Liang等[80]進(jìn)一步研究了在周期調(diào)控的原子間相互作用下, 物質(zhì)波亮孤子跟背景之間的原子數(shù)目交換規(guī)律.本節(jié)將從理論上討論如何利用Feshbach共振技術(shù)增強(qiáng)環(huán)狀暗孤子的穩(wěn)定性.

假設(shè)隨時(shí)間周期性振蕩的相互作用具有如下形式

方程(12)表明原子間的排斥相互作用強(qiáng)度在0?2之間周期性振蕩.計(jì)算結(jié)果表明[51]在某一振蕩頻率附近, 環(huán)狀暗孤子的穩(wěn)定性明顯增強(qiáng).即使對(duì)于較深的暗孤子, 在相互作用處于該振蕩頻率下, 仍然可以具有很長(zhǎng)的壽命.以環(huán)狀暗孤子深度cos?(0)=0.76為例, 通過(guò)上一節(jié)的討論, 我們知道環(huán)狀暗孤子在此深度下是極不穩(wěn)定的.通過(guò)數(shù)值模擬計(jì)算,得到了環(huán)暗孤子壽命隨相互作用振蕩頻率的變化情況, 如表1所列.可以發(fā)現(xiàn), 當(dāng)相互作用振蕩頻率在諧振子固有頻率?附近時(shí), 環(huán)暗孤子的壽命急劇增長(zhǎng); 當(dāng)相互作用的振蕩頻率遠(yuǎn)離該固有頻率時(shí), 環(huán)狀暗孤子的壽命迅速減小.這說(shuō)明環(huán)狀暗孤子壽命的增長(zhǎng)是由于相互作用的振蕩頻率跟諧振子的振蕩頻率發(fā)生共振引起的.

表1 環(huán)狀暗孤子壽命隨相互作用振蕩頻率的變化[51]Table 1.Life of the ring dark soliton as a function of the interaction oscillation frequency.

我們還發(fā)現(xiàn)當(dāng)相互作用振蕩頻率處于該諧振子振蕩頻率時(shí), 較淺的環(huán)狀暗孤子即使發(fā)生了很大的形變, 仍然可以長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定存在.例如, 計(jì)算了環(huán)狀暗孤子深度為 cos?(0)=0.6 , 形變引起的偏心率ec=0.4 時(shí)環(huán)狀暗孤子的壽命.計(jì)算結(jié)果表明, 當(dāng)相互作用為常數(shù)即g=1 時(shí), 環(huán)狀暗孤子的壽命小于 1 0ms .而當(dāng)相互作用以頻率?在g=1 附近振蕩, 即g=1?sin?t時(shí), 環(huán)狀暗孤子的壽命可以長(zhǎng)達(dá) 5 0ms .

4 環(huán)狀暗孤子衰變動(dòng)力學(xué)

當(dāng)環(huán)狀暗孤子處于不穩(wěn)定區(qū)域時(shí), 通常會(huì)在遭遇蛇形不穩(wěn)定下發(fā)生衰變[39,44], 導(dǎo)致各種類(lèi)型和數(shù)目的渦旋極子或者不同樣式的斑圖.從而建立了BEC中孤子和渦旋以及斑圖[81]等非線(xiàn)性現(xiàn)象之間的密切聯(lián)系.研究BEC中環(huán)狀暗孤子衰變引起的各種渦旋動(dòng)力學(xué)和斑圖形成有助于理解量子湍流[52,82,83]和各類(lèi)相關(guān)非線(xiàn)性現(xiàn)象的物理機(jī)理.

4.1 環(huán)狀暗孤子衰變與渦旋動(dòng)力學(xué)

4.1.1 單分量BEC中的環(huán)狀暗孤子衰變與渦旋動(dòng)力學(xué)

Theocharis等[44]最早研究了單分量BEC中環(huán)狀暗孤子的衰變動(dòng)力學(xué).他們發(fā)現(xiàn)較深的環(huán)狀暗孤子在橫向擾動(dòng)下將衰變?yōu)橛蓽u旋-反渦旋對(duì)構(gòu)成的環(huán)形分布的渦旋鏈.越深的環(huán)狀暗孤子將衰變出更多的渦旋.渦旋-反渦旋對(duì)的數(shù)目滿(mǎn)足某種規(guī)律,即總是4的倍數(shù), 并且長(zhǎng)時(shí)間演化后部分渦旋湮滅, 最后只剩下4個(gè)渦旋-反渦旋對(duì)可以長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定存在.與此同時(shí), 環(huán)暗孤子在BEC中衰變產(chǎn)生的渦旋團(tuán)簇不是固定不動(dòng)的, 而是以某種規(guī)律做周期性運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)的形式依賴(lài)于渦旋的個(gè)數(shù)和系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì).

接下來(lái)重點(diǎn)討論在形變擾動(dòng)下, 環(huán)狀暗孤子的衰變動(dòng)力學(xué).同樣選擇環(huán)狀暗孤子解(11)式作為初始態(tài)代入方程(1)進(jìn)行演化.特別地, 假設(shè)環(huán)狀暗孤子的深度為 cos?(0)=0.6 , 相互作用強(qiáng)度和諧振子束縛頻率固定在g=1 ,?=0.028 , 發(fā)生形變的偏心率為ec=0.4 .前邊的結(jié)果已經(jīng)表明當(dāng)不發(fā)生形變時(shí), 深度為 0 .6 的環(huán)狀暗孤子是相對(duì)穩(wěn)定的,因而接下來(lái)觀(guān)察到的孤子衰變主要是由形變引起的.數(shù)值模擬計(jì)算指出[51], 在環(huán)狀暗孤子發(fā)生形變時(shí)的衰變行為跟不發(fā)生形變時(shí)的衰變行為具有明顯的不同.在橢圓形變影響下, 環(huán)狀暗孤子衰變產(chǎn)生的渦旋-反渦旋對(duì)的數(shù)目不再是4的倍數(shù), 或2 的偶數(shù)倍, 而是 2 的奇數(shù)倍, 如圖2所示.這可以從橢圓形變擾動(dòng)打破了系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性來(lái)理解.渦旋個(gè)數(shù)的不同引起了不同的渦旋運(yùn)動(dòng)規(guī)律.對(duì)于圖2所示的兩個(gè)渦旋對(duì)的情況, 可以看到每個(gè)渦旋分別在 1 /4 圓周的扇形軌跡上做周期性運(yùn)動(dòng).而對(duì)于四個(gè)渦旋對(duì)的情況, 每個(gè)渦旋分別在 1 /8 圓周的扇形軌跡上做周期性運(yùn)動(dòng)[44].

環(huán)狀暗孤子在形變擾動(dòng)下的詳細(xì)衰變動(dòng)力學(xué)過(guò)程為[51]: 首先環(huán)狀暗孤子沿著徑向收縮到一個(gè)最小半徑Rmin, 然后在蛇形不穩(wěn)定性作用下迅速衰變?yōu)閮蓚€(gè)暗塊孤子; 這兩個(gè)暗塊孤子隨后沿著相反的方向遠(yuǎn)離BEC中心移動(dòng), 并隨著背景原子數(shù)密度的減小而劈裂為兩個(gè)渦旋極子, 渦旋極子繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng); 當(dāng)渦旋極子到達(dá)凝聚體邊界時(shí), 正負(fù)渦旋分開(kāi)并以相反的方向沿著凝聚體邊界做近似圓周運(yùn)動(dòng); 當(dāng)旋轉(zhuǎn)90°角后, 來(lái)自不同渦旋極子的渦旋相遇, 并重新組合成新的渦旋極子, 然后朝著B(niǎo)EC中心運(yùn)動(dòng).隨著背景原子數(shù)密度的增大, 渦旋極子中的渦旋間距逐漸減小, 重新融合成暗塊孤子, 并試圖恢復(fù)原來(lái)的環(huán)狀暗孤子狀態(tài); 當(dāng)?shù)竭_(dá)Rmin附近時(shí), 兩個(gè)暗塊速度降為0, 然后按照原來(lái)的路徑返回, 并周期性地沿著四個(gè)扇形邊界做往復(fù)運(yùn)動(dòng).值得注意的是, 在返回途中由于運(yùn)動(dòng)方向相反, 暗塊分裂成的渦旋極子中的兩個(gè)渦旋的旋轉(zhuǎn)方向也同時(shí)發(fā)生了反轉(zhuǎn).此外, 環(huán)狀暗孤子衰變形成的兩個(gè)渦旋極子的運(yùn)動(dòng)跟渦旋四極子在BEC中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有些類(lèi)似[84].

圖2 單分量BEC中形變擾動(dòng)下環(huán)狀暗孤子的衰變行為[51]Fig.2.Decay of the ring dark soliton under deformation perturbation in a single-component BEC.

4.1.2 兩分量BEC中的環(huán)狀暗孤子衰變與渦旋動(dòng)力學(xué)

當(dāng)BEC中的原子處于兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)時(shí), 系統(tǒng)是由兩個(gè)非線(xiàn)性薛定諤方程耦合的方程組來(lái)描述的, 一般具有如下形式:

在兩分量系統(tǒng)中, 孤子的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為兩種模式, 類(lèi)似于非線(xiàn)性光學(xué)中處于不同模式的矢量孤子[2].由于不同分量原子之間的相互碰撞, 使得處于不同分量的孤子可以相互耦合, 表現(xiàn)為更為豐富的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[85].

假設(shè)處于兩個(gè)不同分量的環(huán)狀暗孤子在初始時(shí)刻具有如下形式

圖3 兩分量BEC中相同深度環(huán)狀暗孤子的衰變行為[86]Fig.3.Decay of the ring dark solitons with the same depth in two-component BECs.

圖4 四組渦旋極子在兩分量BEC中的動(dòng)力學(xué)演化[86]Fig.4.Evolution of four vortex dipoles in two-component BECs.

當(dāng)將初始環(huán)狀暗孤子的深度增大為cos?1(0)=cos?2(0)=0.75時(shí), 系統(tǒng)表現(xiàn)出完全不同的環(huán)狀暗孤子衰變動(dòng)力學(xué)[86], 如圖3 和圖4 所示.首先, 由于深度的增加, 環(huán)狀暗孤子衰變生成了更多數(shù)目的渦旋極子.由圖3(b)可以看到共產(chǎn)生了6對(duì)渦旋極子, 這跟前邊單分量系統(tǒng)中提到的橢圓形變下,環(huán)狀暗孤子衰變成渦旋極子的個(gè)數(shù)總是2的奇數(shù)倍的結(jié)論一致.這些渦旋極子產(chǎn)生后, 分為兩組(每組三對(duì))分別沿著相反的方向朝BEC邊界上運(yùn)動(dòng); 在運(yùn)動(dòng)的同時(shí)同一組的渦旋極子之間逐漸散開(kāi), 形成一種三角結(jié)構(gòu), 如圖3(c)所示; 之后靠近邊緣的兩對(duì)渦旋極子分別貢獻(xiàn)一個(gè)渦旋而重組成一個(gè)新的渦旋極子; 新組的渦旋極子沿著B(niǎo)EC中心運(yùn)動(dòng), 當(dāng)?shù)竭_(dá)最小半徑Rmin處后原路返回, 并在到達(dá)BEC邊界后很快湮滅.剩下的4對(duì)渦旋極子可以在BEC中保持非常的壽命, 并以某種規(guī)律做周期性運(yùn)動(dòng), 如圖4所示.

當(dāng)沒(méi)有形變擾動(dòng)時(shí), 盡管開(kāi)始的環(huán)狀暗孤子衰變可能產(chǎn)生很多的渦旋極子(4的整數(shù)倍), 但最終只剩4對(duì)渦旋極子可以長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定存在[44].當(dāng)存在形變擾動(dòng)時(shí), 環(huán)狀暗孤子衰變最終生成的4對(duì)渦旋極子, 表現(xiàn)出跟沒(méi)有形變擾動(dòng)時(shí)完全不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.當(dāng)沒(méi)有形變擾動(dòng)時(shí), 四對(duì)渦旋極子的運(yùn)動(dòng)是同步的, 四組渦旋極子會(huì)在同一時(shí)刻發(fā)生重組, 并且每個(gè)渦旋都沿著 1 /8 的扇形邊界做周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)[44].當(dāng)存在形變擾動(dòng)時(shí), 四對(duì)渦旋極子分為運(yùn)動(dòng)不同步的兩組, 當(dāng)其中一組發(fā)生重組時(shí), 另外一組尚未發(fā)生重組, 兩組渦旋極子中的渦旋以相同的規(guī)律分別沿著 1 /4 圓的扇形邊界做周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng),如圖4所示.

當(dāng)兩分量BEC中的環(huán)狀暗孤子具有不相等的初始深度時(shí), 例如假設(shè) cos?1(0)=0.6 , cos?2(0)=0.75, 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)我們期待較深的環(huán)狀暗孤子將衰變出更多數(shù)目的渦旋.事實(shí)上, 在環(huán)狀暗孤子發(fā)生衰變的初期確實(shí)觀(guān)察到了兩個(gè)組分中環(huán)狀暗孤子不同的衰變行為, 如圖5(b)所示.但由于兩個(gè)組分之間的耦合作用, 較深的環(huán)狀暗孤子衰變成渦旋的數(shù)目被抑制, 最終導(dǎo)致衰變產(chǎn)生的渦旋數(shù)目跟cos?1(0)=cos?2(0)=0.6時(shí)相同, 如圖5(c)所示.由于初始衰變行為的不同, 本來(lái)兩個(gè)分量的渦旋運(yùn)動(dòng)應(yīng)該是不同步的, 但數(shù)值模擬結(jié)果顯示, 兩個(gè)分量的渦旋會(huì)在產(chǎn)生后很短的時(shí)間內(nèi)趨于同步, 如圖5(c)—圖5(g)所示, 這可以理解為兩分量之間原子相互碰撞耦合的結(jié)果.

兩分量BEC中環(huán)狀暗孤子衰變成渦旋后的動(dòng)力學(xué)行為跟單分量情況相比還有一個(gè)明顯的不同是渦旋在沿著扇形軌跡運(yùn)動(dòng)的同時(shí), 還伴隨著進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象[86,87].這是由于來(lái)自?xún)蓚€(gè)分量的渦旋一般是不相互重合的, 一個(gè)分量的渦旋核總是被另一個(gè)分量的原子填充, 形成所謂的半量子化渦旋[20,88].由于在同一位置附近, 來(lái)自?xún)蓚€(gè)分量的渦旋具有相同的旋轉(zhuǎn)方向, 在分量間原子的碰撞耦合作用下, 它們將繞著兩個(gè)渦旋的中間位置(即質(zhì)心處)沿渦旋自轉(zhuǎn)的同一方向作進(jìn)動(dòng).

圖5 兩分量BEC中不同深度環(huán)狀暗孤子的衰變行為[86]Fig.5.Decay of the ring dark solitons with different depths in two-component BECs.

4.2 環(huán)狀暗孤子衰變與斑圖形成

斑圖(pattern)是指空間上具有某種規(guī)律性的非均勻分布.在自然界中, 雖然不同系統(tǒng)所顯示的斑圖結(jié)構(gòu)無(wú)論從時(shí)空尺度還是從形成機(jī)制等方面都各不相同, 但他們?cè)谛螒B(tài)上都有一定的相似性.斑圖動(dòng)力學(xué)就是研究自然界中千變?nèi)f化的斑圖結(jié)構(gòu)的生長(zhǎng)與形成、競(jìng)爭(zhēng)與選擇、漸變與突變等的共性規(guī)律.斑圖動(dòng)力學(xué)作為非線(xiàn)性科學(xué)的一個(gè)重要研究方向[81], 目前已經(jīng)深入到非常廣泛的研究領(lǐng)域,例如光學(xué)[89]、流體力學(xué)[90]、等離子體物理[91]以及材料科學(xué)[92]等.BEC作為一種非線(xiàn)性多體系統(tǒng),為研究斑圖動(dòng)力學(xué)提供了高度可控的優(yōu)越平臺(tái)[93].

可以借助環(huán)狀暗孤子衰變引起的自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺, 通過(guò)周期性調(diào)控系統(tǒng)的非線(xiàn)性強(qiáng)度, 來(lái)實(shí)現(xiàn)各種有規(guī)律的斑圖結(jié)構(gòu).考慮兩分量的BEC, 并假設(shè)可以通過(guò)Feshbach共振等技術(shù)周期性調(diào)控原子間的相互作用.特別地, 固定組分內(nèi)部的相互作用強(qiáng)度, 而周期性地改變組分之間的相互作用強(qiáng)度.此時(shí), 非線(xiàn)性薛定諤方程組(13)式和(14)式中的非線(xiàn)性系數(shù)可表示為g11=g22= 1,g12=g21=1?sinωt.考慮方程(15)式和(16)式描述的環(huán)狀暗孤子, 并假設(shè)偏心率ec=0 .當(dāng)諧振子頻率?=0.028, 相互作用的周期調(diào)制頻率跟諧振子發(fā)生共振, 即ω=?, 初始時(shí)刻環(huán)狀暗孤子深度cos?1(0)=cos?2(0)=1, 半徑為R10=27.9 和R20=28.9時(shí), 環(huán)狀暗孤子的衰變行為如圖6和圖7所示[94].

最初環(huán)狀暗孤子沿著徑向做周期性振蕩, 并誘導(dǎo)了大量較淺的環(huán)狀暗孤子.隨著時(shí)間的演化,BEC邊緣的環(huán)狀暗孤子首先遭受蛇形不穩(wěn)定, 衰變?yōu)榘私切谓Y(jié)構(gòu), 如圖6(d)所示.這種環(huán)狀暗孤子的不穩(wěn)定性逐漸從BEC邊緣進(jìn)入到BEC內(nèi)部,最終在整個(gè)BEC中形成了隨時(shí)間不斷變化的斑圖結(jié)構(gòu), 如圖6(e)、圖6(f)和圖7所示.

圖6 周期調(diào)制相互作用系統(tǒng)中環(huán)狀暗孤子衰變引起的斑圖形成[94]Fig.6.Pattern formation induced by the decay of ring dark solitons in a system with periodically modulated interactions.

圖7 斑圖在周期調(diào)制相互作用系統(tǒng)中的演化[94]Fig.7.Evolution of the pattern in a system with periodically modulated interactions.

在兩分量BEC中, 兩分量的原子是相分離還是相混合一般由原子間相互作用強(qiáng)度決定[95?98].對(duì)于不隨時(shí)間變化的原子間相互作用, 當(dāng)g11g22時(shí), 系統(tǒng)表現(xiàn)為相分離, 此時(shí)兩分量中的原子密度分布在空間上是相互填充的.當(dāng)前考慮的系統(tǒng)相互作用g12是在0—2之間隨時(shí)間周期性變化的, 既不滿(mǎn)足又不滿(mǎn)足數(shù)值模擬結(jié)果表明: 在該條件下系統(tǒng)傾向于相分離, 兩個(gè)分量的原子相互在對(duì)方的低密度區(qū)域填充, 如圖6(d)—圖6(f)和圖7所示.

需要特別強(qiáng)調(diào)的是, 斑圖的形成跟系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性破缺有密切聯(lián)系.圖6和圖7中斑圖的形成依賴(lài)于環(huán)狀暗孤子的自發(fā)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性破缺.但是單純依靠環(huán)狀暗孤子的自發(fā)破缺只能得到有限數(shù)目的渦旋極子, 并不能得到斑圖結(jié)構(gòu).周期調(diào)制的非線(xiàn)性在斑圖形成過(guò)程中同樣扮演了重要角色.此外, 由于BEC具有多參數(shù)、高度可控的特點(diǎn), 利用環(huán)狀暗孤子的自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺性質(zhì), 結(jié)合對(duì)BEC其他相關(guān)參數(shù)的調(diào)控, 模擬量子體系中各種樣式的斑圖形成是一個(gè)非常有益的工作.

5 總結(jié)與展望

環(huán)狀暗孤子作為一種非線(xiàn)性激發(fā)跟渦旋、斑圖等非線(xiàn)性現(xiàn)象具有密切的聯(lián)系, 環(huán)狀暗孤子衰變過(guò)程中導(dǎo)致的各類(lèi)渦旋極子動(dòng)力學(xué)以及斑圖形成等正在引起非線(xiàn)性科學(xué)研究的廣泛關(guān)注.玻色-愛(ài)因斯坦凝聚作為一種高度可調(diào)控的非線(xiàn)性系統(tǒng), 為研究環(huán)狀暗孤子及其相關(guān)動(dòng)力學(xué)提供了優(yōu)越平臺(tái).最近, 超冷原子玻色-愛(ài)因斯坦凝聚領(lǐng)域取得了一些新的理論和實(shí)驗(yàn)進(jìn)展, 其中包括人造規(guī)范勢(shì)[56]、自旋軌道耦合[99]、量子液體[100]等.這些進(jìn)展也正在促進(jìn)孤子研究的突破[101], 例如理論上已經(jīng)預(yù)言自旋軌道耦合可以用于穩(wěn)定高維孤子[102,103].人造規(guī)范勢(shì)尤其是非阿貝爾規(guī)范勢(shì)在超冷原子氣體中的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)[21], 為研究和發(fā)現(xiàn)新的量子流體動(dòng)力學(xué)開(kāi)辟了道路.在不同規(guī)范勢(shì)作用下, 環(huán)狀暗孤子可能表現(xiàn)出各種新奇的動(dòng)力學(xué)行為.與此同時(shí), 通過(guò)設(shè)計(jì)合適的規(guī)范勢(shì)來(lái)增強(qiáng)環(huán)狀暗孤子的穩(wěn)定性也是一個(gè)非常有益的工作.本文討論了環(huán)狀暗孤子衰變導(dǎo)致的渦旋及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律, 最近的研究表明自旋軌道耦合也可以在超冷原子系統(tǒng)中誘導(dǎo)出各種豐富的渦旋結(jié)構(gòu)[57,93,104?109].因而在自旋軌道耦合作用下, 環(huán)狀暗孤子的衰變行為將發(fā)生明顯變化, 可能產(chǎn)生新的渦旋結(jié)構(gòu)和非傳統(tǒng)的渦旋運(yùn)動(dòng)規(guī)律.量子液體跟量子氣體相比, 一個(gè)明顯的不同是原子數(shù)密度發(fā)生了急劇增大[100].急劇增大的原子數(shù)密度可能對(duì)環(huán)狀暗孤子的穩(wěn)定性以及衰變動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生重要影響.在這些全新的非線(xiàn)性量子多體系統(tǒng)中、借助新的實(shí)驗(yàn)技術(shù)研究環(huán)狀暗孤子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、穩(wěn)定性以及相關(guān)的衰變動(dòng)力學(xué)將是一個(gè)重要的研究課題.