精密微小組件球面碟簧等效解析模型構建方法

張培源 孫斌 劉海斌 朱林波

摘要：球面碟簧是精密微小組件的核心部件，其位移特性直接決定了組件系統的可靠性和穩定性。為了快速準確預測球面碟簧位移特性，提出了基于大撓度薄板彎曲理論的碟形彈簧力學建模方法，開發了精密微小組件球面碟簧的等效模型，該模型包含一個取值區間在[0，1]范圍內的等效因數；構建了球面碟簧三維有限元模型，討論了球面碟簧等效模型關鍵等效因數的選取與確定方法。研究結果表明，球面碟簧小徑和球面半徑對最優等效因數影響不大，而球面碟簧厚度與高度影響顯著；球面碟簧厚度越厚，高度越高，則等效模型與有限元計算誤差整體越大，且位移特性曲線穩定區段逐漸變窄。以此為基礎，將最優等效因數看作包含球面碟簧厚度和高度尺寸信息的無量綱函數，通過多項式擬合得到最優等效因數無量綱表達式，提高了精密微小組件球面碟簧等效模型預測精度。

關鍵詞：球面碟簧；薄殼力學；等效模型；大撓度；位移特性

中圖分類號：TH135+.2文獻標識碼： ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2020.04.012

基金項目：航空科學基金（20170870005），中國博士后科學基金（2018M631144，2019T120897）

機械擺式加速度計是慣性導航系統的敏感器件，已被廣泛應用于航空、航天、航海等領域，其性能直接決定了慣性導航和制導系統精度[1-5]。球面碟簧是機械擺式加速度計微小鎖緊機構的核心部件，其位移特性直接決定著鎖緊機構連接載荷的水平和穩定性，從而影響加速度計擺組件的安裝狀態和零偏誤差。

目前，國內外關于碟簧載荷—變形特性研究均以標準碟簧為研究對象，主要有三種方法：A-L近似解法、基于彈性板殼理論的解析方法和有限單元法。A-L近似解法由美國學者J.O.Almen和A. Laszio提出[6]，該理論簡單，且計算方便，在工程中被廣泛使用，國標中針對標準碟簧給出的載荷—變形特性和應力分量計算方法便基于此方法，但該方法存在一定的假設條件，僅適用于高厚比h/t≤1.18和內外徑比D/d≤2的低錐度碟簧。為了擴大該理論的適用范圍，在A-L解法基礎上，有學者假設碟簧截面繞某一中心轉動，考慮了切應力和徑向應力的聯系，得到了更準確的計算方法[7]。

眾多學者嘗試采用板殼理論直接求解碟簧剛度特性。Huebner[8]采用一般軸對稱圓錐殼體理論分析了碟簧變形和應力特性，獲得了碟形彈簧設計準則。國內易先忠基于厚板彎曲變形理論建立了較高精度的碟簧載荷—變形數學模型[9]，后續通過考慮實際結構特征和工作特點，進一步提出運用板殼理論中具有初始曲率大撓度的薄板彎曲模型，建立了更為簡化的解析模型[10]。

近年來，有限元技術被廣泛應用于碟簧特性分析之中。Dubey等[11]利用有限元方法對碟簧應力應變進行分析，并與理論計算結果進行對比。武銳等[12]建立了組合碟簧有限元模型，并通過試驗測試數據進行修正，分析了不同碟簧組合形式下的靜剛度特性。蘇軍等[13]建立了碟簧二維和三維有限元模型，改進了碟簧加載方法，獲得了不同類型碟簧的非線性變形特性曲線。

然而，對于球面碟簧而言，一方面其受載過程中，扇環狀剖面繞某一中心點轉動的假設不成立，A-L近似解法無法直接使用；另一方面，球面碟簧具有幾何和材料非線性特點，使得基于板殼理論建立解析模型變得尤為復雜；另外，有限元方法往往針對具體對象和個案，缺乏通用性，無法在工程實際中大規模使用。因此，針對上述問題，本文提出基于大撓度薄板彎曲理論的碟形彈簧力學建模方法，以此為基礎，開發精密微小組件球面碟簧的等效模型，并利用有限元技術研究球面碟簧等效模型關鍵等效因數的選取與確定方法，找到影響等效因數的關鍵尺寸因素，并通過多項式擬合得到最優等效因數無量綱表達式，據此提高精密微小組件球面碟簧等效模型的預測精度。

1基于大撓度薄板彎曲理論的碟形彈簧力學建模方法

通過分析碟形彈簧在工作過程中的受力狀態，本文提出以下假設條件[6，10，14]：（1）碟簧的矩形橫截面在承受載荷時不變形，只是繞中點轉動，即忽略徑向應力的影響；（2）碟簧外加載荷和支撐面反作用力沿內、外圓周均勻分布；（3）材料為線彈性體，各向同性；（4）忽略摩擦力影響；（5）碟簧經淬火、噴丸、強壓處理產生的內應力不予考慮。

為了綜合考慮工程碟形彈簧薄膜內力、彎曲內力和中面變形三者的組合效應，可采用大撓度薄板彎曲理論建立碟形彈簧的基本方程組。同時，考慮到碟形彈簧本身帶有一定的原始錐度，將碟形彈簧簡化為具有初始曲率的大撓度薄板彎曲模型，其中錐形碟簧示意圖如圖1所示。

2球面碟簧等效建模方法

目前，基于大撓度薄板彎曲理論的碟形彈簧力學建模方法已被廣泛應用于錐形碟簧的位移與剛度特性的分析之中。然而，該理論尚且存在一定的局限性，無法直接應用于描述精密微小組件球面碟簧的位移與剛度特性。

圖2為某型號機械擺式加速度計中使用的球面碟簧截面尺寸示意圖，其中球面碟簧的厚度T=0.1mm，中曲面曲率半徑SR=7mm，則T/SR=1/70。圖3為其截面簡化圖，圖4為其截面尺寸關系簡化圖。

由板殼理論可知[15-16]，當T/SR的最大值遠遠小于1，且可忽略時，定義該結構屬于薄殼，反之則為中厚殼或厚殼。而在工程計算中，一般認為T/SR<1/20時，該類板殼結構屬于薄殼。由此可見，精密微小組件球面碟簧屬于薄殼理論的范疇，與錐形碟簧求解理論類似。

其中，多項式回歸方程與真實數據輸出之間的相似程度R2=0.9999，說明擬合表達式可信度高。

5結論

通過分析，得出以下結論：

（1）提出了基于大撓度薄板彎曲理論的碟形彈簧力學建模方法，以此為基礎，開發了精密微小組件球面碟簧的等效模型，該模型包含一個取值區間在[0，1]范圍內的等效因數λ。

（2）構建了球面碟簧三維有限元模型，分析了位移特性曲線，系統討論了球面碟簧等效模型關鍵等效因數λ的選取與確定方法。

（3）研究表明：球面碟簧小徑和球面半徑對最優等效因數λ影響不大，而球面碟簧厚度與高度影響顯著；球面碟簧厚度越厚，等效模型與有限元計算誤差整體變大，且位移特性曲線穩定區段逐漸減弱，球面碟簧剛度明顯變大，最大承載能力顯著增強；球面碟簧高度越高，等效模型與有限元計算誤差大幅增大，位移特性曲線穩定區段相應減弱，球面碟簧最大承載力有所增加。

（4）將最優等效系數λ看作包含球面碟簧厚度和高度尺寸信息的無量綱函數，通過多項式擬合得到最優等效因數λ無量綱表達式，提高了精密微小組件球面碟簧等效模型預測精度，后續將開展相關試驗研究，進一步驗證所提等效模型的正確性。

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（責任編輯王為）

作者簡介

張培源（1989-）男，碩士。主要研究方向：精密微小器件性能穩定性研究。

Tel： 029-83395038E-mail： a1989111111@163.com

朱林波（1985-）男，博士，講師。主要研究方向：精準數字裝配理論與技術。

Tel： 029-83395038E-mail：linbozhu@mail.xjtu.edu.cn

Equivalent Modeling Approach of Spherical Disc Springs for Precision Miniature Components

Zhang Peiyuan1，Sun Bin2，Liu Haibin2，Zhu Linbo3，*

1. Key Laboratory of Education Ministry for Modern Design and Rotor-Bearing System，Xian Jiaotong University，Xian 710049，China 2. AVIC Xian Flight Automatic Control Research Institut，Xian 710077，China

3. School of Chemical Engineering and Technology，Xian Jiaotong University，Xian 710049，China

Abstract： Spherical disc springs are the core components of precision miniature assembly， and their displacement characteristics directly determine the reliability and stability of the assembly systems. In order to quickly and accurately predict the displacement characteristics of spherical disc springs， this paper presents a mechanical modeling method for disc springs based on the thin plate flexure theory with large deflection. Consequently， an equivalent model of spherical disc springs for precision miniature components is developed. The model involves an equivalent coefficient with the range of [0， 1]. The three-dimensional Finite Element （FE） model of the spherical disc spring is built to determine the key equivalent coefficient. The analysis results show that the internal radius and spherical radius of spherical disc spring have little effect on the optimal equivalent coefficient， while the thickness and height have significant influence； The increases of the thickness and height will increase the calculation error between the equivalent model and FE model， and the stable range of the displacement characteristic curve is gradually narrowed. Based on this， the optimal equivalent coefficient as a dimensionless function with the thickness and height of the spherical disc spring is obtained by polynomial fitting， which can improve the prediction accuracy of the spherical disc spring equivalent model for precision miniature components.

Key Words： spherical disc spring； shell theory； equivalent model； large deflection； displacement characteristics