求值如添“翼”平行“牽”相似

王鋒

在人教版九年級數(shù)學下冊第27章“相似三角形的判定”一節(jié)中，有一個三角形相似的判定定理——“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”.與此判定定理相關(guān)的習題“占據(jù)”了相似圖形問題的“半壁江山”，因此我們透徹理解這個定理的內(nèi)涵，掌握這個定理所蘊涵的基本的相似圖形，對解決與此相關(guān)的相似問題具有非常重要的作用.

如圖1、圖2，DE//BC，△ADE∽△ABC.

為了在解決問題時敘述方便，我們把上述兩個圖形稱為一對平行線型的相似圖形.

在解決相似圖形中求線段的比值及成比例線段這類問題時，我們發(fā)現(xiàn)有些問題中根據(jù)題目的條件無法直接獲取成比例的線段，常常需添加平行線構(gòu)造相似三角形來轉(zhuǎn)移比例線段.平行線位置的選擇，不僅關(guān)系到求解的繁簡，而且決定解題的成敗，怎樣作平行線才能獲得最佳的解題途徑呢？下面舉例說明.

解法8：過點E作EF//BC交AD于點F，則△AEF∽△ACD，△EFG∽△BDG.解法略，請讀者朋友類比以上解法給出問題的解答過程.

解法9：過點E作EF//AD交BC于點F，則△CEF∽△CAD，△BGD∽△BEF解法略，請讀者朋友類比以上解法給出問題的解答過程，

反思上面證明的探索過程可以發(fā)現(xiàn)：我們選取了過△ABC的各個頂點作AD或BE或此頂點所在角的對邊的平行線，或過兩邊上的分點作平行線，來構(gòu)造出兩組平行線型的相似三角形，從而利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，結(jié)合比例的性質(zhì)，通過比例線段之間的相互轉(zhuǎn)化來獲取線段長度的比值.從解題過程中我們發(fā)現(xiàn)：由作出的平行線能夠得到兩個“A”型或兩個“X”型或一個“A”型一個“X”型的相似三角形，這樣將它們得到的比例線段根據(jù)目標相互代換“融合”在一起，便可以打通探究線段長度比值之間的“脈絡(luò)”.