基本非線性波與調制不穩定性的精確對應*

段亮 劉沖 趙立臣 楊戰營?

1) (西北大學物理學院, 西安 710127)

2) (陜西省理論物理前沿重點實驗室, 西安 710069)

非線性波作為非線性動力學研究中的重要課題之一, 普遍存在于各種復雜物理系統中.理解非線性波的產生機制、確定它們的激發條件對于非線性波的實驗實現、動力學特征的探測和應用是至關重要的.本文簡要綜述了近年來非線性波的實驗和理論研究進展, 回顧了非線性波的產生機制.基于非線性可積模型中的嚴格解和線性穩定分析結果, 系統討論了如何建立基本非線性波與調制不穩定性的精確對應關系.詳細介紹了近來發現的擾動能量和相對相位在確定非線性波激發條件中的重要作用, 并提議了一組能夠確定非線性波激發條件的完備參數.基于完備的激發參數, 給出了多種基本非線性波的激發條件和相圖.這些結果有望用于實現多種局域波的可控激發, 并可以推廣到更多非線性系統中的激發相圖研究.

專題：非線性物理

1 引 言

非線性波是出現在非線性系統中的一類典型的激發結構[1,2], 它們廣泛存在于許多物理系統中,如水流體[3?5]、非線性光學[6?21]、等離子體[22,23]、原子束[24,25]、玻色- 愛因斯坦凝聚體[26?38]、毛細管[39]、鐵磁鏈[40?44]、金融系統[45?47]、超材料[48,49]、光力學[50]、PT 對稱系統[51,52]等.并且, 這些非線性波在很多領域都具有潛在的應用價值, 例如孤子干涉儀[53?56]、超連續譜的產生[57]、光頻梳的產生[58]、介觀貝爾態的制備[59]、高功率脈沖的制備[60,61]、利用孤子的抖動效應測量量子阱本征值[62]等.目前, 非線性波動力學的研究已經成為非線性物理科學中的一個重要的課題.

對于1+1維的可積系統而言, 目前已經發現的非線性波主要有四類, 分別是孤子、怪波、呼吸子和周期波.孤子是一種在演化過程中保持形狀不變的穩定局域化結構, 除了最早由Russell發現的亮孤子之外, 后來人們也得到了許多不同結構孤子激發, 包括暗孤子[63?65]、反暗孤子[66,67]、W 形孤子[68?71]和多峰孤子[72,73].此外也發現了一些呈周期分布并穩定演化的非線性波, 包括周期波和W形孤子鏈[72?74].除了穩定演化的結構之外還有幾類振幅隨著演化變化的非線性波包括怪波[75]、Akhmediev呼吸子[76]、Kuznetsov-Ma呼吸子[77,78]和Tajiri-Watanabe呼吸子[79](也被稱為一般呼吸子[80,81]或動態呼吸子[82]).最近的研究表明呼吸子碰撞也表現出諸多有趣的性質, 例如 superregular呼吸子[83?89]、呼吸子分子[90]、類棋盤干涉班圖[91]等.近期, 怪波的激發結構和產生機制也被廣泛討論[92?108], 常見的怪波激發結構有眼狀、反眼狀、四花瓣、以及扭曲的雙峰怪波等.不同結構的怪波之間還可以通過調節背景頻率或矢量場之間的相對振幅實現相互轉換[98].調制不穩定性可以用來定性理解怪波、呼吸子激發的產生, 近期人們進一步提議了一些更具體的激發機制來解釋怪波的產生機制, 如調制不穩定區的共振激發[109]或基帶調制不穩定性[110].這些更具體的激發機制理解可以用來基于線性穩定性分析初步判斷非線性系統中是否存在怪波激發.高階效應對怪波激發的影響也被廣泛討論[111?115].人們還進一步提議了基于呼吸子的碰撞可以激發高階怪波[116?118].

這些非線性波中亮孤子和暗孤子已經有了大量的實驗和理論研究并且已經有了廣泛的應用.然而怪波、呼吸子、平面波背景上的孤子和周期波等平面波背景上的非線性波從上個世紀70年代開始就陸續被給出.但是這些非線性波長期以來一直沒有被實驗上精確地觀測到, 相應的激發條件也不清楚.直到近年來, Kibler等[11,14]和 Dudley 等[12]分析了非線性薛定諤方程的Akhmediev呼吸子解、怪波解和Kuznetsov-Ma呼吸子解, 發現這幾種非線性波的激發由擾動頻率和擾動強度決定, 并給出了它們的激發條件.根據理論分析給出的激發條件, 他們通過輸入滿足相應條件的初態在實驗上分別實現了這幾種非線性波的激發.實驗結果與這幾種非線性波解析解所描述的結構符合得非常好.目前平面波背景上的基本非線性波除了幾種呼吸子和怪波, 其他非線性波例如反暗孤子、W形孤子、多峰孤子、周期波和W孤子鏈等都沒有被實驗實現, 并且決定它們激發的物理參數以及相應激發條件仍然不清楚.怪波和呼吸子的相關實驗結果說明非線性方程的解析解描述了非線性系統中一類基本的動力學過程.通過分析不同的非線性波解可以得到決定不同非線性激發的參數和相應激發條件,從而用滿足相應條件的非理想簡單形式的初態分布進行演化, 就可以得到對應的非線性波結構.非線性波的實驗實現對非線性波現象的深入理解、非線性波動力學性質的探測和應用是非常重要的.除了通過分析非線性波解析解得到非線性波的激發調制之外, 還可以分析非線性波的產生機制, 即分析不同非線性波的產生原因, 理解了非線性波的產生機制后自然就可以知道決定非線性波激發的參數以及相應的激發條件.因此本文主要介紹關于基本非線性波的產生機制及其與調制不穩定性的對應關系的相關研究, 并重點討論能夠確定非線性波激發條件的完備物理參數并給出基本非線性波的激發條件及相圖.這些結果將在很大程度上促進對多種非線性波的實驗觀測.

2 非線性波的產生機制及其在背景頻率和擾動頻率空間的相圖

目前普遍認為平面波背景上的非線性波的激發依賴于系統的調制不穩定性[12,76].調制不穩定性反應的是連續波背景上的擾動隨著演化的增長特征[119].在非線性光學中, 調制不穩定性在時域上表現的是弱擾動的增長與放大, 在頻域中調制不穩定性演化的初始階段反應的是頻譜旁帶的產生并經歷指數形式的增長, 能量從泵浦轉移到旁帶, 而隨后呈現出泵浦和多個旁帶之間的循環能量交換等復雜行為[120,121].最近的研究也已經證實調制不穩定性可以用來理解連續波背景上的非線性波的動力學, 如 Peregrine怪波、Akhmediev呼吸子、Kuznetsov-Ma呼吸子甚至是高階怪波的動力學特征.分析系統的調制不穩定性特征通常采用線性穩定性分析的方法.下面以非線性薛定諤方程為例簡單介紹線性穩定性分析的主要步驟.首先標準非線性薛定諤方程形式如下

參數z和t分別表示歸一化的距離和時間, |ψ|2表示光強.方程(1)存在如下的平面波解ψ0(t,z)=aeiθ(t,z), 其中θ(t,z)=kz+ωt, 這里a和ω分別表示平面波的振幅和頻率,k=a2?1/2ω2是平面波的波數.考慮對平面波解增加一個小擾動p(t,z) ,即ψ(t,z)=[a+p(t,z)]eiθ(t,z).將該式代入非線性薛定諤方程(1), 略去關于p(t,z) 的高次項, 并取擾動p(t,z)的最低階傅里葉模式,p(t,z)=f+ei(Kz+?t)+f?e?i(Kz+?t).這里K和?分別表示擾動的波數和頻率, 值得注意的是擾動后的波函數ψ(t,z) 中因子eiθ(t,z)已經提取出來, 實際的擾動形式應該是p(t,z)eiθ=p(t,z)ei(kz+ωt), 因此實際的擾動波數和擾動頻率分別是k±K和ω±?, 為了方便我們仍然將K和?稱為擾動波數和擾動頻率.f+和f?是傅里葉模式的振幅, 并且f+和f?遠小于背景振幅a.經過簡單計算可以得到擾動p(t,z) 的波數K和頻率?之間的色散關系:從色散關系可以看出, 對于 |?|? 2a, 波數K都是實數, 此時平面波在微擾下是穩定的.而K在|?|<2a時變為復數, 此時擾動p(t,z) 隨著演化指數增長, 也就是說平面波在擾動頻率?2a

值得注意的是, 在色散關系中, 波數K的虛部來自于根式當擾動頻率?=0 時, 根式仍然是個虛數, 只是在根式前的系數|?|=0導致波數K的虛部為零.此時K的虛部并不能真實反應系統的調制不穩定性特征.?=0 時,調制不穩定特征需要單獨求解.對于?=0 , 其擾動可以寫為[122]:這里?為實常數并且??1 .由于擾動頻率為零, 因此(z)不含有變量t.將該擾動形式代入到非線性薛定諤方程(1)中, 并略去?的二次及二次以上項, 然后求解方程可以得到=1+2ia2z.此時調制不穩定性增益可以定義為

另外需要注意的是, 分析系統調制不穩定性的方法—線性穩定性分析中為了能夠將擾動滿足的方程線性化要求擾動的振幅遠小于平面波背景的振幅, 因此該方法不適用于大振幅擾動的演化特征分析.對于小擾動, 初始擾動振幅較小, 隨著演化呈現指數形式的增長.當擾動振幅和背景振幅大小相當的時候, 擾動將進入非線性演化階段, 此時線性穩定性分析方法不再適用.系統非線性將對擾動演化起到主導作用使得擾動不能持續增長.雖然線性穩定性分析方法只能反應弱擾動的增長特征,但是其很好地反應系統中連續波背景上擾動演化的穩定性特征, 可以很好地揭示怪波和呼吸子的動力學行為.

最近Baronio等[100]基于兩組分耦合非線性薛定諤方程討論了怪波激發與調制不穩定性之間的對應關系.通過標準的線性穩定性分析方法, 得到系統調制不穩定增益分布如圖1所示.圖中彩色區域對應于調制不穩定區, 白色區域是調制不穩定性增益為零的區域, 即調制穩定區.圖1(a)和圖1(b)分別是調制不穩定性在擾動頻率?和相對背景頻率ω空間以及擾動頻率?和背景振幅a1空間的分布圖.Baronio等[100]將調制不穩定區域分為基頻帶調制不穩定區和通頻帶調制不穩定區, 其中基頻帶調制不穩定區定義為從擾動頻率?=0 處開始的調制不穩定區(圖1(a)和圖1(b)中黑色虛線以下的彩色區域), 而通頻帶定義為起始于非零擾動頻率處的調制不穩定區域(圖1(a)和圖1(b)中黑色虛線以上的彩色區域).通過分析耦合非線性薛定諤方程的怪波解的激發特征, 發現調制不穩定性只是怪波激發的必要不充分條件.也就是說, 有調制不穩定性不一定能夠激發怪波, 而有怪波激發系統一定有調制不穩定性.進一步他們證實怪波激發的充要條件是系統調制不穩定性有基頻帶, 并且怪波激發在基頻帶中擾動頻率?趨于零的位置.隨后該小組將相關的結果推廣到Fokas-Lenells系統和長短波共振系統都證實了同樣的結論[110,111,112].這些結果是關于怪波激發與調制不穩定性關系研究的一個重要突破, 然而這些結果中仍然存在一些問題沒有被解決, 例如: 1)他們僅僅給出了怪波激發與基頻帶調制不穩定性的關系, 而怪波產生的根本原因沒有給出解釋; 2)他們得到的基帶調制不穩定區中零頻擾動的增益為零, 而相關研究結果展示怪波激發在基帶調制不穩定區擾動頻率趨于零的位置, 這個結果似乎與調制不穩定性增益特征相矛盾; 3)如果一個系統中僅僅在擾動頻率?=0 處有調制不穩定性, 而在?=0 的兩側區域都是調制穩定區時, 則不能定義基頻帶, 那么此時是否能夠激發怪波, 也是不能回答的; 4)這些工作中都只分析了怪波與調制不穩定性的關系, 而呼吸子等其他非線性波與調制不穩定性的對應關系仍然不清楚.

圖1 自散焦的兩組分耦合非線性薛定諤系統的調制不穩定增益的分布 (a)調制不穩定增益在 ( ?,ω) 平面的分布, 綠色點狀曲線表示調制不穩定區的邊界; (b)調制不穩定性在 ( ?,a1) 平面的分布Fig.1.Modulation instability distributions of the defocusing two component coupled nonlinear Schr?dinger system:(a) Modulation instability distribution in the ( ?,ω) plane,green dot curves are the boundary of the modulation instability regime; (b) modulation instability distribution in the ( ?,a1) plane.

最近, 我們通過系統分析標準非線性薛定諤系統中調制不穩定性的分布與平面波背景上的基本非線性波(Peregrine怪波、Akhmediev呼吸子和Kuznetsov-Ma呼吸子)的對應關系, 建立了基本非線性激發與調制不穩定性增益分布之間的定量對應關系[109].特別地, 證實了怪波來自于平面波背景上調制不穩定區的共振擾動[109].非線性薛定諤方程平面波背景上各種類型的非線性波解已經被廣泛研究.所有的這些平面波上的解都可以寫為平面波和擾動部分線性疊加的形式, 即ψ=ψ0+ψp.ψ0和ψp分別為平面波解和描述擾動演化動力學的部分.做線性穩定性分析時, 平面波背景上加上擾動之后的形式ψ(t,z)=[a+p(t,z)]eiθ(t,z)也是一個平面波aeiθ和擾動peiθ的線性疊加.調制不穩定性反應的就是擾動peiθ演化的穩定性特征.因此可以通過調制不穩定性來理解平面波背景上非線性波的動力學特征.

在(3)式和(2)式中分別給出了擾動頻率0<|?|<2a和?=0 (共振擾動)時調制不穩定性增益G的表達式.從G的表達式可以看出, 標準非線性薛定諤系統的調制不穩定性依賴于平面波背景振幅a和擾動頻率?.由于非線性薛定諤系統滿足伽利略協變性, 因此其增益不依賴于背景頻率ω.但是在其他的非線性系統中例如Hirota系統[71,123]、Sasa-Satsuma系統[74,124]、四階非線性薛定諤系統[125]和五階非線性薛定諤系統[126]等廣義非線性薛定諤系統中, 由于伽利略協變性被破壞, 其調制不穩定性也依賴于背景頻率ω.文獻[109]是在背景振幅a和擾動頻率?參數空間討論非線性波與調制不穩定性對應關系的.然而考慮到非線性薛定諤方程(1)是無量綱化的模型, 其背景振幅a只是一個相對值,a的大小并不具有實際意義, 并且為了和在其他模型中討論非線性波與調制不穩定的形式一致, 這里分別在 (a,?) 空間和 (ω,?) 空間討論了兩者的對應關系.

圖2(a1)和圖2(b1)中分別給出調制不穩定性增益G在背景頻率ω和擾動頻率?參數平面的分布(背景振幅取a=1 )以及在背景振幅a和擾動頻率?參數平面的分布(背景頻率取ω=0 ).從圖中可以看出在 (ω,?) 平面, 調制不穩定性增益分布為帶狀結構, 其范圍為 ? 2a

從上面討論我們知道, 與系統調制不穩定性有關的三個參數分別是背景頻率ω、擾動頻率?和背景振幅a.因此要建立非線性波激發與調制不穩定性之間的關系, 需要分析不同類型非線性波解的這三個參數的范圍.背景頻率ω和背景振幅a在解中都有直接體現.對于呼吸子和怪波等非線性波, 其擾動部分的頻譜都不是單頻譜, 其擾動頻率定義為擾動部分在頻譜中強度最大值處所對應的頻率[109].然后根據不同非線性波解的背景頻率ω、擾動頻率?和背景振幅a的范圍即可建立其與調制不穩定性增益的對應關系.

非線性薛定諤方程中怪波、Akhmediev呼吸子和Kuznetsov-Ma呼吸子在調制不穩定增益平面分布的相圖見圖2.從圖中可以看出, Kuznetsov-Ma呼吸子激發在調制不穩定增益分布平面的共振線上 (?=0 )a=0 以外的區域.Akhmediev 呼吸子位于共振線兩側的調制不穩定區.另外, Akhmediev呼吸子在分布方向t的周期Tt=2π/|?| , 也就是說Akhmediev呼吸子的周期由初始的擾動頻率決定, 并且演化過程中擾動頻率保持不變.最近在一些數值和實驗工作中通過在平面波背景上加周期擾動的方法得到了Akhmediev呼吸子的激發, 并且Akhmediev呼吸子的周期就等于初始擾動信號的周期[12], 這些結果說明我們對非線性波擾動頻率的分析方法是合理的.對于不同擾動頻率, 調制不穩定性增益不同, 因此對于同樣的初始擾動振幅, 不同頻率的周期擾動激發出Akhmediev呼吸子的位置不同[12,127].并且我們注意到, 當擾動頻率?趨于調制不穩定區的邊界 ± 2a時, Akhmediev呼吸子的振幅趨于背景振幅.隨著擾動頻率從 ± 2a趨于 0 時, Akhmediev呼吸子的最大振幅逐漸增大,當擾動頻率等于零時, Akhmediev呼吸子將轉變為Peregrine怪波[11], 此時振幅達到最大, 為背景振幅的三倍.也就是說最大峰值和增益出現在共振線上.因此, 怪波是一種共振激發模式[109].

圖2 標準非線性薛定諤系統的調制不穩定增益分布和基本非線性波激發的相圖 (a1)和(b1)分別為調制不穩定增益在(ω,?)平面和 ( a,?) 平面的分布.“MI”和“MS”分別表示調制不穩定性和調制穩定性, 紅色虛線是共振線; (a2)和(b2)分別為基本非線性波在(a1)和(b1)中調制不穩定增益分布平面的相圖.“AB”,“RW”和“KM”分別為Akhmediev呼吸子、怪波和Kuznetsov-Ma呼吸子Fig.2.Modulation instability distributions and phase diagrams of fundamental nonlinear waves in standard nonlinear Schr?dinger system: (a1) and (b1) are the distributions of the modulation instability gain in the ( ω,?) plane and the ( a,?) , respectively.“MI”and “MS” denote modulation instability and modulation stability, respectively.the red dotted line is the resonance line; (a2) and(b2) are the phase diagrams of fundamental nonlinear waves on the modulation instability gain distribution planes correspond to(a1) and (b1), respectively."AB", "RW" and "KM" denote Akhmediev breather, rogue wave and Kuznetsov-Ma breather, respectively.

雖然線性穩定性分析方法本身具有一定局限性, 使得它并不能完全預測平面波背景上所有非線性激發類型的動力學特征.但是其對于Peregrine怪波和Akhmediev呼吸子動力學預測是非常準確的, 而且線性穩定性方法相比于求解方程解析解來說是非常簡單的, 因此通過線性穩定性分析方法可以很方便地預測不同系統中是否可以激發Peregrine怪波和Akhmediev呼吸子并可以給出對應的激發條件.此外, 線性穩定性分析方法也不依賴于方程的可積性, 因此在可積系統中建立呼吸子和怪波激發與調制不穩定性之間的對應關系也可以用來預測不可積系統中Peregrine怪波和Akhmediev呼吸子激發, 這對Peregrine怪波和Akhmediev呼吸子激發機制和在各個物理系統中實驗實現、可控激發和潛在應用是非常重要的.

目前研究發現基本怪波除了Peregrine怪波一峰兩谷的眼狀結構外, 還存在兩峰一谷的反眼狀結構以及具有兩峰兩谷的四花瓣結構[70,97,99,102].上面討論中已經證實了怪波來自于調制不穩定區的共振擾動, 這就意味著這三種怪波結構都激發在共振線上, 那么是什么參數決定了怪波結構的不同呢？之前研究已經證實反眼狀怪波和四花瓣怪波都只存在于耦合非線性系統中[70,97,99,102], 因此為了回答這個問題, Ling等[103]基于自聚焦任意N組分耦合非線性薛定諤系統分析了怪波時空結構的產生機制.N組分耦合非線性薛定諤方程如下:

其中Ψ=(ψ1,ψ2,...,ψN)T, T 和 ? 分別表示矩陣的轉置和厄米共軛.這個模型可以用來描述多模非線性光纖中光脈沖的傳輸[128]、多組分玻色-愛因斯坦凝聚體的演化[104,129,130]以及其他非線性耦合系統.在N=1 時, 這個模型將約化為標準非線性薛定諤方程 (1), 此時只存在眼狀 Peregrine怪波.在N>1的耦合系統中, 眼狀、反眼狀和四花瓣三種結構的怪波都可以存在, 并且不同結構之間可以相互轉換.最近N組分耦合非線性薛定諤系統中基本怪波解的一般求解方法已經被給出, 通過這個方法可以構造出不同結構基本怪波共存甚至是高階怪波共存的解[106].

為了理解基本怪波時空結構的產生機制, 首先分析N組分耦合非線性薛定諤系統(4)的調制不穩定性特征.該方程的平面波解如下N.aj和ωj是分別是第j組分平面波背景的振幅和頻率.在平面波背景上加上擾動后形式為ψj=ajeiθj[1+pj(t,z)], 這里pj(t,z) 表示第j個組分 的 小 擾 動, 其 形 式 為pj=fj+ei(Kz+?t)+fj?ei(Kz+?t)(fj+和fj?遠小于 1),K和?分別為擾動波數和頻率.利用線性穩定性分析方法, 可以很容易得到K和?之間的色散關系.前面已經證實, 怪波來自于共振擾動即?=0 .通過分析共振擾動的調制不穩定, 可以得到對于共振擾動的色散關系為然后通過分析方程(4)得到一般形式的基本怪波解在不同參數下的結構特征.通過與線性穩定性分析的結果對比發現基本怪波的結構由如下的判別式決定

這里KR和KI分別為擾動波數K的實部和虛部.當?13 時, 基本怪波為眼狀結構; 13

通過線性穩定性分析和解析解, 已經建立了呼吸子和怪波激發與調制不穩定性的對應關系, 并且解釋了怪波時空結構的產生機制[109].怪波和呼吸子都是背景上弱擾動調制不穩定放大的結果, 它們都激發在調制不穩定區.而在一個物理系統不僅有調制不穩定區也存在著調制穩定的區域.調制穩定區意味著在這些參數區域的弱擾動隨著演化并不會被放大而是穩定傳播, 這說明在調制穩定區應該存在穩定演化的孤子或周期波.那么在調制穩定區域是否一定有穩定演化的孤子或周期波激發呢？我們分析了用來描述飛秒量級光脈沖傳輸的具有高階效應的Sasa-Satsuma系統, 發現其調制不穩定帶中存在一小塊調制穩定區域(見圖3(a)), 并在這個調制穩定區域的共振線上得到了有理形式W形孤子激發, 這個W形孤子在弱噪聲下仍然可以保持穩定演化.特別地, 這個孤子的頻譜對應于超連續光譜[70].隨后在共振線上調制不穩定區與調制穩定區的臨界點(見圖3(a)中共振線上紫色圓點)處得到了一個小信號產生兩個W形孤子的獨特動力學[74,131].在初始階段一個小信號被調制不穩定放大, 隨著演化峰值逐漸增大, 達到最大峰值后劈裂為兩個穩定的W形孤子, 在W形孤子演化過程中呈現出調制穩定的特征.這個動力學過程顯著區別于怪波的不穩定特征和W形孤子的穩定特征, 同時包含了調制不穩定特征和調制穩定性特征.由于臨界點處于調制不穩定區和調制穩定區的交界位置, 其既不屬于調制不穩定區又不屬于調制穩定區, 但是又同時包含調制不穩定特征和調制穩定特征, 因此可以出現從弱信號放大然后劈裂出W形孤子的獨特動力學行為.隨后在標準非線性薛定諤系統和耦合非線性薛定諤系統中通過對系統的色散和非線性進行調制, 使得隨著演化調制不穩定性增益逐漸減小并過渡到調制穩定區, 也得到了弱信號放大后產生的孤子結構[132,133].但是兩者從弱信號產生穩定孤子的本質是不同的.

圖3 Sasa-Satsuma系統的調制不穩定增益分布和基本非線性波激發的相圖 (a) Sasa-Satsuma系統中調制不穩定增益在背景頻率 ω 和擾動頻率 ? 平面的分布.“MI”和“MS”分別表示調制不穩定和調制穩定, 黃顏色圓點為共振線上臨界點; (b)非線性波在調制不穩定增益分布平面的相圖.“AB”, “RW” 和“KM” 分別為 Akhmediev 呼吸子、怪波和 Kuznetsov-Ma 呼吸子; “WS”,“WST”, “AD”和Periodic wave分別表示W形孤子、W形孤子鏈、反暗孤子和周期波Fig.3.Modulation instability distributions and phase diagrams of fundamental nonlinear waves in Sasa-Satsuma system: (a) Distributions of the modulation instability gain in the background frequency ω and perturbation frequency ? plane.“MI” and “MS” denote modulation instability and modulation stability, respectively.The yellow dots are the critical points on the resonance line;(b) phase diagrams of nonlinear waves in the modulation instability gain distribution planes.“AB”, “RW” and “KM” denote Akhmediev breather, rogue wave and Kuznetsov-Ma breather, respectively; “WS”, “WST” and “AD” denote the W-shaped soliton,W-shaped soliton train and anti-dark soliton, respectively.

進一步, 我們在Sasa-Satsuma系統中也得到了反暗孤子、周期波、W形孤子鏈等非線性激發,并建立了這些非線性激發與調制不穩定性之間的對應關系[74], 其對應的相圖展示在圖3(b).從圖中可以看出, 怪波仍然來自于調制不穩定區的共振擾動, Kuznetsov-Ma呼吸子和Akhmediev呼吸子也都激發在調制不穩定區, Kuznetsov-Ma也激發在共振線上, 而Akhmediev呼吸子激發在共振線兩側的調制不穩定區(見圖3中紅色虛線和橙色虛線之間的區域).這些結果與標準非線性薛定諤系統中這幾種非線性波在調制不穩定增益分布平面的激發位置是類似的.然而, 與標準非線性薛定諤系統不同的是, 在Sasa-Satsuma系統中其調制不穩定帶中存在一個調制穩定區, 這也帶來了一些新的非線性激發.調制不穩定區與調制穩定區的邊界為形孤子和反暗孤子激發在共振線上的調制穩定區(圖3(b)中兩個黃顏色臨界點之間的紅色虛線).W形孤子鏈存在于共振線和調制不穩定帶邊界(?=±2a)之間的區域, 見圖3(b)中水平灰色虛線標記的調制穩定區.周期波位于直線?= ±2ω(見圖中灰色實線)之間的調制穩定區,見圖中豎直的灰色虛線標記區域.從圖中可以看出W形孤子、反暗孤子、W形孤子鏈和周期波都位于調制穩定區, 它們的動力學也證實它們的演化是穩定的.顯然線性穩定性分析也可以用來預測平面波背景上穩定演化的孤子和周期波激發.需要特別注意的是, 與標準非線性薛定諤系統類似, Sasa-Satsuma系統中Kuznetsov-Ma呼吸子和怪波也激發在同樣的位置.此外W形孤子和反暗孤子也存在于相同區域, 周期波與W形孤子鏈的激發區域有部分重合.這些結果說明決定系統調制不穩定特征的兩個參數背景頻率ω和擾動頻率?并不能完全決定非線性波的激發.

在另一種描述飛秒光脈沖傳輸模型—Hirota模型中[123], 我們也分析了其調制不穩定性,發現在調制不穩定帶中存在一條調制穩定線(見圖4(a)).并且發現當怪波從不穩定區趨于調制穩定線時, 怪波逐漸被拉長, 其演化方向局域性逐漸降低, 當達到穩定線位置時, 怪波完全轉換為有理W形孤子.并且怪波的局域性與調制不穩定增益G的倒數成正比[71].這個結果進一步加深了人們對調制不穩定性與非線性激發關系的理解, 隨后怪波與孤子之間的態轉化在其他系統中也被廣泛討論[134?136].隨后, 我們也在 Hirota 系統中發現了對稱和不對稱形式多峰孤子激發和反暗孤子、周期波等非線性激發, 并且給出了Akhmediev呼吸子和周期波, Kuznetsov-Ma呼吸子和反暗孤子與非有理W形孤子之間的轉換關系, 也系統給出了Hirota系統中非線性波激發在調制不穩定性增益平面的相圖[73](見圖4(b)).與標準非線性薛定諤系統[109]和 Sasa-Satsuma系 統[74]類 似, 怪 波 和Kuznetsov-Ma呼吸子激發在共振線上的不穩定區, Akhmediev呼吸子存在于共振線兩側調制不穩定區, 有理W形孤子、非有理W形孤子和反暗孤子都激發在共振線上的調制穩定區, 周期波位于共振線兩側調制穩定線上.特別地, 多峰孤子存在于圖中橙色“X”形區域, 這個區域既有調制不穩定區又有調制穩定區, 該結果與線性穩定性分析預測結果是矛盾的, 這是由線性穩定性分析自身局限性導致的.此外, 我們注意到在Hirota系統中非線性激發在 (ω,?) 空間的相圖中, 怪波和Kuznetsov-Ma呼吸子存在于同一位置, 有理W形孤子、非有理W形孤子和反暗孤子激發在同一區域, 多峰孤子和Akhmediev呼吸子的激發區域有部分重合.這些結果進一步證實了線性穩定性分析的局限性,也說明了僅僅通過背景頻率ω和擾動頻率?兩個參數并不能完全確定非線性波的激發條件.因此仍然需要引入新的物理參數來區分在背景頻率和擾動頻率空間共存的非線性波激發.

圖4 Hirota系統中的調制不穩定增益分布和基本非線性波激發的相圖 (a) Hirota系統中調制不穩定增益在背景頻率 ω 和擾動頻率 ? 平面的分布.“MI”和“MS”分別表示調制不穩定和調制穩定; (b)非線性波在調制不穩定增益分布平面的相圖.“AB”,“RW” 和“KM” 分別為 Akhmediev 呼吸子、怪波和 Kuznetsov-Ma 呼吸子; “WS”, “AD”, “PW”和“MPS”分別表示 W 形孤子、反暗孤子、周期波和多峰孤子Fig.4.Modulation instability distributions and phase diagrams of fundamental nonlinear waves in Hirota system; (a) Distributions of the modulation instability gain in the background frequency ω and perturbation frequency ? plane.“MI” and “MS” denote modulation instability and modulation stability, respectively; (b) phase diagrams of nonlinear waves in the modulation instability gain distribution planes.“AB”, “RW” and “KM” denote Akhmediev breather, rogue wave and Kuznetsov-Ma breather, respectively; “WS”, “AD”, “PW” and “MPS” denote the W-shaped soliton, anti-dark soliton, periodic wave and multi-peak soliton, respectively.

3 擾動能量在確定非線性波激發中的作用

在描述超短光脈沖在光纖中傳輸時, 需要考慮一些高階效應的影響.例如在描述飛秒脈沖在光纖中傳輸模型中需要考慮三階色散、自陡峭和延遲非線性效應等三階效應(Sasa-Satsuma系統[124]和Hirota系統[123]).最近一些實驗和理論研究顯示描述小于飛秒量級光脈沖在光纖中傳輸需要考慮一些四階效應[137].此外, 四階效應在各向異性海森堡鐵磁自旋鏈系統中也起到了重要作用[40,41,138].考慮一個同時具有三階和四階效應的非線性薛定諤模型[139?146]

通過線性穩定性分析方法可以得到四階非線性薛定諤系統的調制不穩定性增益為

共振擾動的調制不穩定性增益為

這里a和ω分別表示平面波解的振幅和頻率.調制不穩定增益的分布展示在圖5(a).顯然四階非線性薛定諤系統中調制不穩定性增益的分布特征與標準非線性薛定諤系統、Hirota系統和Sasa-Satsuma中分布都是不同的.在標準非線性薛定諤系統中調制不穩定帶中不存在調制穩定區, Hirota系統中調制不穩定帶內包含了一條調制穩定線, 在Sasa-Satsuma系統中, 調制不穩定帶中有一個調制穩定區域, 而在四階非線性薛定諤系統中, 在調制不穩定帶中存在一個調制穩定環[71,73,74,109].通常不同的調制不穩定增益分布會帶來不同的非線性激發結構, 因此自然可以期望在四階非線性系統中能夠得到與標準非線性薛定諤系統、Hirota系統和Sasa-Satsuma系統中不同的激發特征.

圖5 四階非線性薛定諤系統調制不穩定增益分布和基本非線性波激發的相圖 (a) 調制不穩定增益在背景頻率 ω 和擾動頻率? 平面的分布, “MI”和“MS” 分別表示調制不穩定性和調制穩定性; (b),(c) 基本非線性波在背景頻率 ω 和擾動頻率 ? 平面的相圖, “AB”, “RW”, “KM”、“PW”, “WST”, “WSr ”, “ W Snr ” 和“AD”分別為 Akhmediev 呼吸子、怪波、Kuznetsov-Ma 呼吸子、周期波、W形孤子鏈、有理的W形孤子、非有理的W形孤子和反暗孤子Fig.5.Modulation instability distributions and phase diagrams of fundamental nonlinear waves in fourth-order nonlinear Schr?dinger system: (a) Distributions of the modulation instability gain in the background frequency ω and perturbation frequency? plane.“MI” and “MS” denote modulation instability and modulation stability, respectively; (b), (c) phase diagrams of nonlinear waves in the background frequency ω and perturbation frequency ? plane.“AB”, “RW”, “KM”, “PW”, “WST”, “WSr ”, “WS W Snr ”and “AD” denote Akhmediev breather, rogue wave, Kuznetsov-Ma breather, periodic wave, W-shaped soliton train, rational W-shaped soliton, nonrational W-shaped soliton and anti-dark soliton, respectively.

通過Darboux變換方法可以求得方程(6)平面波背景上的非線性波解, 其中包括Kuznetsov-Ma呼吸子、非有理W形孤子、反暗孤子、Akhmediev呼吸子、W形孤子鏈、周期波、怪波和有理W形孤子八種基本非線性波.進一步通過分析各個非線性波背景頻率和擾動頻率的關系, 我們建立了其與調制不穩定性的對應關系[125], 這幾種非線性波在調制不穩定性增益分布平面的相圖見圖5(b)和圖5(c).從圖中可以看出, 與標準非線性薛定諤系統、Hirota系統和Sasa-Satsuma系統類似, 怪波仍然存在于共振線上的調制不穩定區, 有理W形孤子存在于共振線上的調制穩定區, Akhmediev呼吸子位于共振線兩側的調制不穩定區, W形孤子鏈和周期波激發在共振線兩側調制穩定環上, 并且它們的擾動頻率分別滿足|?|<2a(見圖5(b)中環形區域的紫色虛線部分和綠色實線部分).值得注意的是, 在四階非線性薛定諤系統中Kuznetsov-Ma呼吸子可以存在于共振線上所有區域, 非有理W形孤子和反暗孤子存在于共振線上兩個調制穩定點之外的調制不穩定區.這個結果與線性穩定性分析的預測相違背.需要注意的是, 這兩種孤子可以存在于調制穩定點兩側的調制不穩定區而不能存在于兩個調制穩定點之間的不穩定區域.特別地, 當四階非線性薛定諤系統(6) 中四階效應為零, 即γ=0 時, 四階非線性薛定諤系統變為Hirota系統, 此時這兩種孤子都存在于調制穩定區, 顯然四階效應對這兩種孤子存在于調制穩定區起到了重要作用.并且已經證實存在于調制不穩定區的反暗孤子和非有理W形孤子演化是穩定的.

為了進一步理解調制不穩定區反暗孤子和非有理W形孤子的激發特征, 引入有效擾動能量ε[125], 其定義為

這里有效擾動能量反應的是平面波背景加上擾動后能量相比于未加擾動時平面波背景aeiθ能量多出的部分.有效擾動能量ε>0 則說明加上擾動后有額外能量輸入;ε=0 則說明擾動并不帶來額外能量, 此時擾動演化過程中的能量完全由平面波背景轉化而來;ε<0 則意味著擾動時從背景提取出了一部分能量, 例如平面波背景上的暗孤子就可以看作是從平面波背景上除去了一部分能量.為了方便, 下面討論中將有效擾動能量簡稱為擾動能量.通過分析發現, 調制不穩定增益G0和孤子擾動能量平方滿足

這意味著反暗孤子和非有理W形孤子可以在調制不穩定區激發確實是擾動能量和調制不穩定增益平衡的結果.并且兩者平衡依賴于背景振幅a和四階效應系數γ.這也進一步解釋了在低于四階效應的非線性薛定諤系統, 例如標準非線性薛定諤系統和包含三階效應的非線性薛定諤系統中為什么沒有發現反暗孤子和非有理W形孤子存在于調制不穩定區的情況.

除了反暗孤子和非有理W形孤子存在于調制不穩定區這個與線性穩定性分析預測相違背的情況外, 還存在另外一種與線性穩定性分析預測不一致的情況, 即不穩定的Kuznetsov-Ma呼吸子可以在共振線上調制穩定點激發(見圖5(c)).這個結果在標準非線性薛定諤系統和具有三階效應的非線性薛定諤系統中并沒有發現, 因此這個現象也可能是由四階效應引起的.Kuznetsov-Ma呼吸子擾動能量不等于零.我們注意到Kuznetsov-Ma呼吸子擾動能量值與反暗孤子和非有理W形孤子的擾動能量的表達式相同, 但是Kuznetsov-Ma呼吸子需要滿足條件而反暗孤子和非有理W形孤子激發條件為上一節分析已經證明反暗孤子和非有理W形孤子激發條件意味著擾動能量和調制不穩定增益的平衡, 因此Kuznetsov-Ma呼吸子激發是擾動能量和調制不穩定增益沒有達到平衡的結果.最近, 我們進一步分析了Kuznetsov-Ma呼吸子的產生機制,發現Kuznetsov-Ma呼吸子是孤子和平面波之間的干涉和調制不穩定性共同作用的結果[147].

特別地, 通過計算發現在四階非線性薛定諤系統中, 除了反暗孤子、非有理 W形孤子和Kuznetsov-Ma呼吸子, 其他非線性波(怪波、有理W形孤子、Akhmediev呼吸子、周期波和W形孤子鏈)擾動能量都為零.另外, 盡管這些非線性波中有理W形孤子、周期波和W形孤子鏈都可以具有很大的擾動振幅, 但是這些擾動能量為零的非線性激發特征都與線性穩定性分析預期一致.例如怪波和Akhmediev呼吸子位于調制不穩定區, 有理W形孤子、周期波和W形孤子鏈激發在調制穩定區, 并且這些結論在其他系統中(非線性薛定諤系統、Hirota系統和Sasa-Satsuma系統等)依然成立.這些結果顯示線性穩定性分析不僅能夠適用于弱擾動演化動力學特征分析, 也適用于擾動能量為零的強擾動演化特征預測, 只是對具有非零擾動能量強擾動的演化特征預測失效.這個結果擴大了線性穩定性分析方法可能的適用范圍, 因此對于分析很大一類平面波背景上零擾動能量擾動的演化特征都有很大幫助.

通過引入擾動能量, 四階非線性系統中在背景頻率和擾動頻率空間共存的許多非線性波都可以被區分.例如在共振線上調制穩定點處共存的Kuznetsov-Ma呼吸子和有理W形孤子中,Kuznetsov-Ma呼吸子具有非零擾動能量, 而有理W形孤子擾動能量為零; 在共振線上調制不穩定區共存的四種非線性波: 怪波、Kuznetsov-Ma呼吸子、反暗孤子和非有理W形孤子中, 怪波擾動能量為零, Kuznetsov-Ma呼吸子、反暗孤子和非有理的W形孤子的擾動能量非零, 并且反暗孤子和非有理的W形孤子的擾動能量滿足條件

而Kuznetsov-Ma呼吸子擾動能量滿足條件

顯然擾動能量可以用來區分怪波、Kuznetsov-Ma呼吸子和反暗孤子與非有理W形孤子.然而由于反暗孤子和非有理W形孤子擾動能量相等,這兩種非線性波在背景頻率、擾動頻率和擾動能量參數空間仍然共存.此外, 通過擾動能量, 在標準非線性薛定諤系統、Hirota系統和Sasa-Satsuma系統中共存的許多非線性波也可以被區分.然而,與四階非線性薛定諤系統類似, 在Hirota系統和Sasa-Satsuma系統中共存的反暗孤子和非有理W形孤子通過擾動能量仍然不能區分; 并且在Sasa-Satsuma系統中出現共存的周期波和W形孤子鏈也不能通過擾動能量區分, 因為這兩者擾動能量都為零.顯然, 引入擾動能量后, 原來在背景頻率和擾動頻率共存在的許多非線性波都可以被區分, 但是仍然有個別非線性波在背景頻率、擾動頻率和擾動能量三個參數的空間共存.因此還需尋找其他物理參數來區分反暗孤子和非有理W形孤子以及周期波和W形孤子鏈.

4 相對相位在確定非線性波激發中的作用

為了尋找能夠區分反暗孤子和非有理W形孤子以及周期波和W形孤子鏈的物理參數, 通過Darboux變換方法重新構造了四階非線性薛定諤方程平面波背景上的解析解(見文獻[148]附錄).引入自由參數?后, 反暗孤子或非有理W形孤子解析表達式可以寫為

參數b為實常數并且滿足 |b|>a,εs為孤子擾動能量.這 里ψ+和ψ?以及φ+和φ?分別 對 應 于b>0和b<0 兩種情形, 由于 |b|>0 , 這里ψp±是一個正的實函數.因此參數φ±是一個相位因子, 它表示擾動部分和平面波背景之間的相對相位.顯然孤子解(11)式是平面波背景aeiθ和相對相位為φ±的擾動信號ψp±eiφ±eiθ的疊加.孤子解(11)式特征依賴于背景振幅a、背景頻率ω、擾動能量εs和相對相位φ±.因此為了分析不同相對相位值時孤子解(11)式所對應的孤子類型, 只需分析孤子強度分布|ψs|2極值點個數即可.經過計算發現, 當相對相位時, 解(11)式為反暗孤子;當 相 對 相 位時 , 解(11)式對應于非有理W形孤子.

引入相對相位后, 非有理W形孤子和反暗孤子的激發可以被區分.接下來討論相對相位對周期波和W形孤子鏈激發條件的影響.周期波和W形孤子鏈表達式可以寫為

這里γ0=?(t?vwpz) , 擾動頻率∈ (?2a,0)∪(0,2a)(|b|

另 外 , 當 擾 動 頻 率?趨 于 零 時 , 周 期 波 和W形孤子鏈周期趨于無窮大, 此時解(12)式轉化為有理W形孤子, 有理W形孤子峰值和谷值都依賴于相對相位.之前一些工作中得到的有理W形孤子峰值都是背景振幅的三倍, 而谷值恒等于零[71,72,73,125], 事實上這都是有理W形孤子相對相位為 π 時的特殊情形.此外, 有理W形孤子與相對相位的依賴關系與周期波和W形孤子鏈擾動頻率趨于零時的結果一致.顯然這三種激發在調制穩定區的非線性波激發特征依賴于擾動頻率和相對相位.

這些結果顯示，除了背景頻率、擾動頻率和擾動能量外, 相對相位在非線性波激發中也起著至關重要的作用.而對于隨著演化振幅變化的幾種非線性波, 例如 Kuznetsov-Ma 呼吸子、Akhmediev 呼吸子和怪波, 由于其在演化過程中相對相位隨著演化距離在不斷變化, 因此初始相對相位值并不會影響它們的激發特征.而對于反暗孤子、非有理W形孤子、周期波、W形孤子鏈和有理W形孤子等幾種穩定傳輸的非線性波, 在演化過程中它們的相對相位不隨演化距離變化, 其在任意位置的相對相位都等于初始相對相位, 因此相對相位會改變它們的激發結構.

通過引入相對相位, 在四階非線性薛定諤系統背景頻率、擾動頻率和擾動能量三個參數空間中共存的反暗孤子和非有理W形孤子的激發條件可以被區分.此時在標準非線性薛定諤系統、Hirota系統、Sasa-Satsuma系統和四階非線性薛定諤系統中平面波背景上常見的非線性波(Kuznetsov-Ma呼吸子、Akhmediev呼吸子、怪波、反暗孤子、非有理W形孤子、有理W形孤子、周期波和W形孤子鏈)在背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位四個參數空間中可以被完全區分開, 不再有共存情況.也就是說背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位這四個參數是一組能夠確定平面波背景上基本非線性波激發類型的完備參數.

5 基本非線性波的激發條件和相圖

從前兩節的討論可以看到, 背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位四個參數可以用來確定平面波背景上基本非線性波的激發條件.然而這四個參數對平面波背景上的Tajiri-Watanabe呼吸子和多峰孤子激發條件的影響仍未被討論.為了能夠完整地給出平面波背景上基本非線性波的激發條件, 需要分析這四個物理參數對Tajiri-Watanabe呼吸子和多峰孤子激發條件的影響.通過前幾節的分析方法可以很容易給出Tajiri-Watanabe呼吸子和多峰孤子與背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位這四個參數之間的依賴關系.通過分析我們發現在這四個參數空間Tajiri-Watanabe呼吸子和多峰孤子和平面波背景上其他所有非線性波都不存在共存情況.因此背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位是一組能夠決定平面波背景上基本非線性波激發的完備參數, 基于這組參數我們給出平面波背景上基本非線性波(Tajiri-Watanabe呼吸子、多峰孤子、Kuznetsov-Ma呼吸子、反暗孤子、非有理W形孤子、怪波、有理W形孤子、Akhmediev呼吸子、周期波和W形孤子鏈)的激發條件，如表1所列.從表中可以看到, 一組確定的參數值可以完全決定一種非線性波激發.因此,平面波背景加上滿足不同條件的初態就可以確定不同的非線性波激發結構.文獻 通過滿足不同條件的非理想初態的數值模擬已經證實滿足不同激發條件的非理想初態可以演化出對應的非線性波結構.這進一步證實了背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位這組參數確實可以確定平面波背景上基本非線性波的激發特征.

表1 基本非線性波的激發條件Table 1.Excitation conditions of fundamental nonlinear waves.

為了清晰地看出這些基本非線性波與這四個物理參數之間的關系, 以及這些非線性波之間的轉換關系, 我們進一步給出基本非線性激發在這四個參數空間的相圖.決定非線性波激發條件的參數有四個, 但是四維參數空間的相圖并不能直接呈現出來, 而我們注意到相對相位只影響平面波背景上反暗孤子和非有理W形孤子以及周期波和W形孤子鏈的激發條件, 并且相對相位對這幾個非線性波激發條件的影響是由波包和平面波的疊加特征本身決定的, 不依賴于物理系統.因此我們基于背景頻率、擾動頻率和擾動能量三個參數給出基本非線性波激發的相圖, 然后再單獨給出反暗孤子和非有理W形孤子以及周期波和W形孤子鏈在相對相位空間的相圖.這樣就可以給出平面波背景上基本非線性波激發的整體相圖.因為四階非線性薛定諤 系 統 (6), 在γ=0 時 約 化 為 Hirota 系 統, 在β=γ=0時約化為標準非線性薛定諤系統.因此在圖6(a)—圖6(c)中分別給出四階非線性薛定諤系統、Hirota系統和非線性薛定諤系統中平面波背景上基本非線性波在背景頻率、擾動頻率和擾動能量空間的相圖.在圖6(d)和圖6(e)中分別給出了反暗孤子和非有理的W孤子以及周期波和W形孤子鏈在相對相位空間的相圖.

非線性波激發的相圖清晰反映了各個非線性波激發是所對應的參數區域以及各個非線性波之間的關系.從相圖中可以看到孤子和周期波結構是相應呼吸子和怪波在特定條件的結果.隨著擾動能量和擾動頻率的變化, 不同的呼吸子和怪波之間可以相互轉換, 孤子和周期波結構之間也可以相互轉換, 特別地, 這個轉換關系具有普適應.圖7(a)和圖7(b)中, 分別給出了呼吸子和怪波之間以及孤子和周期波結構之間的轉換關系.這些轉換關系清晰地展示了不同基本非線性波之間的區別與聯系.

6 總結與討論

圖6 不同系統中平面波背景上基本非線性波在背景頻率 ω , 擾動頻率 ? , 擾動能量 ε 和相對相位 φ 空間的相圖 (a) 四階非線性薛定諤系統, 參數取 β =1/12 , γ =?1/36 , a =1 ; (b) Hirota 系統, 參數取 β =1/12 , γ =0 , a =1 ; (c) 非線性薛定諤系統,參數取 β =1/12 , γ =0 , a =1 ; (d)反暗孤子和非有理W形孤子依賴于相對相位的相圖; (e)周期波, W形孤子鏈和有理W形孤子在 ( φ,?) 平面的相圖.圖中“TW”, “KM”, “AB”, “RW”, “MPS”, “AD”, “WSnr ”, “PW”, “WST”和“WS r ”分別表示 Tajiri-Watanabe呼吸子、Kuznetsov-Ma呼吸子、Akhmediev呼吸子、怪波、多峰孤子、反暗孤子、非有理W形孤子、周期波、W形孤子鏈和有理W形孤子Fig.6.Phase diagrams of nonlinear waves in the background frequency ω , perturbation frequency ? , perturbation energy ε and relative phase φ space for different systems: (a) Fourth-order nonlinear Schr?dinger system.Parameters are β =1/12 , γ =?1/36 ,a=1; (b) hirota system.Parameters are β =1/12 , γ =0 , a =1 ; (c) nonlinear Schr?dinger system.Parameters are β =γ=0 ,a=1; (d) phase diagram of anti-dark soliton and nonrational W-shaped soliton in relative phase space; (e) phase diagram of periodic wave, W-shaped soliton train and rational W-shaped soliton in the ( φ,?) plane.“TW”, “KM”, “AB”, “RW”, “MPS”, “AD”,“WSnr ”, “PW”, “WST” and “WS r ” denote Tajiri-Watanabe breather, Kuznetsov-Ma breather, Akhmediev breather, rogue wave,multi-peak soliton, anti-dark soliton, nonrational W-shaped soliton, periodic wave, W-shaped soliton train and rational W-shaped soliton.

圖7 不同非線性波的轉換關系 (a) 呼吸子和怪波之間的轉換關系； (b) 孤子和周期波之間的轉換關系.圖中“TW”, “KM”,“AB”, “RW”分別為 Tajiri-Watanabe 呼吸子、Kuznetsov-Ma 呼吸子、Akhmediev 呼吸子和怪波, “MPS”, “AD”, “WSnr ”, “PW”,“WST”和“WSr ” 分別表示多峰孤子、反暗孤子、非有理W形孤子、周期波、W形孤子鏈和有理W形孤子Fig.7.Conversion relationship of different nonlinear waves: (a) Conversion relationship between breathers and rogue wave; (b) conversion relationship between the solitons and periodic waves.“TW”, “KM”, “AB”, “RW”, “MPS”, “AD”, “WSnr ”, “PW”, “WST”and “WS r ” denote Tajiri-Watanabe breather, Kuznetsov-Ma breather, Akhmediev breather, rogue wave, multi-peak soliton, antidark soliton, nonrational W-shaped soliton, periodic wave, W-shaped soliton train and rational W-shaped soliton.

本文分析了平面波背景上基本非線性波的產生機制, 提議了一種建立基本非線性波與調制不穩定性對應關系的方法.基于簡單的對應關系建立方法, 給出了常見的幾個系統中基本非線性波在背景頻率和擾動頻率空間的相圖.此外, 揭示了擾動能量和相對相位在確定非線性波激發中的重要作用.特別地, 我們發現平面波背景上基本非線性波的激發完全由背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位四個參數決定.根據非線性波的激發條件, 實驗上可以通過很簡單形式的初態得到對應的非線性波結構.實驗上只要構造出基本符合激發條件的初態(可以偏離嚴格解的初態), 就可以激發出相關的局域波動力學.這些結果為非線性波的實驗實現、可控激發和應用提供了堅實的理論基礎.當然, 這些結果在實際應用中仍然面臨著一些問題.例如用簡單初態在演化時, 雖然基本的激發結構還是可以被觀測到的.但是由于其與解析初態有一定偏差,在調制不穩定區中這些偏差隨著演化會被放大, 從而形成一些非線性振蕩結構.這些結構會影響非線性波本身形態, 甚至形成更為復雜的動力學行為.目前系統討論了平面波背景上基本激發元的激發條件和機制, 而高階激發的機制還需要進一步探究.這些結果還有望推廣到離散系統[149,150]、1+2 維流體系統[151]、Davey-Stewartson系統[152,153]、非局域光學系統[154,155]等.另外, 非線性波的激發條件都是在可積系統中給出的.對于不可積系統,還需要進行更深入的理論分析和實驗探索.高維情形下的激發動力學[156?166]最近成為學界的研究熱點之一.我們近期將努力探究高維情形下激發元的激發條件和激發機制.