加強的低秩表示圖像去噪算法

劉成士，趙志剛，李 強，呂慧顯，董曉晨，李金霞

1.青島大學 計算機科學技術學院，山東 青島266071

2.青島大學 自動化與電氣工程學院，山東 青島266071

1 引言

圖像去噪是一個具有挑戰性的問題，其目標是從被噪聲污染的觀察圖像中估計真正干凈的圖像，同時盡可能地保持圖像的特征。雖然已經有很多基于不同學科的去噪方法，如平滑濾波器[1]、統計[2]、小波變換[3-4]、變分和偏微分方程[5-6]以及多學科結合[7]等，但是去噪效果仍需要改進。而如何利用好自然圖像的先驗知識已經成為解決圖像去噪問題的關鍵。在最近幾年，利用圖像內在的自相似性已經被證明是提高圖像去噪表現的一種非常有效的方法，通過在圖像中尋找非局部相似塊，這種內在自相似性先驗被廣泛應用在基于塊的去噪方法中，并且取得了巨大的成功。典型的例子是三維塊匹配濾波（Block-Matching and 3D filtering，BM3D）算法[8]，它是通過分組非局部相似塊后在其變換域進行聯合濾波。BM3D算法非常高效，且已成為圖像去噪的一個參照標準。更近一些時間，相似塊分簇去噪技術已經產生了非常不錯的去噪表現，通常在這種方法中，會以組的形式將相似塊收集起來，形成相似塊矩陣，在此矩陣中，每一個塊對應一列，這些塊相同位置的像素對應一行。Dong 等人[9-10]提出的分簇稀疏表示（Sparse Representation，SR）和非局部集中稀疏表示（Nonlocally Centralized Sparse Representation，NCSR）去噪算法，結合了數據集群和基于自適應PCA 的稀疏表示。NCSR 算法中的迭代字典學習和未知稀疏系數的非局部估計使得該算法在計算上要求很高。針對這一問題，Xu等人[11]提出了一種基于預學習字典和自適應參數設置的快速NCSR算法?；诮浀浣馕鲎值涞南∈璞硎究赡軙谌ピ氲慕Y果中產生可見的人造物，為了克服這一問題，通過學習自然圖像塊得到自適應字典的方法被廣泛應用在一些圖像去噪算法中[12-15]。其中最有名的是Elad等[12]以及Elad 和Aharon[13]提出的K 奇異值分解（Singular Value Decompostion，SVD）方法來訓練一個全局過完備字典用于圖像去噪。而很大程度上由于K-SVD 開創性工作的成功，從自然圖像塊中學習字典已經成為圖像處理和計算機視覺的熱門話題。

利用圖像內在自相似性進行圖像去噪的另一條思路是低秩矩陣恢復的方法，低秩矩陣恢復（Low-Rank Matrix Recovery，LRMR）最早由Wright等人提出，指當矩陣的某些元素被嚴重破壞后，自動識別出被破壞的元素，恢復出原矩陣的方法，該算法的前提為原矩陣是低秩的或者近似低秩的。目前，LRMR主要由魯棒主成分分析（Robust PCA，RPCA）、矩陣補全（Matrix Completion，MC）和LRR[16]三類模型組成。低秩矩陣恢復可用來恢復圖像，主要是由于干凈圖像的相似塊所形成的相似塊矩陣具有低秩性質，Wang 等人證明了這一假設——由非局部相似塊組成的矩陣是低秩的且有稀疏奇異值。一些基于低秩矩陣恢復的去噪算法已經取得了不錯的去噪表現。Cai 等人[17]通過奇異值閾值方法（Singular Value Thresholding，SVT）求解標準核范數最小化（Nuclear Norm Minimization，NNM）問題。Gu 等人[18]根據奇異值的物理意義，通過指定奇異值不同的權重提高了NNM方法。NNM問題的解以SVT方法聞名，然而SVT方法在求解核范數最小化問題時，平等地對待所有奇異值，通過相同的量對它們進行收縮，這就導致在求解核范數最小化問題時通常得到的是對原始秩最小化問題的次優解。最近的研究已經表明，非凸懲罰函數相比于核范數可以更精確地估計非零奇異值[19-20]，其在求解時對奇異值的收縮值與各個奇異值相關，這是更加合理的，因為根據對奇異值的先驗知識，大的奇異值通常與主要的數據內容相聯系，應該被較小地收縮來保持數據的主要內容。但是非凸懲罰函數的利用一般受制于許多問題，如欺騙性的局部極小值和初始化問題等。為避免迭代解得不穩定性，Parekh 和Selesnick[21]提出了加強的低秩矩陣近似，通過引入滿足一定假設條件的非凸規則項，來使得整個目標函數保持凸性，從而得到封閉形式的解。Zhang 等人[22]利用相似塊矩陣的雙向相似結構，通過雙向復原來估計相似塊矩陣，提出了一個雙向非局部的去噪方法，且在一些圖像中獲得了比BM3D更好的恢復質量。相似的，Li等人[23]通過利用相似塊矩陣行與列的低秩性質，并結合群自適應字典，提出了一個雙向低秩表示模型。但是這些方法在矩陣有較高的秩或噪聲強度很大時，去噪表現會明顯下降，并且圖像結構的光滑性沒有被利用。針對這一問題，Wang 等人[24]在低秩近似模型中利用TV范數實現了圖像結構的光滑性，提高了圖像去噪質量。

低秩表示模型作為低秩矩陣恢復的一類主要模型，核范數不能夠很好地估計非零奇異值，且算法沒有利用圖像結構的光滑性。因此，在用于圖像去噪時，去噪結果不夠理想，并且恢復圖像不能有效地保持區域平滑性和邊緣特征。本文中，為了增強恢復圖像的結構和區域平滑性，把TV 范數與低秩表示模型結合到一起，另外，采用非凸懲罰函數來更好地估計非零奇異值。這樣，所提的模型能在更好地去除噪聲的基礎上，保持圖像結構和區域的平滑性，提高圖像的恢復質量。帶有非凸懲罰函數，TV范數和l2,1范數的模型變為了一個具有挑戰性的最優化問題，為了有效地解決這個問題，采用了一個交替方向最小化的方法。實驗結果證明了所提方法在主觀和客觀上的有效性。

2 相關工作

2.1 LRR模型

矩陣的低秩表示是將數據集矩陣D 表示成字典矩陣B（也稱為基矩陣）下的線性組合，即D=BZ ，并希望線性組合的系數矩陣Z 是低秩的，為此需要求解下列優化問題：

rank(Z)表示矩陣Z 的秩，由于矩陣的核范數是矩陣秩的包絡，所以將優化問題式（1）進行凸松弛，并且取數據集D 本身作為字典，同時為了對噪聲和野點更加魯棒，得到一個更合理的模型：

‖ Z ‖*為矩陣Z 的核范數，它等于矩陣Z 的奇異值之和，‖ E ‖2,1表示矩陣E 的l2,1范數。

2.2 TV范數與基于TV范數的圖像恢復

周先春等人[25]提出基于曲率變分正則化的小波變換圖像去噪方法，通過建立曲率變分模型作用于圖像高頻成分，保護恢復圖像的結構特征。而由于TV 范數具有保持邊緣信息和加強區域平滑性的能力，Beck等人[26]用它來解決圖像去噪和去模糊問題。對于灰度圖像X ∈Rm×n，文獻[26]中介紹了各向同性和各向異性的TV范數，其中各向異性的TV范數定義如下：

圖像去噪問題若用TV 范數來規范，則能夠被公式化地表示為一個帶約束的凸問題[24]：

這里，D 是噪聲圖像，‖ · ‖F為矩陣的F 范數，‖ · ‖TV為矩陣的TV 范數，即上文所介紹的，Bl,u是一個界限集合，它界定了像素值的范圍，比如對于灰度圖像，若界定其值在0到255之間，則l=0,u=255。參數ρ 用來平衡目標函數中的兩個規范項。

2.3 非凸懲罰函數估計非零奇異值

帶有非凸懲罰函數約束的低秩矩陣近似問題為[21]：

這里Y=X+W,X,Y,W ∈Rm×n,Y 為噪聲圖像，X 為干凈圖像，W 為均值為0 的加性高斯白噪聲，k=min(m,n)，σi(x)是X 的第i 個奇異值，φ 是帶有參數a 的懲罰函數，可能非凸，λ 為平衡參數。

假設1[21]（1）φ 在R 上是連續的，φ 在R上是連續可微的，并且φ 在上是對稱的，即：φ(-x；a)=φ(x；a)。

定義1[27-28]令φ:R →R 是滿足假設1的一個非凸懲罰函數，定義操作Θ:R →R 為：如果0 ≤a ＜1/λ，那么Θ 是一個閾值為λ 的連續非線性閾值函數，即：

對于矩陣X ，記號Θ(X；λ,a)表示對X 的每個元素應用此操作。

文獻[21]中已經給出證明，如果φ:R →R 是滿足假設1 的非凸懲罰函數，并且a 滿足0 ≤a ＜1/λ，那么問題（5）是嚴格凸的，且有全局最小值：

這里Y=UΣVT為Y 的奇異值分解；Θ 為式（6）中定義的，是與φ 相關的閾值函數。

3 本文去噪模型及求解

3.1 本文模型

利用圖像內在非局部自相似性，通過塊匹配方法得到的相似塊矩陣如果來自于干凈圖像，那么認為它是低秩的，在其各行與各列之間有高線性相關性。所以當相似塊矩陣用相同的字典表示時，它們的系數向量之間也同樣具有高線性相關性，對應的系數矩陣應該是低秩的?；诖朔治觯捎玫椭缺硎灸Ｐ蛯ο嗨茐K矩陣進行恢復。低秩表示模型采用核范數來估計非零奇異值，然而在求解核范數最小化問題時通常得到的是對原始秩最小化問題的次優解，所以本文采用非凸懲罰函數來更加精確地估計非零奇異值，同時為保持恢復圖像的邊緣信息，增加區域的平滑性，通過對LRR中系數矩陣施加TV范數約束，將TV范數與矩陣的低秩表示相結合。本文2.2 節介紹的TV 范數實際上是標準全變差的離散形式，全變差可以消除去噪結果中的虛假震蕩，使圖像區域更加平滑，同時保持圖像中尖銳的信號，即圖像的邊緣部分[29]，這將更適用于矩陣有較高的秩和被較大的噪聲污染的情況。

具體地，對矩陣進行低秩表示時，在對系數矩陣施加低秩約束的基礎上，再對其施加TV范數約束，然后將低秩約束用非凸懲罰函數代替，并且稀疏噪聲用l2,1范數來約束。為充分利用圖像內在自相似性，通過塊匹配方法得到圖像關鍵像素的相似塊矩陣，用所提算法對相似塊矩陣進行恢復，去噪的結果圖像通過聚集所有去噪后的圖像塊得到。最終所提去噪模型能夠公式化表示為：

這里D ∈Rm×n表示數據矩陣，即相似塊矩陣，Z 為系數矩陣，E 為噪聲。σi(z)為Z 的第i 個奇異值，φ 為本文2.3節介紹的非凸懲罰函數，‖ ‖·2,1為矩陣的l2,1范數，‖ · ‖TV為矩陣的TV范數，即2.2節所介紹的，λ 和η 為平衡參數。

這樣在保證有效去除噪聲的同時，增強圖像結構和區域平滑性，提高了圖像的恢復質量。算法更適合于矩陣有較高的秩或被較大噪聲污染的情況，一些頂尖去噪算法，如BM3D、NCSR等，存在隨著噪聲強度的增加，去噪效果明顯下降的問題。這是由于噪聲強度越大，噪聲圖像結構越復雜，所以相似塊矩陣的秩更高，錯誤更密集，算法在去噪時容易把圖像細節和噪聲混淆，使得恢復圖像過于平滑或產生可見人造物。而本文通過TV范數的引入，可以很好地平滑圖像區域，抑制可見人造物的產生，同時保持圖像結構，不至于過平滑。因此，本文算法在高噪聲強度下的表現要好得多。

3.2 模型求解

這一節中，采取一個交替方向最優化的方法來求解所提出的模型（9），即在固定其他變量的同時，優化某一變量，交替更新，直到整個式子收斂。為了解決這一問題，引入兩個輔助變量G 和H ，得到式（9）的等價形式：

這里σi(g)為G 的第i 個奇異值。引入拉格朗日乘子，使上式變為無約束的最優化問題，得到上式對應的增廣拉格朗日函數為：這里，μ 為懲罰參數表示兩個矩陣的內積，對于兩個同型的m×n 維實矩陣A和B，它們的內積為

因為問題（11）中的變量都是可分離的，所以能夠通過交替最小化方法來求解，換句話說，是在每一次迭代中，通過固定其他變量來求解一個變量。具體的，在一次迭代中，首先固定Z 、E、H ，更新G ：

然后固定Z 、E、G ，更新H ：

接著固定E、G 、H ，更新Z ：

最后固定G 、H 、Z ，更新E：

問題（14）有嚴格、封閉形式的解：

問題（12）可通過本文2.3節介紹內容獲得其解：

對于問題（13），定義如下記號[24]。

（2）線性操作L ，將P 中的元素(p,q) 變為一個m×n 的矩陣，定義如下：

這里p0,j=pm,j=qi,0=qi,n=0，對于i=1,2,…,m 和j=1,2,…,n。

（3）Pc表示對集合C 的正交投影操作。當C 用Bl,u代替時，有：

它能夠通過文獻[26]中的快速投影算法（Fast Gradient Projection，FGP）求解。

對于問題（15），引入下面對于矩陣的操作：

這里，Q為一矩陣，qi為Q 的第i 列，表示向量的二范數，向量a=(a1,a2,…,an)T∈Rn×1的二范數為，則問題（15）的解為：

每一次迭代結束后，更新拉格朗日乘子和μ：

具體的優化求解過程總結在算法2中，而整個去噪的算法總結在算法1中。

算法1從噪聲圖像y 中恢復出干凈圖像x

就我國住房產權來說，與上述“構建新時代中國特色社會主義住房基本制度”一致，在住房上無論是公有產權還是私有產權占絕對比重都不符合中國特色社會主義基本經濟制度要求，同樣需要繼續深化改革。當前我國住房上私有產權占絕對比重現狀是新時代住房產權改革的現實和邏輯起點。改革方向是改“居者有產權”為“居者可有、也可無產權”，實現住房產權多元化，形成以公有產權房(國有產權房、集體產權房)為主體多種產權房并存和共同發展的總格局。

2.i=1，2…總迭代次數執行

3.更新噪聲圖像，通過塊匹配方法得到關鍵像素的相似塊矩陣

4. j=1，2…相似塊矩陣總數執行

5.通過算法2 對每個相似塊矩陣進行去噪，得到去噪后的相似塊矩陣

6.結束j 循環

7.整合去噪后的圖像塊，得到恢復圖像x~

8.結束i 循環

算法2 優化求解問題式（9）

1.輸入：噪聲相似塊矩陣D

2.初始化：Z=G=H=0，Y1=Y2=Y3=0，μ=1E-6，1E10

3.重復執行

4.通過（17）式更新G

5.通過式（21）更新H

6.通過式（16）更新Z

7.通過式（23）更新E

8.通過式（24）更新Y1，Y2，Y3

10.直到滿足迭代停止條件

4 實驗結果

實驗中通過對干凈圖像添加均值為0，標準差為σ的高斯白噪聲，來得到噪聲圖像。首先是對整幅圖像進行低秩表示，來證明非凸懲罰函數和TV 范數對于低秩表示恢復結果的提升。其次為了證明所提算法在圖像去噪方面的有效性，通過大量測試圖像將其與一些先進的去噪算法做對比。測試的圖像包括Lena（512×512）、Barbara（512×512）、Cameraman（256×256）、Monarch（256×256）、House（256×256）。對比的去噪算法包括K-SVD、BM3D、NCSR和基于塊組的去噪（Patch Group-Based Denoising，PGBD）算法[30]。采用峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）和結構相似指數（Structural Similarity，SSIM）作為這些算法去噪表現的衡量指標。

4.1 實驗1 本文算法作用于整幅圖像

在整幅圖像的基礎上進行圖像去噪時，分別對幾幅測試圖像添加標準差σ 為20、40 和60 的噪聲，式（9）中的TV 范數的類型選擇為各項異性的TV 范數，非凸懲罰函數選擇為二次懲罰函數[31-32]：

注意，l1范數為這個懲罰函數當a →0 時的一個特例。二次懲罰函數（25）滿足2.3節的假設1，它對應定義1的操作為硬閾值函數[33]：

其他幾個滿足2.3節假設1的懲罰函數的例子在文獻[34]的Table2 中列出。根據文獻[31]，二次懲罰函數中的參數a 設置為0.6×μ，模型中的平衡參數λ 設置為，η 設置為η=2.5×λ。實驗中發現，δ作為更新式（11）中的懲罰參數μ 的乘子，其取值會明顯影響去噪結果。在這部分的實驗中，設置δ 的值為1.7、1.2 和1.1，分別對應噪聲強度20、40 和60。實驗結果的PSNR值在表1中顯示。

表1 作用于整幅圖像時本文方法與低秩表示模型的PSNR值dB

從表1 的實驗結果可以看出，相比于低秩表示模型，本文去噪算法在各個噪聲水平的PSNR值提高了約0.3 dB。其中在噪聲強度為60 的House 圖像中，PSNR值提高了0.42 dB。這表明非凸懲罰函數和TV 范數可以明顯提高低秩表示的圖像恢復效果。

4.2 實驗2 本文算法作用于相似塊矩陣進行圖像去噪

在這部分實驗中，分別對測試圖像添加均值為0，標準差σ 為40、60、80和100的高斯白噪聲，并且通過多次迭代來獲得一個最理想的去噪效果。在每次迭代開始時，采用下面的策略更新噪聲圖像，作為算法的輸入：

這里，t 表示迭代次數，x~ 是原始圖像的估計，ξ 是一個很小的正的常數，在這里設置為：ξ =0.54，0.56，0.58，0.58 分別對應噪聲強度σ =40，σ =60，σ =80，σ =100 的情況，其作用是控制反饋給下次迭代的噪聲量。這種策略可以通過更好地恢復圖像的精細結構來提高去噪表現。由于δ 主要影響去噪效果，所以在每次迭代中設置不同的δ 值，通過多次實驗得到一組理想的δ 值。對于噪聲強度為σ =40，σ =60，σ =80，σ =100 的圖像，分別設置的迭代次數為6、7、8、9。噪聲強度σ=40時，6次迭代對應的δ 值依次為5、5、10、20、20、20；噪聲強度σ=60時，7次迭代對應的δ 值依次為：1.5、2.5、5、8、10、20、20；噪聲強度σ =80 時，8 次迭代對應的δ 值依次為：1.3、1.5、3、4、7、10、20、20；噪聲強度σ=100時，9次迭代對應的δ 值依次為：1.2、1.3、3、4、7、20、20、20、20。

對于256×256的測試圖像，塊大小設置為8×8，對于512×512的測試圖像，前兩次迭代設置塊大小為16×16，后面幾次迭代設置塊大小為10×10，這是為了減少運行的時間。搜索窗口大小均設置為30×30，相似塊中的相似塊數目，根據噪聲水平而定，設置為：120、120、140、140 分別對應噪聲強度σ =40，σ =60，σ =80，σ =100。模型中的平衡參數λ 設置為，根據文獻[24]，η 設置為η=0.000 2×λ，文獻[26]中的FGP算法的最大迭代次數設為2。式（9）中的TV 范數的類型選擇為各項異性的TV 范數，非凸懲罰函數選擇為二次懲罰函數，二次懲罰函數中的參數a 設置為0.5×μ。為保證公平，所對比的方法均采用其源代碼，所有參數均采用其默認的參數。

測試圖像在不同去噪算法下的PSNR值和SSIM值在表2 中列出，其中最好的PSNR 值和SSIM 值均被加黑。從表2 中可以看到，對于所有水平的噪聲強度，本文算法的PSNR值比K-SVD、BM3D和NCSR算法要好，并且就SSIM 值而言，在絕大多數情況下要比這三種算法好。與PGBD算法相比，本文算法的結果在高強度噪聲時，無論是PSNR 值還是SSIM 值都要比PGBD 算法好，在噪聲強度σ =40 時，雖然本文算法有幾幅圖像的PSNR值稍小于PGBD算法，但其SSIM值要高于它。特別值得注意的是，對于Barbara圖像，本文算法去噪效果明顯好于其他算法，PSNR 值最高可提升約0.8 dB。就五幅圖像的平均PSNR 和SSIM 值來看，本文算法均取得最高值，在高強度噪聲時PSNR 值提升約0.3 dB，SSIM值提升約0.03。

表2 幾種算法的PSNR和SSIM結果對比

為了能夠更直觀地展示去噪效果，圖1～7顯示了不同方法去噪后的圖像。圖1 和圖2 分別是Lena 圖像在噪聲σ =60時的去噪結果圖以及局部放大后的比較，可以明顯看出本文算法的結果在圖像的結構以及區域保持上要更加平滑，不僅PSNR值和SSIM值要更高，視覺效果也更加理想。圖3和圖4分別是House圖像在噪聲σ =40時，Monarch圖像在噪聲σ =80時的去噪結果。圖5 和圖6 分別是噪聲強度σ =80 時，Barbara 圖像的去噪結果和其局部放大圖，可以明顯看到本文算法在處理這種紋理較多的圖像時，能更好地保持圖像的紋理，這要明顯好于其他算法。圖7 顯示了Camera 圖像在強噪聲σ =100 時，不同算法的去噪結果，可以看到K-SVD效果極差，NCSR 有些過于平滑了，BM3D 和PGBD 產生了不同程度可見的人造物，而本文算法的結果要好得多。

5 結束語

圖1 噪聲強度σ=60時幾種方法對于Lena圖像的去噪結果

圖2 噪聲強度σ=60 時幾種方法對于Lena圖像去噪結果的局部細節

圖3 噪聲強度σ=40 時幾種方法對于House圖像的去噪結果

圖4 噪聲強度σ=80 時幾種方法對于Monarch圖像的去噪結果

圖5 噪聲強度σ=80 時幾種方法對于Barbara圖像的去噪結果

圖6 噪聲強度σ=80 時幾種方法對于Barbara圖像去噪結果的局部細節

圖7 噪聲強度σ=100 時幾種方法對于Cameraman圖像的去噪結果

本文用非凸懲罰函數來代替低秩表示中的核范數，從而更好地估計非零奇異值，提高圖像的去噪效果，同時將TV 范數與低秩表示相結合，得到了一個新的圖像去噪模型。具體的，是對低秩表示中的系數矩陣施加TV范數約束，從而增強恢復圖像的結構和區域平滑性，進一步提高圖像的恢復質量。實驗結果證明，與其他去噪算法相比，無論在主觀還是客觀上，本文算法都取得了相當有競爭力的表現，特別是在噪聲強度很大時，去噪結果比一些頂尖去噪算法都要好。