多普勒差分干涉儀干涉圖信噪比對相位不確定度研究*

孫晨 馮玉濤 傅頔 張亞飛 李娟 劉學斌

1) (中國科學院西安光學精密機械研究所, 光譜成像技術重點實驗室, 西安 710119)

2) (中國科學院大學, 北京 100049)

多普勒差分干涉儀通過測量干涉圖相位變化反演大氣風速.干涉圖信噪比是工程應用中影響測風干涉儀相位反演精度的核心指標之一, 基于觀測數據分析多普勒差分干涉儀中相位不確定度與干涉圖信噪比之間的定量關系建立解析模型, 對儀器設計、性能評價及風場數據應用具有重要意義.本文基于傅里葉變換光譜學噪聲傳遞理論和多普勒差分干涉儀相位反演模型, 建立干涉圖信噪比與相位不確定度傳遞的理論模型.利用多組不同信噪比仿真及實驗實測數據, 將相位反演模型計算的統計結果與本文提出的理論模型分析結果進行比較驗證, 結果表明, 多組實驗數據平均殘差小于0.07 mrad, 兩者的一致性較好, 建立的模型為多普勒差分干涉儀效能評估、干涉儀設計優化提供理論依據.

1 引 言

大氣風場是描述空間環境特征的重要物理參數, 是空間天氣與空間環境學研究領域的熱點課題, 也是空間科學中最有應用價值的研究內容之一[1?3].星載測風干涉儀獲取中高層大氣風場廓線的長期觀測數據, 對空間天氣預報、航天器發射、運行和返回軌道參數計算、無線電通信、空間科學實驗等都具有重要意義, 為研究上下層大氣之間的能量傳輸、大氣成分變化以及大氣波現象提供重要理論依據[4?6].

多普勒差分干涉光譜技術是由Englert團隊在2006年提出的一種新型的中高層大氣風場探測技術[6?9], 多普勒差分干涉儀是通過探測氣輝譜線相位變化量反演多普勒頻移, 進而計算大氣風速,相位反演精度決定風速測量精度[10?15].在實際應用中, 儀器采集到的原始干涉圖會存在光電轉換、探測器暗電流、讀出電路帶來的各種隨機噪聲, 這些噪聲會隨相位反演模型傳入相位, 導致反演相位隨機誤差.在儀器工程設計中通常采用原始干涉圖信噪比作為衡量儀器信號質量的重要指標, 是系統基本光學、電子學參數確定的依據[16?20].因此, 研究多普勒差分干涉儀干涉圖信噪比與反演相位不確定度之間的傳遞關系, 建立定量數理模型對指導儀器工程設計是非常重要的.

傳統傅里葉變換光譜儀以反演光譜為目的, 已建立了從原始干涉圖到復原光譜噪聲傳遞關系, 但由于多普勒差分干涉儀目標是測量多普勒頻移帶來的相位漂移, 故已有的傅里葉變換型光譜儀數據反演的噪聲傳遞理論模型不能直接用于衡量多普勒差分干涉儀相位不確定度與原始干涉圖信噪比的關系.Luo[17]分析了基于對稱式的空間外差干涉光譜儀中以光子噪聲為主要噪聲源時的干涉域信噪比表達式, 提出空域與頻域信噪比的數理模型,但無法說明原始干涉圖信噪比與相位不確定度之間的關系.Pritt[19]針對傳統的傅里葉變換光譜儀,建立原始干涉圖噪聲與反演光譜噪聲之間的傳遞模型, 但未進一步證明其與復干涉圖噪聲和相位噪聲之間的傳遞關系.

本文基于傅里葉變換光譜學基礎理論, 根據多普勒差分干涉儀的相位反演方法, 結合原始干涉圖表達式、系統噪聲模型及相位反演模型, 建立原始干涉圖信噪比與相位不確定度傳遞的理論模型, 并利用實驗室研制的多普勒差分干涉儀驗證其正確性, 分析誤差來源, 為儀器的工程設計與性能評價提供重要理論基礎.

2 理論推導分析

2.1 多普勒差分干涉儀原理

多普勒差分干涉儀是將邁克爾遜干涉儀中兩干涉臂末端的平面反射鏡替換成閃耀光柵, 在一個干涉臂中加入非對稱量 ?d, 增大光程差, 提高干涉儀風速測量靈敏度.如圖1所示.當任意單色光譜輸入B(σ) 進入儀器入瞳, 經過準直鏡、濾光片和分束器后形成兩束光, 并分別在兩個干涉臂末端的閃耀光柵處發生衍射, 經過閃耀光柵后返回, 兩束光的波陣面在分束器處相遇, 經過條紋成像系統L2、L3, 在探測器上形成的干涉條紋I滿足[21]:

圖1 多普勒差分干涉儀原理圖Fig.1.Schematic of the Doppler asymmetric spatial heterodyne interferometer.

式中,σ為入射光波數,σL為 Littrow 波數,θL為Littrow角,x為探測器上位置坐標, 定義探測器中心x=0 , ?d為兩干涉臂非對稱量.

2.2 相位反演模型

多普勒差分干涉儀通過探測干涉圖的相位變化反演氣輝譜線的多普勒頻移, 相位反演模型如圖2所示, 按照參考文獻[6], 將式(1)簡化為

式中,j為通過濾光片進入儀器的譜線,Sj為譜線強度系數,Ej(x) 為第j根譜線的包絡函數,kj≡4(σj?σL)tanθL為差分頻率,?j≡4π(σj?σL)?d為附加相位項, δφj為多普勒頻移引起的相移項.對(2)式傅里葉變換可得空間頻率在 +kj和 ?kj有特征峰的反演光譜S, 用窗函數分離S中的一個特征峰 ( +kj或者 ?kj), 其余的所有元素均賦 0, 傅里葉逆變換后可得:

此時可計算任一采樣點對應的相位值:

圖2 相位反演模型流程圖Fig.2.Flow chart of phase retrieval method.

2.3 原始干涉圖信噪比與相位不確定度理論推導分析

在多普勒差分干涉儀成像過程中, 噪聲主要來源于電路噪聲(讀出噪聲、暗電流噪聲)和散粒噪聲中的光子噪聲(屬于高斯白噪聲).因此疊加噪聲的干涉圖I′可以表示為

式中εN表示電路讀出噪聲、暗電流噪聲和光子噪聲引起的原始干涉圖強度的隨機變化, 由隨機噪聲特性可知, 數學期望為0, 且相鄰空間位置不相關.假設原始干涉圖以光子噪聲為主要噪聲源, 光子噪聲方差與探測器光電轉換后生成的信號對應電子數相等[16].分別對(5)式中I′、I進行傅里葉變換、窗函數單頻提取、傅里葉逆變換后得、Ic, 結合隨機信號分析方法, 用(4)式求得、Ic對應的反演相位 P hase′、 P hase , 兩相位差 ? Phase 即為原始干涉圖中隨機噪聲引入的相位噪聲:

由于

因此, 用反正切函數的一階泰勒展開式求解(6)式,即:

求 ? Phase 標準差得到由原始干涉圖光子噪聲引入的相位不確定度:

式中,n為窗函數尺寸,N為干涉圖采樣數, 將(10)式代入(9)式中可得:

原始干涉圖任一采樣點信噪比表達式為

式中εN和分別對應任一采樣點的光子噪聲和原始干涉圖信號.將(12)式代入(11)式可得原始干涉圖信噪比與相位不確定度之間的解析表達式:

3 計算機仿真分析

圖3 信噪比與相位不確定度仿真結果及殘差 (a)為相位反演模型與理論模型計算的相位不確定度; (b)為兩種計算結果殘差Fig.3.Simulation results of retrieved phase uncertainty and residual with different SNR: (a) Phase uncertainty of two models; (b) the differences between two results.

為充分驗證推導的理論模型的正確性, 本節保證仿真干涉圖與實驗室實測干涉圖有完全相同的邊界條件, 使用計算機仿真生成信噪比與實測信噪比相同的干涉圖, 每組數據 1000 幀.首先, 采用第2節中的相位反演模型, 去除原始干涉圖的低頻基線, 傅里葉變換用長度為5的矩形窗函數對反演譜單頻提取, 經傅里葉逆變換后, 反演每幀干涉圖相位, 取第512個采樣點相位統計標準差作為每組干涉圖的相位不確定度; 其次, 再用本文推導的(13)式, 根據每幀干涉圖信噪比計算相位不確定度, 統計平均后得到每組數據對應的結果.兩種方法計算結果如圖3所示, 其中右圖為兩方法計算結果殘差, 平均殘差為 0.0239 mrad.造成殘差的原因主要是在理論推導中為了方便計算, 用反正切函數的泰勒一階展開式對相位方差近似計算.從圖中可看出, 隨著信噪比的提高, 相位不確定度與殘差均減小, 兩種方法的計算結果一致性較好.

4 實驗室測量分析

為了進一步驗證本文推導的原始干涉圖信噪比與相位不確定度理論模型正確性, 結合實驗室自研的多普勒差分干涉儀(主要參數參見表1)搭建實驗平臺, 實驗器材包括多普勒差分干涉儀、波長為632.8 nm的穩頻激光器、分光鏡、衰減片、準直鏡, 如圖4 所示.

圖4 實驗平臺Fig.4.Photograph of laboratory setup.

為了提高系統的穩定性, 降低相位熱漂移導致的系統性偏差, 對多普勒差分干涉儀進行被動隔熱, 并對干涉儀組件主動溫控, 精度為 0.1 ℃, 探測器工作溫度為–75 ℃, 并且在采集記錄數據之前先使整個系統工作數小時到達穩定狀態, 圖5為積分時間為0.5 s時的原始干涉圖.

實驗中用兩種方法分別采集多組不同信噪比干涉圖數據, 第一種方法使用同一衰減片, 調整積分時間控制原始干涉圖強度, 獲得不同信噪比干涉圖; 第二種方法使用相同的積分時間, 調整衰減片獲得不同信噪比干涉圖.這樣設計主要有以下兩種原因: 首先, 驗證理論模型對不同噪聲類型是否具有普適性; 其次, 為了使得實測干涉圖信噪比覆蓋更廣.由文獻[16,17]可知, 實測干涉圖噪聲主要包含光子噪聲、暗電流噪聲、讀出噪聲, 因此當改變積分時間時, 三種噪聲均發生改變, 當調整衰減片強度時, 僅光子噪聲發生改變.使用第一種方法選擇兩組不同透過率的衰減片, 其中第一組衰減片,積分時間起始為 0.2 s, 間隔為 0.2 s; 第二組衰減片, 積分時間起始為 0.5 s, 間隔為 0.5 s.每組衰減片實驗中各采集9組數據, 每組100幀.由于實驗中沒有精確測量入射光強, 因此選擇多幀平均方法計算實測干涉圖信噪比: 將每組100幀干涉圖平均得到平均干涉圖, 每幀干涉圖與其偏差作為每幀干涉圖噪聲, 進而計算干涉圖信噪比.

圖5 原始干涉圖Fig.5.Interferogram.

表1 多普勒差分干涉儀主要參數Table 1.Principle components.

在用相位反演模型和本文推導的理論模型計算之前, 對原始干涉圖預處理(去除沖擊噪聲和暗電平).與仿真計算方法相同, 首先用第2節中的方法計算每幀干涉圖相位, 得出每組干涉圖的相位不確定度, 整個計算方法與前文計算仿真數據的數據處理方法相同.其次, 用本文推導的理論模型計算每幀干涉圖的理論相位不確定度, 再對每組結果統計平均得到每組干涉圖的相位不確定度.圖6分別為兩組衰減片對應的不同信噪比干涉圖用相位反演模型與本文推導的理論模型計算結果及殘差.圖7為相同積分時間, 不同衰減片對應的實測數據計算結果及殘差.

圖6中實線圈, 第3組數據為積分時間0.2 s的干涉圖, 平均信噪比為73.488倍, 反演模型計算的不確定度為1.2213 mrad, 理論模型計算結果為1.0552 mrad, 仿真生成干涉圖信噪比為72.8292倍, 相位反演模型計算結果為 1.0396 mrad, 理論模型計算結果為1.0075 mrad.殘差偏大的原因是由于實測干涉圖相位漂移較大, 圖8中黑色為第3組實測數據反演相位差, 紅色為仿真數據相同信噪比反演相位差, 從圖中可以明顯看出, 實測數據反演相位差的方差大于仿真數據.

圖6中虛線圈, 第4組數據為積分時間1.5 s的干涉圖, 平均信噪比為74.286倍, 反演模型計算的不確定度為1.1006 mrad, 理論模型計算結果為0.8663 mrad, 仿真生成的干涉圖信噪比為72.8292倍時, 相位反演模型計算結果為 1.0396 mrad, 理論模型計算結果為 1.0075 mrad.分析發現, 整組實測數據的信噪比波動較大, 如圖9所示, 由于波動較大, 因此在平均計算時出現偏差, 造成計算結果殘差較大.

圖6 變積分時間實測數據計算結果及殘差 (a)為相位反演模型與理論模型計算的相位不確定度; (b)為兩種計算結果殘差Fig.6.Experimental results of retrieved phase uncertainty and residual with same attenuation coefficient and different integration time: (a) Phase uncertainty of two models; (b) the differences between two results.

圖7 變衰減片實測數據計算結果及殘差 (a)為相位反演模型與理論模型計算的相位不確定度; (b)為兩種計算結果殘差Fig.7.Experimental results of retrieved phase uncertainty and residual with different attenuation coefficients: (a) Phase uncertainty of two models; (b) the differences between two results.

圖8 相同信噪比實測數據與仿真數據對比分析Fig.8.Comparison and analysis of measured and simulated data with the same SNR.

圖9 積分時間 1.5 s實測干涉圖信噪比Fig.9.SNR of 1.5 s integration time interferograms.

分析圖6結果可得, 由于積分時間相對較短,因此在使用不同方法采集干涉圖對最終的計算結果影響甚小.由圖6、圖7結果可得, 本文推導的理論模型與相位反演模型計算得到的相位不確定度一致性較好.圖6中兩組不同衰減片計算結果平均殘差分別為0.0634 mrad, 圖7計算結果平均殘差為 0.0573 mrad, 對應風速誤差分別為 0.0373 m/s,0.0337 m/s.(以波長為 632.8 nm的激光作為輸入光源, 實驗室自研的多普勒差分干涉儀基礎光程差為 50 mm, 1 m/s的風速變化量對應的相位變化量為1.7 mrad).兩種方法的計算結果的一致性表明本文推導的理論模型正確.

對比圖6、圖7可發現, 在相同條件下, 兩種計算方法的殘差主要有以下幾點: 首先, 在實際測量中, 隨著積分時間的加長, 使得整組干涉圖的采集時間加長, 信噪比波動范圍變大, 如圖6中當信噪比大于 200 倍時, 積分時間為 4 s和 4.5 s的兩組實測數據, 兩種方法的計算結果殘差變大; 其次,實驗中對多普勒差分干涉儀中的成像系統被動隔熱, 并未主動溫控, 可能會對實測干涉圖造成相位漂移.后續研究中可將成像系統放大率帶來的相位漂移修正后, 進一步提高反演相位精度.

5 結 論

基于多普勒差分干涉方程, 結合相位反演模型, 對干涉圖進行傅里葉變換、窗函數單頻提取、逆傅里葉變換、相位計算、反正切函數的一階泰勒展開, 分步解析多普勒差分干涉儀中相位不確定度與干涉圖信噪比之間的定量關系.分別用多組不同信噪比的仿真與實測數據驗證本文推導的理論模型, 與相位反演模型計算結果的高度一致性驗證了本文提出模型的正確性.本文成果在工程設計中結合目標源輻射特性分析、光學設計參數及電子學參數能夠通過確定原始干涉圖信噪比, 進而得出相位不確定度, 實現對多普勒差分干涉儀全鏈路觀測能力分析的目的.除此之外基于觀測數據的信噪比分析, 還能夠實現對實測觀測數據的誤差限分析, 為數據后續的科學應用提供不確定度輸入.

感謝中國科學院西安光學精密機械研究所馮玉濤研究員和傅頔博士的討論.