求三角函數值的多種途徑

陳德前

在歷年的中考試題中，求三角函數值是一個熱點，現以中考試題為例，說明求三角函數值的常用方法，

一、運用定義求三角函數值

例1 （2019.眉山）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12.將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE.使得點D落在AC上，則tan∠LECD的值為

.

解析：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=13.

根據旋轉的性質可得AE=13，AD=5，DE=12.

∴ CD=8.

∴tanLECD= DE/DC=12/8=3/2.

點評：運用定義求三角函數值，一般先用勾股定理求出直角三角形的相應邊長，再求銳角三角函數的值，

二、構造贏角三角形求三角函數值

例2 （2019.宜昌）如圖2，在5x4的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，則sin∠BAC的值為（

）.

點評：在非直角三角形中求銳角三角函數值，要先作高線，將斜三角形轉化為直角三角形的組合.解答網格問題，要充分利用網格的特點.

點評：引進參數求銳角三角函數值時，一般先設一個參數（比如本例設AB=x），再用含參數的代數式表示出直角三角形其他各邊的長，然后根據三角函數的定義來求解.

點評：求解這類問題時要熟記特殊角的三角函數值，有時需要借助三角形的內角和定理求出未知的特殊角的度數，再利用特殊角的三角函數值得到答案.本題也可以利用銳角三角函數的定義求解，請同學們試一試.

點評：當要求的角不在直角三角形中時，除了可以通過作高構造直角三角形，也可以利用等腰三角形、全等三角形、相似三角形、平行四邊形、圓的性質等知識，將所要求的三角函數值對應的角進行等角轉化，再利用等角的三角函數值來獲得答案.

點評：本題的解法比較多，這里從整體出發，通過求相似三角形的相似比求出直角三角形兩直角邊的比，顯得簡單快捷.

2.整體處理兩角的和

例7 （2019.自貢）如圖5.在由10個完全相同的等邊三角形構成的網格圖中，α、β如圖所示，則cos（α+β）=____.

點評：本題考查銳角三角函數、等邊三角形的性質以及圖形變化規律等知識，構造出一個內角等于a+p的直角三角形是解題的關鍵.

3.整體求三角函數和（差）的值

例8 （2019.綿陽）我國古代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”如圖6所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形的面積是125，小正方形的面積是25，則（sinθ-cosθ）2=（

）.

點評：直接求出cos0或sin0的值是比較困難的，這里利用“趙爽弦圖”中小正方形的邊長等于直角三角形兩直角邊長的差，再將直角三角形的兩條直角邊長用大正方形的邊長表示出來，進而整體求出了cosθ-sinθ的值.