擬周期復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的雙尺度有限元誤差分析

李志青LI Zhi-qing；藍(lán)光進(jìn)LAN Guang-jin；馮南飛FENG Nan-fei

（廣東財經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院，廣州511300）

0 引言

材料是科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要基礎(chǔ)，在新材料的開發(fā)利用過程中經(jīng)常需要對一類具有擬周期結(jié)構(gòu)復(fù)合材料進(jìn)行分析。這些復(fù)合材料由于系數(shù)局部變化很大，已經(jīng)有很多的學(xué)者和專家用均勻化方法研究了該類問題，文獻(xiàn)[1-5]，曹、崔、馮和張等分別研究了三維編織復(fù)合材料等效力學(xué)參數(shù)的雙尺度計算和擬周期復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的二階雙尺度漸近分析以及具有小周期結(jié)構(gòu)復(fù)合材料熱力耦合問題的多尺度分析及雙尺度有限元算法；但他們均是對于一般區(qū)域中熱力耦合現(xiàn)象的數(shù)值模擬與計算方法的討論，對于擬周期結(jié)構(gòu)復(fù)合材料熱力耦合問題的有限元解問題以及它的有限元誤差估計分析還是很少人討論。關(guān)于擬周期復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的熱力耦合動態(tài)問題可表述為以下的微分方程組：

具有擬周期復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的熱力耦合的瞬態(tài)問題精確解和數(shù)值解是非常困難，為了簡化問題，我們僅考慮具有Dirichlet 邊界的穩(wěn)態(tài)問題，所以假設(shè)

通過上述假設(shè)，把ρbi和放在一起考慮，那么問題可以重新寫成下面兩個子問題：

其中：

1 均勻化方程及的、雙尺度漸近展開

假設(shè)問題（2）有如下的雙尺度形式漸近解：

假設(shè)Hα1（ξ），Hα1α2（ξ），Hα1α2α3（ξ）…都是定義在整個空間Rn上，且都是關(guān)于ξ 為周期的函數(shù)，它們均在單胞Q 上定解。

將式（4）代入方程組式（2）中，根據(jù)ε 的任意性，通過認(rèn)真計算且比較ε-2，ε-1，ε0，ε1，…對應(yīng)的邊界條件和兩邊系數(shù)后，可得Hα1（ξ）、Hα1α2（ξ），可由下面問題定解：

其中：

θ0（x）為對應(yīng)問題（2）的均勻化解，其滿足如下的常系數(shù)均勻化方程：

其中：

將式（10）代入方程組式（3）中，根據(jù)ε 的任意性，通過認(rèn)真計算且比較ε-2，ε-1，ε0，ε，…的邊界條件及兩邊系數(shù)后，可得和可由下面微分方程定解：

其中：

2 有限元誤差估計分析

在Q 和Ω 中，我們引入兩個函數(shù)空間：

其中：

定理2.3：假設(shè)Ω 是具有Lipschitz 邊界的有界區(qū)域，是問題（1）的弱解，是其L-階雙尺度有限元漸近解，，，

成立。當(dāng)L=1 時，有以下估計式成立：

其中Ci和是與ε 無關(guān)的正常數(shù)。

定理2.2 和定理2.3 的證明類似于定理2.1 的證明方法和技巧。

3 雙尺度有限元算法過程

①確定材料或區(qū)域?qū)傩?，特別是小周期內(nèi)的各種材料的構(gòu)成；②計算標(biāo)量函數(shù)，矩陣函數(shù)和向量函數(shù)的有限元解；③計算對應(yīng)的均勻化系數(shù)；④計算相對溫度增量和位移矢量的均勻化解與；⑤計算；⑥得到相應(yīng)的有限元誤差估計式。

4 小結(jié)