基于專業應用的高職數學混合式教學設計與實施
——以曲線凹凸性及拐點為例

謝歆鑫，張敏華，張 蘭，鄭雅茹

(西安航空職業技術學院，西安 710089)

高職院校的學生數學基礎薄弱，對數學學習普遍有畏難情緒，甚至部分學生還有抵觸情緒，出現這種現象是多方面的，究其根源，除了課程本身因其抽象性使得課程難度加大以外，與中學現行的教育模式也密切相關[1]。筆者所在的教學團隊，依托省級教學改革研究項目，以在線課程為平臺，以數學融入專業應用為突破點，借助現代教學信息化技術，積極開展混合式教學改革嘗試，取得了一定的實際效果。

1 教學模式設計背景

1.1 打破課堂沉寂，激發學生興趣

一方面，現在的00后都是在網絡信息技術快速普及的環境下成長起來的，對新的信息技術、知識的呈現方式有特別的好奇心。另一方面，高職學生理論基礎雖然偏弱，但善于動手、樂于動手，對專業的接受度和重視度高，筆者對所授課班級兩個專業的學生調查發現，有超過半數的人希望數學知識與專業知識結合，做到學以致用，詳見圖1。基于這兩方面的考量，在分析一些研究者[2-3]在此方面探索與實踐的基礎上，筆者所在的教學團隊設計了基于在線課程平臺、融入專業案例，利用信息化手段開展混合式教學的模式[4]。

圖1 問卷調查數據一Fig.1 Questionnaire survey data 1

1.2 混合式教學理論符合高職數學課程教學實際

混合式學習(Blended learning)[5]是一種線上與線下結合，虛擬與傳統課堂的混合，課外與課內的混合。它融合了行為主義、認知主義、首要教學原理和建構主義的教學理念。高等數學課程雖是一門理論基礎課程，但作為高職院校的高等數學課程，有別于本科層次，高職數學更注重教學內容的針對性和實用性，側重于基本理論在實際中問題中的應用。對于理論性數學基礎知識傳統教學有其優勢之處，但對于應用性知識，采用建構與生活、物理、專業貼近的真實案例或情境，進行探究式、合作式自主學習，培養學生分析問題、解決問題的能力，此時信息化技術的使用必不可少，其中就包括線上平臺資源的建設和使用。總之，高職數學的課程特點決定了混合式教學的適用性。

2 基于專業應用的高職數學混合式教學設計案——以曲線凹凸性及拐點為例

2.1 教學內容及授課對象

本節課以無人機飛行航跡曲線為切入點，講解曲線凹凸性和拐點的定義與判定方法，并進行飛行仿真模擬航跡曲線實操。計劃1課時。

授課對象為2017級無人機1班。

2.2 學情分析

第一，前導知識。已學一階導數與函數單調性和極值的關系；已學二階導數物理意義。第二，技能基礎。已掌握MATLAB軟件中繪圖命令；已掌握航模飛行模擬操作。第三，情感素質。大膽多活潑，愛動善操作，強毅耐挫折，璞玉堪雕琢。

2.3 教學目標

第一，知識目標。掌握曲線凹凸性及拐點的概念；掌握曲線凹凸性及拐點的判定方法。第二，能力目標。理解曲線凹凸性對飛行航跡的影響，增強學生利用數學知識解決專業問題的能力。第三，素質目標。培養學生的數學思維習慣；提升學生的團隊合作精神；增強學生的專業探索精神。

2.4 教學重點及解決策略

第一，教學重點內容：曲線凹凸性及拐點的判定方法與步驟。第二，解決策略：教師復習導數與單調性的判定關系，引導學生思考并學習凹凸性判定定理；通過課中練習、MATLAB驗證、數學闖關游戲等，循序漸進地引導學生探究判定曲線凹凸性的方法?？偨Y凝練出曲線凹凸性判定的“五步法”：定范圍、求導數、找疑點、列表看、去驗證；利用“笑臉”、“哭臉”表情圖、口訣以及手繪動畫，加深學生對教學重點內容的理解和掌握。

2.5 教學難點、解決策略及教學教法

第一，教學難點內容：通過曲線凹凸性及拐點理解航跡曲線。第二，解決策略：教師以專業知識——航跡曲線中“躍升-斤斗-俯沖”等為切入點重點講解加速度(二階導數的物理意義)對曲線凹凸性的影響；學生借助仿真軟件模擬飛行操作，進行小組PK，體會拉桿(加速)及推桿(減速)與曲線凸凹性之間的關系，教師點評模擬過程。

教學教法。第一，教法。任務驅動法、情境教學法、講授法。第二，學法?；旌蠈W習、小組討論、自主探究、仿真模擬。

3 基于專業應用的高職數學混合式教學實施案——以曲線凹凸性及拐點為例

3.1 教學過程

表1 基于專業應用的高職教學混合式教學過程Tab.1 Hybrid teaching process of higher vocational mathematics based on professional application

續表1

環節教學活動教師活動(主導)學生活動(主體)設計意圖課中新知學習1.播放飛行動畫視頻,直觀展示曲線的凹凸、拐點;2.教師根據課前平臺測試結果,對于凹凸定義作出飛行器飛行時躲避障礙物的動畫,鼓勵學生課堂講解對曲線凹凸性的理解;3.講解拐點概念教師結合動畫視頻,從兩個無人機追逐角度講解拐點定義。4.引導學生并給出凹凸性判定定理。教師根據對單調性用一階導判定定理的回顧,提出凹凸性如何用導數來判定?5.引導學生畫微信中“笑臉”“哭臉”表情圖,并給出數學版的“笑臉”“哭臉”模型。凝練記憶口訣:判斷曲線凹凸性,二階導數來確定。正為凹性負為凸,拐點把那凹凸分。1.學生講解凹凸定義回顧課前學習知識,積極參與討論對曲線凹凸性定義的理解;2.回憶課前自學的凹凸性判定方法,鼓勵學生查漏補缺。3.學生畫“笑臉”“哭臉”看笑臉,記口訣,熟判定1.以動圖形式展示將抽象的數學定義形象化。2.傳統的黑板互動,探究式的引出“笑臉”“哭臉”的動畫引起學生共鳴?？谠E郎朗上口,加深學生記憶。課中方法探索★本節重點1.教師設置例題 學生課堂練習,求解函數的凹凸區間與拐點;觀察每個小組的練習情況,進行批閱指導;教師點評分析給出規范解題步驟。2.軟件驗證教師布置課堂任務:用MATLAB軟件繪制例題中函數的圖像以及其二階導數的圖像;教師觀察學生操作過程,解決學生在軟件實操過程中的問題。3.針對課堂的重點內容,設計飛行闖關游戲,將凹凸性判定,設計五個關卡,學生答題闖關; 通過平臺統計、查看同學們的闖關情況,對通關情況進行總結點評,剖析并講解失敗原因。4.教師凝練判斷凹凸性的“五步法”“定范圍、求導數、找疑點、列表看、去驗證”。5.教師講解兩種可疑點未能成為拐點的情形。1.課堂練習,小組討論2.學生利用MATLAB作圖,驗證二階函數圖像的凹凸與其二階導圖像的關系;踴躍分享自己的觀察結論;3.學生個人闖關游戲。根據剛才例題自己完成的步驟和結果,完成游戲的闖關;提交闖關結果。完成游戲通關的學生講解通關秘籍;理解教師對通關失敗的原因。4.依據凹凸性判定方法,熟悉 “五步法”。5.重點理解教師講述的兩種特殊情形,借助圖形加深對可疑點(二階導等于零或二階導不存在的兩種點)的理解。1.考察學生基本定理的掌握情況;生生互助,提高學生團隊協作。2.軟件操作畫圖理解二階導與凹凸的關系。3.借助飛行特技闖關游戲,檢查并鞏固知識點,同時增加學習趣味。4. “五步法”,讓學生更容易掌握判定過程。5.對為什么叫“可疑點”有更深的認識。課中專業應用★本節難點1.航跡曲線解讀教師給出航跡曲線動圖,由二階導數的物理意義(加速度),講解曲線凹凸與加速度,以及飛機躍升、俯沖、斤斗的關系;引導學生觀察航跡曲線,引發思考:曲線凹凸—加速度—飛行姿態之間的關系。2.仿真模擬飛行教師布置仿真模擬飛行任務,采用信息化手段對學生操作畫面進行同屏顯示;對飛行突出的兩個小組進行PK,布置一個特定飛行任務,完成模擬飛行;教師總結學生拉桿推桿對應的進入躍升到改出躍升。板書:拉→a(x)>0→f″(x)>0→∪推→a(x)<0→f″(x)<0→∩1.學生觀察航跡曲線,結合教師的提示,思考曲線凹凸與加速度,以及飛機躍升、俯沖、斤斗的關系;2.仿真模擬飛行借助專業的飛行模擬軟件,通過操控手柄,對飛行器進行操控,在操控過程中用心體會:俯沖躍升———加速度———拉桿推桿及油門操作”之間的關系;小組PK,按照教師給定的特定任務進行飛行模擬,最終勝出的小組操控手進行講解操控方法,并談談操控方法與本節課知識的關聯。1.凹凸性與飛行曲線的結合,將數學與專業緊密結合,體現數學的工具性。2.虛擬場景,真實操作,讓學生親身體會數學中凹凸性與飛行航跡曲線的關系,激發學生興趣。同時通過小組PK,達到生生互評的目的。

續表1

環節教學活動教師活動(主導)學生活動(主體)設計意圖課中總結拓展1.在線平臺開展課堂測試查看、點評測試中的問題,重點關注課前任務完成欠佳同學的學習效果;利用平臺自動統計學生本節課內容掌握情況。2.采用思維導圖對本節課的知識內容進行梳理。3.布置課后作業一個拓展作業(小組作業);一個平臺上的課后檢測作業。1.登陸在線平臺,完成在線測試;同學認真聽教師講解錯誤剖析。2.與教師一起整理吸收本節課的知識內容。3.按照教師的要求,完成課后作業。1.在線平臺測試,便于教師及時統計反饋結果,掌握學生學習效果,做到精準化輔導。2.用思維導圖梳理本節內容,便于學生整體把握。

3.2 教學反思

第一，本節課針對無人機專業的學生，以航跡曲線為切入點，利用視頻動畫引入概念定理，游戲動畫輔助考核知識，飛行仿真模擬貼合專業，思維導圖梳理知識，學生操作實時投屏等多種信息化手段的使用，使得數學抽象問題形象化，枯燥問題趣味化，突破了教學重難點，解決了數學課與應用脫節的問題，使教學活動更加高效。第二，職教云學習平臺的使用，全程采集全員學習數據，實時反饋教學效果，評價快速準確，結果真實可靠，提高教學的精準指導。

(注，本次課堂教學內容的設計和教學實施，參加了2018年全國職業院校教師教學能力大賽課堂教學類比賽，并獲得全國二等獎。)

4 基于專業應用的高職數學混合式教學的幾點思考

第一，專業應用案例的遴選需要貼近學生基礎，與學生所學專業的某個基礎知識結合，在學生能夠接受的范圍內選用數學知識展開問題構建，在分析和解決與其專業相關問題中獲得成就感，從而構筑數學與專業之間的橋梁，逐步消除“數學無用”的偏見。第二，教學實踐表明，用一個貼合學生專業的案例去驅動相應的數學課堂，可以有效地激發學生的興趣，提高課堂參與度，讓學生在數學課堂上能夠有存在感。同時，恰當的信息化教學手段的使用，能夠豐富教學內容的呈現方式，將抽象問題形象化，枯燥問題趣味化，達成教學目標，突破教學重難點，改善課堂教學活動的有效度。筆者對所帶航空類專業的129名學生進行調查，數據顯示有79%的學生認可這種混合式教學模式，見圖2。第三，專業案例的挖掘和打磨是一項艱巨的工作，對于數學專業的教師是一個跨專業再學習的過程，需要從心理、身體、時間上做好全面的準備。另外，基礎的信息化技術的掌握，也對高校教師提出了與時俱進、不斷學習的需求。因此，組建一個教學團隊勢在必行，針對某個專業大類，成員分工合作，深耕細作，方能更好、更有效地推進高職數學的教學改革。

圖2 問卷調查數據二Fig.2 Questionnaire survey data 2