離散可積系統:多維相容性*

張大軍

(上海大學數學系, 上海 200444)

對比已有完善而系統理論的微分方程領域, 差分方程理論尚處于發展之中.近年來離散可積理論的進展, 帶來了差分方程理論的革命.多維相容性是伴隨離散可積系統研究出現的新的概念, 作為對離散可積性的一種理解, 提供了構造離散可積系統的B?cklund變換、Lax對和精確解的工具.本文旨在綜述多維相容性的概念及其在離散可積系統研究中的應用.

專題：非線性物理

1 引 言

離散系統泛指含有離散自變量的常差分、微分差分、偏差分系統、以及變換和映射等.由于缺少導數、積分等局部化的數學工具, 對于非線性離散系統的研究, 往往伴隨著新的數學概念、理論和方法的出現.

現代可積理論興起于20世紀60年代中期孤立子的命名[1]、反散射變換方法的建立[2]和Lax對概念的提出[3], 參見文獻[4].早期對離散可積系統的探索主要是可積離散化, 早在20世紀70年代:Case和Kac[5]對Schr?dinger譜問題的離散以及Ablowitz 和 Ladik[6?8]對 Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS) 譜問題的離散 建立了基于差分的反散射變換過程; Hirota[9?11]對雙線性方程的離散利用雙線性B?cklund變換與Lax對的聯系獲得了一系列離散可積系統.進入80年代后, 對離散可積系統的研究逐漸向形成獨立于連續系統的研究方法, 系統進展有: 京都學派 Date 等[12?16]和 Ueno等[17]對Sato理論的離散; 荷蘭學者Nijhoff等[18?22]和 Quispel等[23]基于 Fokas和 Abolwitz[24]的直接線性化格式以及Levi和Benguria[25]的變換與離散的同等性認識發展起來的構造和研究離散可積系統的系統方法.進入90年代以后, 離散可積系統的顯著進展包括: 超離散可積系統的提出及其連續極限的建立[26,27], 基于奇點囿禁的奇點理論與可積性的聯系的發現[28,29], 奇點囿禁在可積性判別上的不充分性的發現[30], 以及基于代數熵理論對可積性的判別[31].這些進展相繼推動了超離散可積系統、離散Painlevé方程、可積性檢驗等方面的發展.

進入新世紀后, 離散可積系統繼續迎來新的發展.Sakai[32]基于有理曲面理論和Blow-up分析對離散Painlevé方程的分類, 揭示了離散Painlevé方程豐富的代數幾何結構, Bobenko和 Suris[33]、Adler等[34]和 Nijhoff等[35,36]學者對于“多維相容性”的理解以及對若干離散可積系統的分類,各種精確求解方法 在離散可積系統中相繼實現[37?45], 等等, 一系列進展標志著對離散可積系統的研究進入到一個新的階段.2009年在著名的英國劍橋牛頓所 (The Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences)舉辦的為期半年的離散可積系統主題研討活動, 是對當時離散可積系統蓬勃發展的一個反映.

可積系統與數學和物理的眾多分支都有聯系,已經滲透到數學物理的各個領域[4].在數學方面,離散可積系統的發展伴隨著離散幾何和離散復分析的發展, 這與連續意義下可積系統豐富的幾何背景以及分析的工具在其研究中的重要作用是分不開的.對與離散可積系統相關的差分算子理論與復分析方面的研究, 如勢函數的漸近性、散射理論、Riemann-Hilbert問題、解的長時間漸近分析、初邊值問題等等, 建議參考文獻[42,46].除了提及的上述進展, 還有如離散幾何、對稱理論、Galois理論、Lagrangian多形式理論等許多方面的重要進展.值得指出的是, 最近由 Hietarinta, Joshi和Nijhoff[47]完成的一部專著《Discrete Systems and Integrability》已經出版.讀者可以參考了解其更多內容.國際上每兩年一屆的SIDE會議(Symmetries and Integrability of Difference Equations)是離散可積系統及其相關問題的首要國際會議, 1994年始于加拿大Montreal, 至今已經成功舉辦13屆,其中SIDE-10于2012年在我國寧波召開.

本文將在第二、三節重點介紹多維相容性的概念及其應用.希望通過具體的例子讓更多讀者了解離散可積系統及其中的概念和方法.

2 多維相容性

離散可積系統從未獨立于連續系統.下面首先來介紹兩種引入離散變量的途徑.

2.1 離散變量的引入

離散化是引入離散變量的方式之一.從熟悉的AKNS譜問題開始:

其中u=u(x,t),v=v(x,t) ,η是譜參數, 為了方便, 記M=M(η,U) ,U=(u,v)T.定義

然后利用差分 (Φn+1?Φn)/?替代導數Φx, 得到

Ablowitz-Ladik (AL)譜問題指[7]

在(2)式和

之下, 對Φn+1=Φ(x+?) 在?=0 展開, 并取?→0 ,則AKNS譜問題(1)式可以作為領頭項從AL譜問題(4)式中恢復出來, 同時譜參數從λ-平面變到η-平面.

(2)式是我們所熟悉的數值(差分)離散: 如圖1, 將區間 [x0,x] 等分成n份, 步長為?.在x點,Φn與Φ(x) 仍然表示相同的數值, 但是自變量的空間已經從實數域 R 變為整數域 Z .差分離散是計算連續極限的基礎, 但是對于可積系統而言, 差分離散(也稱為直接離散)不足以保持原有系統的可積特征.關于由 AL譜問題 (4)式引出的半離散AKNS系統, 讀者可以參考文獻[48?51].

圖1 [ x0,x] 上的數值離散Fig.1.Numerical discretisation on [ x0,x] .

遞推關系可以很自然地視為離散的方程.例如Hermite正交多項式 {Hn(x)} 滿足遞推關系

第I型Bessel函數

滿足方程常微分方程

其中x是自變量,α是參數.由此方程可以建立Bessel函數的遞推關系(參考文獻[47]的第37頁)

此時x和α互換了角色,x是參數,α成為自變量.再如, Painlevé II方程

的解滿足遞推關系

這里f′(t) 表示對t的導數.

在上面Bessel函數和Painlevé II方程的解的例子中, 遞推關系分別來自于兩個微分方程的解之間的變換, 可以視為通過變換建立起來的解之間的疊加關系.這是由連續系統到離散系統的常見過程.尤其, KdV 方程的 B?cklund 變換的非線性疊加公式提供了對KdV方程的完美的離散化.

對于著名的KdV方程,

Wahlquist和Estabrook[52]在1973年發現形如

的非線性 B?cklund變換, 其中w滿足勢 KdV方程

u=wx滿足KdV方程(6).

利用B?cklund變換(7a)式可以建立KdV方程的解的非線性疊加公式.首先在(7a)式中, 從同樣的種子解w出發, 分別記由λ=λ1和λ=λ2引出的為w1和w2, 即

接 下 來 , 在 (7a)式 中 取w=w1,λ=λ2, 記=w12, 有

取w=w2,λ=λ1, 記=w21, 有

上述過程可以描述為圖2.

可以證明w12和w21能夠相等(參考文獻[49]).進一步, 從(9)式和(10)式得到

圖2 B?cklund 變換解的交換性質Fig.2.Permutation property of B?cklund transformation.

稱為(勢)KdV方程解的非線性疊加公式, 也稱為Bianchi等式①Luigi Bianchi最早得到了sine-Gordon方程解的非線性疊加公式(15)式, 并證明了形如圖2的解的交換性質[56,57]., 還稱為離散的勢 KdV 方程[47].作為離散的方程時, (11)式通常寫為

其中p和q分別是對應于n–方向和m–方向的方向參數.

modified KdV(mKdV)方程

和sine-Gordon方程

擁有形式相同的非線性疊加公式(文獻[53,54]):

此方程經過變換u=ei2θ

以后, 可以寫為

此方程也稱為離散勢mKdV方程.有意思的是, 離散的sine-Gordon方程形如

由 Hirota[11]和Orfanidis[55]先后得到, 與 (16)式只有部分符號差別, 經過同樣的變換以后,可以寫為[18]

2階AKNS方程組

的B?cklund變換的非線性疊加公式形如

由Konopelchenko[58]于1982年獲得.

B?cklund變換提供了引入離散變量的一種方式.(9a)式中w1可視為w沿一個方向上的平移, (9b)式中w2可視為w沿另一個方向上的平移.非線性疊加公式(11)式是這兩個方向上平移相容性的結果.同時, (9a)式作為一個獨立方程, 也可視為一個微分-差分方程.

B?cklund變換應用于非線性模型, Darboux變換的目標對象則是在線性層面(Lax對).對于給定的連續譜問題, 存在與之相應的連續等譜發展方程族; 它的Darboux變換可視為一個離散的譜問題, 與原有連續譜問題之間的相容性引出的微分差分方程 自然給出連續等譜發展方程族的解之間的B?cklund 變換.這一漂亮的聯系首先由 Levi和Benguria[25,59]發現, 對于研究和理解離散可積系統具有重要意義.AKNS譜問題 (1)式存在如下Darboux變換[60]:

式 中U=(u,v)T.作 為 Darboux 變 換 ,滿 足AKNS譜 問 題 (1)式 , 即這相當于要求(1)式與(22)式相容, 即由此有

引出的方程

可視為連續的等譜AKNS方程族的B?cklund變換.作為離散的譜問題, (22)式引出一個新的半離散 AKNS族[61,62], 可視為微分-差分 Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程族 Lax 三重組的對稱約束的結果[63].若考慮兩個不同方向上的Darboux變換:

作為離散的Lax對, 其相容性得到方程(21), 且在適當的連續極限下, (21)式引出(20)式(參考文獻 [43]).顯然, 由 Darboux變換作為 Lax對引出的4點方程即為4個解之間的非線性疊加公式.更多的關于Darboux變換作為離散譜問題的例子可見文獻[64].

當作為離散的方程時, 變換的符號意義可以理解為

變換引入的參數p和q分別表示n–方向和m–方向上的鏈參數.如圖3所示.

圖3 變換與平面網格Fig.3.Map and lattice.

2.2 多維相容性

對于離散可積系統的研究需要引入新的概念.下面介紹離散可積系統的“多維相容性”的概念.

回到(勢)KdV方程解的非線性疊加公式(12)式, 這一疊加關系可以重復下去.為了方便，我們采用(26)式中的符號, 將(12)式寫為

這是一個定義在平面網格上的四方格方程.我們引入第三個方向l, 該方向上的平移表示為=un,m,l+1,方向參數為r, 如圖4所示.

圖4 相容立方體Fig.4.Consistent cube.

視(27)式定義在圖4中立方體的底面, (28a)式和(28b)式則分別定義在左側和后側.如何體現這種維數擴充后的相容性? 首先, 由上述3個方程有

引入方向l以后的相容性體現在將 (29a)式和 (29b)式代入到算得

方程(27)的這種性質稱~為該方程的3維相容性, 也稱為立方體相容(consistent-around-thecube (CAC)), 它體現了 (27)式自身的性質.方程(17)也具有同樣的性質.一般地, 對于一個定義在平面四方格上的方程

將其嵌入到圖4中立方體的6個面中, 得到

對于離散系統而言, 上述多維相容性將提供一系列的可積特征, 后文將進一步介紹.對于一個d-維的離散方程, 如果嵌入到一個 (d+1) -維鏈后, 所有的d-維子鏈都是相容的, 則稱原d-維離散方程具有 (d+1) -維相容性.對于2維離散方程, 這種多維相容性即為3維相容性, 或CAC性質.

2.3 ABS方程

本世紀初, 多維相容性逐漸被系統地認識并作為工具應用到離散系統的研究中[65,35,36,33].2003年, Adler, Bobenko 和 Suris (ABS)[34]發表了他們在多維相容性的基礎上對四方格方程的分類, 他們得到的方程列表被統稱為ABS方程.

ABS在假設方程(30)具有3維相容性的基礎上, 進一步要求(30)式滿足:

(i) 仿線性 (affine linear),

(ii) 在正方形對稱群D4下不變,

(iii) 四面體性質 (tetrahedron property).在前兩條要求下方程(30)的一般形式可以設為

其中ki都是待定系數; 四面體性質指只與和有關, 而與u無關, 即四個點在立方體(圖4)中構成一個四面體.ABS證明了滿足上面3條要求的3維相容方程(30)只有9個(允許存在 M?bius變換), 并分別命名為 H1, H2,H3(d), A1(d), A2, Q1(d), Q2, Q3(d), Q4:

其中, H1 即為離散勢 KdV 方程 (27), H3(d= 0)為離散勢 mKdV 方程 (17) (u→in+mu), Q1(d=0)為離散的 Schwarzian KdV 方程, 也稱為交比(cross-ratio)方程, A1(d)在u→ (?1)n+mu下即為Q1(d), A2 在u→u(?1)n+m下為 Q3(d= 0), Q4 是著名的Krichever-Novikov方程的B?cklund變換的非線性疊加公式, 原型中系數用Weierstrass橢圓函數表示[34,66], (33i)中Jacobi橢圓函數的參數化形式來自于Hietarinta[67], 式中k為Jacobi橢圓函數的模(modulus).

2.4 離散Boussinesq型方程

離散的勢Boussinesq方程是平面9點方程,定義在 3 ×3 格子上:

式中P,Q分別表示n,m的方向參數,xij=xn+i,m+j.這類方程早期由Nijhoff等[68?70]學者構造并研究.借助于其他(因)變量, (34)式可以改寫為(參考文獻[65])

取向量u=(x,y,z)T, 方程可以視為向量意義下的四方格系統, 并具有3維相容性.

2011年, Hietarinta[71]在 (35)式形式的基礎上, 尋找了可能的離散Boussinesq型的3維相容系統, 代表方程為(考慮到對稱性和M?bius變換):

式中P,Q仍然分別表示n,m的方向參數,bi都是任意常數, 有的bi可以通過適當的變換去掉.顯然,[B-2]是 (35)式的推廣.文獻 [71]中還得到 [C-4]方程, 現已證明與[C-3]之間存在M?bius變換, 故不再列出.

2.5 不同方程間的3維相容性

離散的sine-Gordon方程(19)不是3維相容的, 但是它與離散勢mKdV方程(17)一起可以實現立方體相容[72].在符號(26)式下, 兩個方程分別表示為

方程(39)在變換u→ (?1)nu下成為(40)式.

圖5 離散 sine-Gordon 和勢 mKdV 方程的相容立方體Fig.5.The consistent cube for the discrete sine-Gordon equation and potential mKdV equation.

將方程(39)和方程(40)以如下方式放置于立方體的6個面:

ABS方程和離散Boussinesq型方程都是利用同一方程構成相容立方體, 而上面這個例子說明允許用 不同的方程構成相容立方體.文獻[73]給出了更多的例子.Adler等[74]和Boll[75]對這種情況進行了討論.詳細結果列于Boll[76]的博士學位論文中.

2.6 高維的多維相容方程

對于定義在6面體上的8點3維(標量)離散方程, 如圖6(a), 目前已知的具有四維相容性(見圖7)的方程有[34]

圖6 定義 3 維方程的 6 面體以及 8 面體Fig.6.Cube and octahedron for 3D equations.

圖7 圍繞超立方體的 4D 相容性Fig.7.4D consistency around the hyper cube.

對于定義在8面體上的6點3維離散方程, 如圖6(b), 要求這些方程具有4維相容性, Adler等[77]于2011年進行了分類.滿足條件的方程共有5個:

這些方程可以存在方向參數, 但是這些參數可以通過適當的變換移除.這些方程均已經出現于早期的文獻中.如: (42a)式是離散的 BKP 方程, 又稱為 Miwa方程[78]; (42b)式被認為是離散Schwarzian BKP, 首先從幾何中得到[79]; (43a)式由 Hirota[80]在 1981年給出, 又稱為離散廣義Toda 方程; (43b)式, (43c)式和 (43d)式分別稱為離散Schwarzian KP、離散勢KP和離散modified KP方程, 最早由 Nijhoff等系統構造 (見文獻[20]中 (4)式和 (23)式和文獻 [22]中 (4.16)式);(43e)式由 Date等于 1982年獲得 (見文獻 [13]中(N-1)方程).

3 多維相容性的應用

“多維相容性”不僅作為一類離散系統的可積性的理解, 還提供了研究手段, 可用于構造離散可積系統的B?cklund變換、Lax對、精確解等等.

3.1 B?cklund變換

B?cklund變換始于對偽球面的構造.Bianchi[81]首先證明了B?cklund給出的含任意參數的變換 可以保持sine-Gordon方程不變.變換不僅是引入離散變量的一個渠道, 也是聯系離散與連續的一座橋梁.通常, auto-B?cklund 變換指同一方程的解之間的變換, nonauto-B?cklund變換指不同方程的解之間的變換.

“多維相容性”提供了非常直觀的構造auto-B?cklund變換的方法.對于任意具有3維相容性的方程(30), 將其置于相容立方體的6個面中, 如圖8所示.

圖8 相容立方體Fig.8.The consistent cube.

底面和頂面的方程分別為

自然地構成方程(44a)的一個B?cklund變換.對于H1方程(33a)來說, 多維相容性為它提供的B?cklund變換是(28)式.

即使是對于兩個方程合作構成相容立方體時,上述思想依然有效.對于離散sine-Gordon方程(39)和離散勢mKdV方程(40)而言, 它們合作構成相容立方體(見(41)式).此時, 左側和后側的兩個方程, 即

構成離散sine-Gordon方程(39)的B?cklund變換.不過這個變換沒有對稱性.

多維相容性也可以用于構造不同方程間的nonauto-B?cklund 變換.下面以 Q2 和 Q1(d)為例來解釋如何利用相容立方體建立nonauto-B?cklund 變換.首先, 將 Q2 方程 (33g)置于相容立方體的6個面.然后在頂層方程0中引入關系

對方程乘以?2以后取極限?→0 , 頂層方程變為

即Q1(d).此時, 立方體的左側和后側的兩個方程,經過替換(47)式以及取極限以后, 得到

這就是Q2與Q1(d)之間的nonauto-B?cklund變換.

2008年, Atkinson構造了ABS方程之間一系列 nonauto-B?cklund變換, 詳細結果請參考文獻 [73]中表3 .除了上述方法, B?cklund 變換可以利用Yang-Baxter映射以及ABS方程的分解性質來構造, 相關內容讀者可以分別參考文獻[82]和文獻[83].

3.2 Lax對

眾所周知, B?cklund變換與Lax對存在密切聯系, 對于多維相容系統來說, 這種聯系更加直接.下面以H1方程(33a)為例, 利用其3維相容性引出的B?cklund變換構造它的Lax對.

將H1的B?cklund變換(28)式改寫為

引入Φ=(g,f)T, 上式改寫為

式中γi可視為 分式線性形式(50)式寫成矩陣形式(51)式后保留的原分子、分母的公因子, 一般取為對 于 H1 來 說,γi可以取為任意常數.相容性引出

計算后可得H1方程(33a).

在 H1的 Lax對 (51)式中, 取Φ=(?1,?2)T,γ1=γ2=1, 從中消去?1, 得到

此為H1方程譜問題的標量形式.由此出發 可以構造H1方程的無窮守恒律[84].

上面以H1為例給出了利用B?cklund變換構造Lax對的方法, 事實上, 所有的ABS方程都具有相同結構的Lax對, 且存在一般形式.具體地,對于任一 ABS方程其 Lax對為(參考文獻[85])

γ1=顯然, 將矩陣譜問題改寫成標量形式后, 可以發現所有的ABS方程都具有類似于(53)式的二階離散譜問題.

通常, 對于由一個方程構成相容立方體時, 由于方程的對稱性, 其B?cklund變換具有對稱性,Lax對也具有對稱性, 即在上式M中, 將換為, 即得到N.在文獻[86]中搜集了更多的利用3維相容性構造Lax對的例子.對于由兩個方程構成相容立方體時, 例如2.5節中的離散sine-Gordon方程和勢mKdV方程, 由它們的相容立方體構造的離散sine-Gordon方程的B?cklund變換具有非對稱性, 由此引出的離散sine-Gordon方程的Lax對也是非對稱的:

3.3 孤子解

下面以離散勢KdV (即H1)方程(33a)為例,演示如何通過其B?cklund變換構造單孤子解(1-soliton solution (1SS)).首先需要一個種子解.取

不難發現

是方程(33a)的一個解, 其中γ是任意常數.

方程 (33a)的 B?cklund 變換是 (28)式, 即

相應于參數化(56)式, 這里取r=?k2.取u為(57)作為種子解, 設新解形如

v是待定函數.將(59)式和(57)式代入B?cklund變換(58)式得到

引入v=f/g和Φ=(f,g)T, 將 (61)改寫為

其中ρ0,0為常數, 從 (63) 式可得

重新定義常數ρ0,0后, 有

代入到(59)式, 離散勢KdV方程(33a)的1-孤子解為

依據上述過程, 若利用B?cklund 變換獲得2-孤子解顯然不容易.但是1-孤子解的結構往往可以“暗示”一些2-孤子解的結構信息, 有助于發現合適的變換公式將離散方程雙線性化, 并進一步獲得N-孤子解.相關內容可以參考文獻 [38, 87, 88].

3.4 0-孤子解與不動點方法

對于 (33)式中所列的 ABS方程,u=0 一般都不是解, 而且也不易明顯看出一些簡單的解.“不動點方法”是在B?cklund 變換的基礎上求解0-孤子解的方法.從上一節的求解過程來看, 對于方程的 B?cklund 變換 (3.1),其中的參數r是孤子參數, 將作為離散譜在中引出一個孤子.現在, 如果孤子參數r在變換中“失效”, 即=u, 則有

由此變換引出的原方程的解應當是最簡單的, 可以作為0-孤子解.

對于 H1 方程 (33a), 有

由此很容易得到

即(57)式.

對于 Q1(d)方程 (33f), 在T(u)=u+c下不變, 對于的B?cklund變換(69)式有

經過參數化 (p,q)→ (α,β) :

可得Q1(d)的線性0-孤子解:

其中λ是任意常數.此外, Q1(d) 方程 (33f), 還在T(u)=?u下不變.此時的B?cklund變換(69)式給出

經過參數化 (p,q)→ (α,β) :

上述所描述的過程稱為“不動點方法”.首先用于構造Q4方程的種子解[89], 其后又系統地應用于其他 ABS方程 0-孤子解的構造[37,38].當然, 也可以利用其他的方法構造0-孤子解, 例如, 利用方程間的B?cklund變換(如(48)式), 從一個方程的0-孤子解得到另一個方程的0-孤子解.

4 結 論

通過簡單的描述和例子介紹了多維相容性的概念及其在離散可積系統中的應用.對于多維相容性, 存在一定的幾何背景, 換言之, 經典的初等幾何中的點線之間的關系蘊含著若干離散可積系統的多維相容性(如文獻[79,90]).此外, 多維相容性也可以從平面波因子的對稱性來理解.Miwa映射提供的離散的平面波因子[78]

在各個方向上具有對稱性; 考慮到不少離散可積系統可以從平面波因子出發通過Cauchy矩陣方法[37,45]等途徑來構造, 不難理解由此獲得的離散可積系統具有多方向上的相容性.

對比連續系統, 目前, 離散可積系統在代數結構和工具、幾何背景、離散的分析工具等方面都仍待發展.例如, 基于譜問題、零曲率方程和Kac-Moody代數的連續可積系統 理論并不適用于離散系統, 許多連續意義下的幾何體系仍未實現離散化, 離散的復分析也尚未成熟.

對于離散可積系統的研究也是一個在不斷認識離散可積性、發展研究方法和工具、與新興數學工具結合(如Tropical幾何、Cluster代數等)的過程.關于離散可積系統中值得關注的發展與研究方向, 建議讀者關注SIDE會議的網站.