建立直角三角形模型的類型剖析

王芳

建立直角三角形模型，就是把非直角三角形轉化為直角三角形，進而借助三角函數解決問題.這類題目的類型比較多，也非常重要，下面分類加以剖析.

類型一：建立單一的直角三角形模型

例1 （2019.臺州）圖1是一輛在平地上滑行的滑板車，圖2是其示意圖.已知車桿AB長92 cm.車桿與腳踏板所成的角即∠ABC=70°，前后輪子的半徑均為6 cm，求把手A離地面的高度（結果保留小數點后一位.參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）.

點評：本題從實際問題中建立單一的直角三角形模型，借助三角函數建立邊角關系，通過求直角三角形的邊長解決問題.

類型二：建立“背靠背”型的雙直角三角形模型

例2 （2019.內江）如圖3，已知兩座建筑物DA與CB，其中CB的高為120 m.從DA的頂部A測得CB頂部B的仰角為30°，測得其底部C的俯角為45°.這兩座建筑物的地面距離DC為多少米（結果保留根號）？

點評：本題通過作高線，得到“背靠背”型的雙直角三角形，借助兩個直角三角形的公共邊建立兩三角形的聯系，進而列方程解決問題，

類型三：建立“母子”型的雙直角三角形模型

例3（2019.郴州）如圖4，巡邏船在A處測得燈塔C在北偏東45°方向上，距離A處30 km.在燈塔C的正南方向B處有一漁船發出求救信號，巡邏船接到指示后立即前往施救.已知B處在A處的北偏東60°方向上，這時巡邏船與漁船的距離是多少千米（精確到0.01 km.參考數據：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）？

點評：本題求解的關鍵是根據題目中所給的方向角構造雙直角三角形，利用三角函數建立邊角關系，進而解決問題.

類型四：建立“擁抱”型的雙直角三角形模型

例4（2019.襄陽）襄陽臥龍大橋橫跨漢江，是我市標志性建筑之一，某校數學興趣小組對豎立的索塔在橋面以七的部分（上塔柱BC和塔冠BE）進行了測量.如圖5所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距離為121 m，拉索AB與橋面AC的夾角為37°.從點A出發沿AC方向前進23.5 m到達點D.在D處測得塔冠頂端E的仰角為45°.請你求出塔冠BE的長度（結果精確到0.1 m.參考數據sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈ 1.41）.

點評：本題通過連接DE，構造“擁抱”型的雙直角三角形，分別求解兩個直角三角形，使問題得到解決.