一道與相似有關(guān)的問(wèn)題的拓展

魏祥勤

一些中考試題是以課本例題或習(xí)題為模板通過(guò)改編而設(shè)計(jì)的探究型問(wèn)題.下面以人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第58頁(yè)“拓廣探索”的一道練習(xí)題為例，對(duì)與相似有關(guān)的銳角三角形內(nèi)接正方形求邊長(zhǎng)的問(wèn)題進(jìn)行探究，并把問(wèn)題進(jìn)一步拓廣，探究銳角三角形內(nèi)接矩形面積最大值的求解問(wèn)題，以及半圓形內(nèi)接矩形面積最大值的計(jì)算問(wèn)題.

例1 （人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第58頁(yè)第11題）如圖1，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120 mm，高AD=80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形EFHG的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上.這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？

變式1：如圖2，銳角三角形ABC中，BC=120 mm，高AD=80 mm，矩形EFHG是△ABC的內(nèi)接矩形.當(dāng)矩形EFHG的邊長(zhǎng)分別是多少時(shí)，矩形EFHG的面積S最大？60 mm時(shí)，面積最大，

變式2：如圖3，在直徑是120 mm的半圓中，畫(huà)出矩形EFHG，使得E，F(xiàn)兩點(diǎn)位于半圓弧上，兩點(diǎn)G，H位于直徑AB 上.當(dāng)矩形邊長(zhǎng)分別是多少時(shí)，矩形EFHG的面積最大？

探究三角形的內(nèi)接矩形的最大面積時(shí)，綜合運(yùn)用了相似三角形及二次函數(shù)等知識(shí).探究半圓的內(nèi)接矩形的最大面積時(shí)，綜合運(yùn)用了圓的有關(guān)性質(zhì)、完全平方公式，其實(shí)由變式l與變式2可得到一般結(jié)論：（1）任意三角形的內(nèi)接矩形的最大面積是原三角形面積的一半，此時(shí)平行于三角形一邊的矩形的邊是三角形的中位線.（2）半圓的內(nèi)接矩形的最大面積是圓半徑長(zhǎng)度的平方，此時(shí)矩形的長(zhǎng)是半徑長(zhǎng)度的√2倍.