再議函數極限求解的方法與技巧

李慶娟

（大連財經學院 遼寧 大連 116600）

極限是高等數學的重要概念和研究對象，它是高等數學的理論研究工具，貫穿于高等數學的教學的整個過程，因為高等數學中比較重要的概念都是通過極限來定義和研究的，可見它的重要性.可以說學好極限對高等數學后續內容的學習至關重要，因此極限是教學中的重點，也是各類考試重點考核的內容[1-3].在文獻[4]中，本人曾介紹過極限的幾種常見的求解方法，但不全面，在此基礎上，我進一步地研究了函數極限求解的主要方法和技巧，總結歸納了共計13 種主要方法。

1.利用極限的四則運算法則求解函數極限

極限運算法則是繼極限定義之后的一個主要內容，它是求解函數極限最基本的方法。

定理：設 1im(f(x)±)=A，1img(x)=B，則

（1）1im(f(x)±g(x))=1imf(x)±1img(x)=A±B；

（2）1imf(x)g(x)=1imf(x)·1img(x)=AB；

說明：①定理中“1im”表示自變量是同一變化過程，對自變量的任何一種變化趨勢都成立，而且對數列極限也成立。

②注意應用四則運算法則求解極限的前提是f(x)，g(x)的極限都存在，否則不能用，且在商的法則中要求分母的極限不為零。

2.利用初等變形法求函數極限

除了利用極限的四則運算法則求解函數極限，那么求函數極限還有很多其他基本的求解方法，例如有理化方法、約分化簡法、通分化簡等等， 也就是在求解函數極限之前先將函數即極限式子進行初等變形，化成比較簡單的形式，然后再求極限.當然，這個過程還是要用到極限的四則運算法則。

利用基本方法只能求而出簡單形式的函數極限，因此我們需要進一步掌握更多的求解方法。

3.利用重要極限法求函數極限[4]

在高等數學的極限理論中，有兩個重要極限，即

它們的應用非常廣泛，很多類似的函數極限問題可以轉化為重要極限來求解，為了更好地應用重要極限，我們必須要抓住兩個重要極限的形式和特點，進而套用公式求解。

4.利用等價定理求函數極限

利用函數的極限等價定理求解極限也是在高等數學學習過程中需要重點掌握的一種方法。

分析：極限式子的第二項的極限明顯與左右趨近0 有關，故需要分左右極限討論。

注：一般地，分段函數在分段點處的極限往往需要用等價定理討論極限的存在性。

5.利用特殊結論求函數極限

當所求的函數極限滿足：極限條件是x→∞而極限式是多項式比多項式時，就可以套用以下結論：

6.利用無窮小的性質求函數極限

無窮小量是極限為零的變量， 高等數學學習中首先要理解好無窮小量的概念，其次要掌握它的性質和應用，特別是無窮小量與有界函數的乘積仍然是無窮小量，這個性質通常用來求解相應的函數極限問題。

這里我們注意到函數cos(2x+1).當x→+∞時雖然極限不存在，但是它為有界函數，即又因為所以利用無窮小量的性質可知

7.利用等價無窮小替換法求函數極限

利用等價無窮小替換的方法求解函數極限是求解函數極限非常重要的一種方法，在應用這個方法時，往往要結合其他方法，例如洛必達法則等方法，從而使問題更快的求解出來.我們常用的等價無窮小量有：x→0 時：

（1）x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～1n(1+x)～ex-1；

在利用無窮小量替換法求解函數極限時要注意：在乘積因子里可以直接替換成相應的等價的無窮小量，但是在代數和運算的式子里面盡量不要直接替換，否則就會出現錯誤。

8.利用洛必達法則求極限

洛必達法則是求解函數極限的非常重要而且也是很常用的方法，洛必達法則主要是涉及七個類型的函數極限求解問題，即七個類型，其中屬于兩個基本類型，其它的五個類型極限問題均可以通過化簡變形轉化成為基本類型求解.在利用洛必達法則求函數極限時往往需要結合等價無窮小替換的方法，這樣能夠使問題更快、更容易求解出來。

解：此題為∞-∞型，這種類型的極限通常采用通分方法將其化為基本型。

9.利用泰勒公式求函數極限

我們用泰勒公式求解函數極限時，主要是指帶有佩亞諾余項的泰勒公式.常用的公式如下有：

注：此題在上面講無窮小替換的方法時做過，當時直接等價無窮小替換就出現了錯誤，而這里用泰勒公式替換就對了，所以為什么強調在加減法的極限式子中不要輕易直接用常見等價無窮小替換，因為你找的可能不是此題的等價無窮小，否則會出錯。

10.利用導數定義求極限

通過學習導數的定義，我們知道導數是通過極限來定義的，它是函數增量與自變量增量比值的極限，即變化率問題，所以遇到類似這樣結構的極限就可以轉化為相應導數問題求解。

11.利用變量代換法求極限

變量代換法也是求解函數極限的一種典型的方法，這里的變量代換主要是指直接代換和倒代換，尤其是倒代換比較常用，這種難度的題目一般在考研或是高等數學競賽中較常見。

令 t=sinx,x=arcsint，則

12.利用中值定理求極限

高等數學中所學的中值定理包括微分中值定理和積分中值定理，這里的所說的中值定理主要涉及的是微分中值定理中的拉格朗日中值定理，它的應用是非常廣泛的，特別在求解函數極限時也很好用。

定理：設函數f(x)滿足在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，則在至少存在一點 ξ∈(a,b)，使得 f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。

在求解函數極限時，如果極限式子中出現f(b)-f(a)的形式，即函數增量問題，而且極限不好求解時，我們就可以考慮利用拉格朗日中值定理進行化簡求解。

13.利用夾逼定理求極限

利用夾逼定理求極限是求極限的一個主要方法，特別是求數列極限時往往很奏效，但求函數極限相對用的少些，我們看看下面的例子。例：求極限

以上我們總結并歸納了求解函數極限的十三種主要方法和技巧，這些方法都是比較典型的方法.當然，求極限的方法還有很多，比如求數列極限時，還可以利用定積分的定義求解，利用單調有界數列必有極限準則求極限，利用級數的必要性求解等等方法.總之，求極限的方法很多，而且各有不同，這就要求我們在學習極限求解時，要善于總結歸納，只有熟練掌握了各種求解方法，遇到問題時，才能輕松求解出來，做到事半功倍。