基于CMFO算法的投影尋蹤威脅目標評估模型

李宏偉，陳 亮，2，白景波

1.陸軍工程大學 野戰工程學院，南京210007

2.軍事交通學院 汽車士官學校，安徽 蚌埠233011

1 引言

目標威脅評估是對目標進行預警、攔截和攻擊的前提和關鍵，對其進行研究具有重要的意義。目前，常用的目標威脅評估方法包括AHP法[1]、模糊綜合評判法[2]、TOPSIS 法[3]、灰色關聯法[4]、基于貝葉斯網絡法[5]、神經網絡法[6]、熵權法[7]等。然而，這些方法在對目標威脅評估的權重的處理上，受主觀因素影響較大，評估結果客觀性不足。同時，目標威脅往往由多個非線性指標來決定，采用傳統的評價方法建立威脅目標評估模型時，受到過于數據化的限制，難以找到數據的內在規律。

投影尋蹤[8]（Projection Pursuit，PP）是處理和分析高維數據的一種新型統計方法，其基本思想是將高維數據投影到低維子空間上，并在該子空間上尋找能反映原高維數據結構或特征的投影，從而達到研究和分析高維數據的目的，在克服“維數禍根”以及解決小樣本、超高維等問題中具有明顯優勢。在實際應用中，最佳投影方向的選取決定了投影尋蹤模型的評估精度和評估結果。目前，投影尋蹤評估模型已廣泛應用于洪旱災評估、水質評估等領域。

由于，投影尋蹤評估模型具有非線性、離散等特點，傳統方法難以求解。目前，用于投影尋蹤模型最佳投影方向求解的方法主要是智能優化算法。這些算法包括：遺傳算法[9]、粒子群算法[10]、差分進化算法[11]、引力搜索算法[12]等。2015年，Mirjalili[13]受飛蛾圍繞燈光做螺旋飛行的啟發，提出了一種新的群智能算法——MFO。該算法結構、參數簡單和運行高效，受到廣大學者的青睞。到目前為止，MFO 算法已經成功運用到了工程設計[13-15]、圖像分割[16-17]、特征提取[18-19]和電力調度[20]等領域。

混沌現象是在非線性動力系統中表現的確定性、類隨機的過程，存在著貌似隨機的不規則運動，其行為表現為不確定性、不可重復、不可預測，并且對于初始值具有敏感的依賴性。混沌映射（系統）是可產生此種混沌現象的非線性動力系統。混沌映射已被眾多智能優化算法利用[21-22]，以改進全局探索和局部開發能力。為此，本文提出了基于CMFO 算法的投影尋蹤威脅目標評估模型。

2 準備工作

2.1 飛蛾火焰優化（MFO）算法

飛蛾在夜間飛行時，采用了一種獨特的導航機制——橫向定向（transverse orientation）機制。這種機制能確保飛蛾的飛行路線與飛蛾和月亮之間的連線保持一個固定的角度[23]，從而使得飛蛾沿著近似直線的方向飛行（由于飛蛾與月亮的距離非常遙遠），如圖1 所示。然而，當飛蛾以人造燈光為參考點，采用橫向定位機制導航時，由于飛蛾與人造燈光的距離較近，飛蛾將會圍繞著人造燈光做螺旋飛行，直至飛抵人造燈光（如圖2所示）。學者Mirjalili[13]模擬了飛蛾以螺旋軌跡飛抵人造燈光的自然現象，提出了MFO算法。

在MFO算法中，存在兩個重要的群體：飛蛾群體和火焰群體。飛蛾群體代表搜索空間中當前解的位置，火焰群體代表目前已知的最優解集。飛蛾群體可用矩陣M 表示，火焰群體可用矩陣F 表示：

圖1 橫向定向

圖2 圍繞近距光源螺旋飛行軌跡

其中，n 表示飛蛾、火焰的數目，d 是搜索空間的維數。向量分別用于存儲飛蛾適應度和火焰的適應度。在迭代更新過程中，飛蛾和火焰采取不同的位置更新方式：

（1）飛蛾的位置更新方式

每個飛蛾會被分配一個目標火焰，并圍繞該火焰按照以下公式更新位置：

其中，Mt-1,i表示第t-1 代第i 個飛蛾的位置，Ft-1,j表示第t-1 代第j 個火焰的位置，Mt,i表示第i 個飛蛾更新后的位置，S 表示螺旋函數。Mirjalili[13]認為滿足某些條件的任何螺旋函數都可作為函數S 。在基本MFO[13]中，采用的是對數螺旋函數。采用對數螺旋函數的飛蛾位置更新公式如下所示：

其中，Di表示第i 個飛蛾與第j 個火焰之間的距離，b是一個限定對數螺旋函數形狀的常數，r 是距離調整參數，T 是算法的最大迭代次數，t 是當前迭代次數，a 的值隨迭代過程取值由-1 線性減小到-2。

從以上更新方式來看，飛蛾群體圍繞n 個不同的火焰（對應n 個不同的優良解）搜索。然而，對n 個不同的優良解采取同等的搜索強度，可能會導致算法局部開發能力不足，收斂速度緩慢。為了解決這個問題，文獻[13]提出了一種自適應調整火焰數量的方法。通過逐漸減少火焰數量，使得飛蛾逐漸向火焰群中最優的幾個解搜索，直至在算法最后階段僅向唯一的最優解搜索。逐漸減少的火焰數量，起到了平衡局部開發和全局探索的作用。火焰數量的計算公式如下：

（2）火焰的位置更新方式

為了充分利用歷史信息，火焰群體采用以下方式更新：

其中，sort( )[Mt-1,Mt],n 表示對前一代Mt-1和當代Mt的適應度按降序排序（適應度越大對應的解越好），并保留前n 個適應度對應的n 個解作為當前火焰種群Ft。

2.2 混沌映射

在優化領域，混沌優化算法（Chaotic Optimization Algorithm，COA）是一種使用混沌變量的基于隨機搜索的方法。在COA中，由于混沌映射（chaotic maps）具有遍歷性和不重復性，可以比依賴概率的隨機搜索算法更高的速度實現全局搜索。目前常用的混沌映射有以下10種：Chebyshev map，Circle map，Gaussian map，Iterative map，Logistic map，Piecewise map，Sine map，Singer map，Sinusoidal map 和Tent map。關于以上混沌映射的詳細信息可參見文獻[24-25]。以上混沌映射具有不同的行為特性，通過歸一化的處理方式，取值可限定在[0，1]。

3 混沌飛蛾火焰（CMFO）算法

在公式（6）中，參數r 決定了飛蛾的下一個位置與對應火焰的距離。隨著r 的變化，飛蛾的位置分布在火焰周圍并形成一個圍繞火焰的超橢圓，從而保證對搜索空間的全局探索和局部開發。在基本MFO中，使用[0，1]間的均勻分布隨機數調節r 。鑒于混沌映射的優良性能，選擇用混沌映射代替公式（6）中的隨機部分(rand)，嘗試提高算法性能。改進的MFO算法稱為混沌火焰優化（CMFO）算法。不同混沌映射與MFO 結合，可得到不同的CMFO算法。為方便記錄，CMFO1～CMFO10分別 對 應 使 用Chebyshev map，Circle map，Gaussian map，Iterative map，Logistic map，Piecewise map，Sine map，Singer map，Sinusoidal map 和Tent map 的CMFO算 法。CMFOs 表 示CMFO1～CMFO10 的 算 法 集 合。CMFOs算法的偽代碼如下所示：

1. Initialize chaotic value cc；

2. update flame no using Eq.（8）.

3. Initialize M0and calculate the fitness values OM0.

4. While the termination condition is not satisfied

5. if t==1

6. OF1=sort(OM0)（sort OM0in ascending order）

7. F1=sort(M0)（sort M0according to OM0in ascending order）

8. else

9. OFt=sort(OMt-1,OMt)（sort [OMt-1,OMt]in ascending order）；

10. Ft=sort([Mt-1,Mt],n)（sort [Mt-1,Mt]according to [OMt-1,OMt]in ascending order）；

11. end；

12. update a using Eq.（7）；

13. for i=1:n

14. r=a·chaotic(cc)+1；

15. Calculate Diusing Eq.（5）with respect to Mt-1,iand Ft-1,j；

16. Update Mt( )i,j using Eqs.（4）with respect to Mt-1,iand Ft-1,j；

17. end；

18 End while

嵌入混沌映射的距離調整參數r 的代碼見第14行。

為了檢驗提出的CMFOs 算法的有效性，選擇了8個標準測試函數（如表1）。前4個是單峰函數，后4個是多峰函數。表2給出了MFO算法與CMFOs算法在標準測試函數上的平均誤差和標準差。其中，函數維數D=30，種群規模NP=D，最大函數評價次數FES=100×D，每個算法獨立運行50 次。表中以黑體標注了在當前函數下的最優結果。

表1 測試函數

表2 MFO與CMFOs的實驗結果

從表2可以看出，不論是單峰函數，還是多峰函數，CMFO8 算法都能取得優于基本MFO 算法的性能。為了進一步檢驗這種差異是否具有顯著性，引入了0.05顯著水平下的統計檢驗Wilcoxon's rank sum test。?、≈和?分別表示CMFO8 算法的性能優于、相等和劣于MFO算法。從統計檢驗的結果來看，CMFO8算法顯著優于MFO算法。CMFO8算法中采用的混沌映射是Singer map。因此，下文使用的CMFO 特指采用了Singer map的CMFO8算法。

4 基于CMFO的投影尋蹤威脅目標評估模型

4.1 投影尋蹤威脅目標評估模型

對于一般的多指標決策和排序問題，設其方案集為A={ A1,A2,…,An} ，屬性集（也稱指標集）為G={G1,G2,…,Gm}，方案Ai關于指標Gj的屬性值（指標值）記為yij(i=1,2,…,n；j=1,2,…,m)，矩陣Y=(yij)n×m表示“決策矩陣”。投影尋蹤威脅目標評估模型的建模步驟如下：

步驟1 評價指標集的歸一化處理。不同的評價指標具有不同的量綱，并且取值范圍不統一。為此，在決策之前首先應該將評價指標歸一化處理。在威脅目標評估中，較多使用到的指標有“效益型”指標和“成本型”指標[26]。所謂“效益型”指標是指屬性值越大越好的指標。“成本型”指標是指屬性值越小越好的指標。對于不同類型的評價指標，歸一化處理的方法也不同。對于效益型指標Gj，令：

通過以上歸一化處理后，得到歸一化的決策矩陣X=(xij)n×m。

步驟2 線性投影。線性投影就是從不同投影方向觀察數據，尋找最能充分挖掘和反映數據潛在信息的最佳投影方向。設投影方向為a=[a1,a2,…,am]T，且a為單位向量。則方案i 在一維線性空間的投影特征值zi的表達式為：

步驟3 投影指標函數的構造。投影指標函數可定義為：

Q(a)=S(a)D(a)

其中，S(a)為投影特征值z 的標準差：

步驟4 優化投影方向。當投影指標函數取最大值時，對應的投影方向a 即是最能反映數據特征的最佳投影方向a*。因此，尋找最佳投影方向a*的問題就轉化為求解以下帶約束的優化問題：

求解該優化問題可采用CMFO 算法，4.2 節將詳細給出CMFO算法求解該優化問題的步驟。

步驟5 方案綜合排序。根據最佳投影方向a*，便可依公式（12）計算出方案i 的綜合指標信息的投影特征值zi。方案的投影特征值zi反映了方案的優劣，按照投影特征值zi的由大到小的排序，即可對應地對方案做由優到劣的排序。

4.2 CMFO優化投影方向

目標函數（公式（13））是帶有約束的極值問題，通常情況下CMFO 求解的問題是無約束的極值問題。文獻[28]采用對約束函數賦予懲罰系數的方式，將帶約束的極值問題轉化為無約束的極值問題。在本問題中，由于公式（13）中的約束條件較簡單，可先隨機生成投影方向a′=[a′1,a′2,…,a′n]T，其中0 ≤a′i≤1,i=1,2,…,n，然后對a′單位化a=a′/‖ a′ ‖。CMFO 算法優化投影方向的步驟歸納如下：

步驟1 數據預處理。利用公式（1）和（2）對數據進行歸一化處理，設置CMFO 算法的種群規模NP ，最大函數評價次數FES。

步驟2 確定目標函數。由于MFO搜索算法是求極小值問題，因此將公式（13）的相反數作為目標函數：

步驟3 按照上文給出的CMFO 算法對目標函數進行優化，求解最優解a*

步驟4 輸出最優解a*。

5 實驗應用

在實驗中，選擇了3個實例來驗證本文提出方法的有效性。CMFO 算法的種群規模NP=20,FES=1 000。為了減少隨機性的影響，實驗是在相同的環境和參數條件下運行獨立運行100次獲得的結果的平均值。

5.1 空戰目標威脅評估

文獻[4]選擇了空中作戰目標的目標類型、航路捷徑、目標速度、到達時間和干擾強度等五個指標，使用變權理論并結合灰色關聯法，對空戰目標進行威脅度評估。歸一化后的決策矩陣X 為：

使用CMFO 索算法優化求解，求得最佳投影方向a*=(0.526 0 0 0.564 2 0.559 1 0.304 0)T，將a*代入公式（12）后得到5架敵機的投影值z*=(0.614 8 1.703 5 1.466 5 0.101 3 1.079 7)T。按照投影值z*的大小得到最終的目標威脅度排序(2,3,5,1,4)，與文獻[4]得到的威脅度排序完全一致。

文獻[29]選取空中作戰中威脅目標的空戰能力、角度、距離和速度作為評估目標威脅指標，采用離差最大化方法對空戰目標進行威脅度評估。根據計算模型給出了8架敵機與我機的空戰態勢表，規范化處理后得到決策矩陣X 為：

使用CMFO 算法優化求解，得到最優投影方向a*=(0.720 8 0 0.693 1 0)T，將a*代入公式（12）后得到8 架敵機的投影值z*=(0.910 2 0.956 6 1.005 8 1.122 8 1.084 7 0.971 7 0.937 0 0.960 6)T按照投影值z*的大小得到最終的目標威脅度排序(4,5,3,6,8,2,7,1)，與文獻[29]得到的威脅度排序(4,5,3,6,8,7,2,1)基本一致，只是在目標7和目標2的次序上有差別。

5.2 空襲目標威脅評估

文獻[30]選取了空襲目標的飛行高度、飛行速度、飛臨時間、航路捷徑、目標類型等五個指標，采用了與文獻[29]相同的方法（離差最大化）對空襲目標威脅程度進行評估。根據隸屬度函數確定空襲目標決策矩陣，并進行歸一化得到決策矩陣X 為：

使用CMFO算法優化求解，得到最優投影方向a*=(0.173 8 0.840 4 0 0.513 4 0)T，將a*代入公式（12）后得到4 種空襲目標的投影值z*=(1.030 3 0.261 5 1.029 5 0.140 0)T。按照投影值z*的大小得到最終的目標威脅度排序(1,3,2,4)，與文獻[30]得到的威脅度排序完全一致。

6 結語

本文提出了一種基于CMFO 算法的投影尋蹤威脅目標評估模型。該模型利用投影尋蹤將威脅目標評估的多維數據投影到一維空間（投影特征值），降低了評價的難度。在投影過程中，提出了一種混沌增強的MFO算法優化最佳投影方向。方案集在最佳投影方向上投影后得到的投影值，作為方案排序的依據。整個評估過程中，并不需要獲取各指標的權重，依據投影特征值即可確定目標威脅的高低。有效彌補了傳統目標威脅評估中指標權重難以確定或主觀因素較多的不足。實驗驗證了該方法的有效性，為威脅目標評估提供了更加準確和客觀的評估方法，具有良好的應用前景。文中投影指標函數的密度窗口參數在PPC中非常關鍵，然而目前密度窗口的確定還缺乏理論依據。因此，下一步可考慮構造更加實際、可行的投影指標函數。