運籌學(xué)原理在礦料級配設(shè)計中的應(yīng)用研究

盧宗益

(自貢市公路水運質(zhì)量監(jiān)督站，四川 自貢 643000)

0 前 言

合理的礦料級配組成是瀝青混合料、水泥混凝土以及各類穩(wěn)定土配合比設(shè)計中的重要內(nèi)容，是發(fā)揮其最大限度結(jié)構(gòu)強度和獲得最佳使用性能的基礎(chǔ)。本文以瀝青混合料為例分析了現(xiàn)有設(shè)計方法的優(yōu)劣，提出了采用運籌學(xué)原理，通過“貝雷法”參數(shù)對目標(biāo)級配進行求解的新方法。

1 傳統(tǒng)的設(shè)計方法

1.1 圖解法和試算法

圖解法和試算法計算過程復(fù)雜、計算效率低、極易出錯，得出比例后尚需應(yīng)用“貝雷法”參數(shù)等檢驗級配的優(yōu)劣。

1.2 利用Excel進行規(guī)劃求解的方法

該方法通過設(shè)置約束條件，使用Excel的規(guī)劃求解功能可以快速地算出各礦料比例。但約束條件設(shè)置不統(tǒng)一，多數(shù)以摻配比例之和等于100%為目標(biāo)，各篩孔通過率在要求級配范圍內(nèi)為約束條件，致使在某些情況下得不到解，即使得到解也不能判斷其優(yōu)劣，僅能滿足級配范圍而已。

1.3 正規(guī)方程法

通過構(gòu)造線性方程組并對其使用人工或計算機求解，數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

式中，k為篩孔編號，i=0，1，2，3……，n；i為礦料種類；Pki為第i種礦料第k號篩孔的通過率；Pk為目標(biāo)級配第k號篩孔的通過率。

通過計算機求解可快速計算出與目標(biāo)級配相近的解，但該方法僅僅通過線性回歸，未對比例做非負(fù)約束，經(jīng)常無解，或計算出的解部分為負(fù)值，且不能判斷其優(yōu)劣性。

2 運籌學(xué)原理的應(yīng)用

2.1 “貝雷法”參數(shù)介紹

貝雷法是近年來用于瀝青混合料級配設(shè)計和檢驗的完整方法[1],已受到國內(nèi)外的普遍關(guān)注。當(dāng)合成級配決定后,貝雷法提出三參數(shù)CA比[CA]、FAc比[FAc]、FAf比[FAf]對其進行分析,其中表征粗集料內(nèi)部比例組成的參數(shù)是CA比[CA]，計算公式為：

(2)

式中，PD/2為粒徑D/2(D為公稱最大粒徑)的通過率,%；Ppcs為第一控制篩孔(PCS為與公稱最大粒徑的22%最接近的篩孔)的通過率，%。

CA比[CA]反映了粗集料中大粒徑顆粒與D/2～PCS粒徑顆粒之間的均衡關(guān)系,這種均衡關(guān)系將影響瀝青混合料的壓實特性和路用性能。

FAc比[FAc]用來反映細(xì)集料中粗料部分與細(xì)料部分的嵌擠、填充情況，計算公式如下：

(3)

式中，PTCS為第三控制篩孔的通過率,%；FAc比主要用于控制級配曲線出現(xiàn)駝峰。

FAf比[FAf] 影響混合料的體積特性。一般VMA值隨其減小而增大，計算公式如下：

(4)

式中，PSCS為第二控制篩孔的通過率,%。

貝雷法三參數(shù)的建議范圍見表1。

表1 貝雷法三參數(shù)的建議范圍[1]

2.2 礦料級配構(gòu)成比例計算要求分析

1)要求各礦料按一定比例進行摻配后得到結(jié)果的各篩孔通過率最接近目標(biāo)級配在各篩孔的通過率，即得到∑|Pmk-Prk|的最小值，Pmk為目標(biāo)級配在第k個篩孔的通過率，Prk為計算結(jié)果在第k個篩孔的通過率。

2)要求各礦料摻配比例之和等于100%，且各礦料參配比例均大于等于0。

3)要求摻配后的結(jié)果在0.3～0.6不出現(xiàn)駝峰，即滿足[FAc]及[FAf]范圍要求。

4)要求粗骨料形成骨架，細(xì)集料、填料及瀝青進行填充達(dá)到要求的空隙率，即滿足[CA]范圍要求。

2.3 數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)2.2分析可知，要解決的問題屬于運籌學(xué)中的約束極值求解問題，其標(biāo)準(zhǔn)型式為：

min f(x)

s.t.go(x)≥0，(o=1，2，3……，l)

hp(x)=0，(p=1，2，3……，k)

式中，f(x)為目標(biāo)函數(shù)；go(x)為不等式約束條件；hp(x)為等式約束條件。

具體模型：

Min f(x)= ∑|Pmk-Prk|

s.t.g1(x)=[CA]-[CA]min≥0；

g2(x)= [CA]max-[CA]≥0；

g3(x)= [FAc]-[FAc]min≥0；

g4(x)= [FAc]max-[FAc]≥0；

g5(x)= [FAf]-[FAf]min≥0；

g6(x)= [FAf]max-[FAf]≥0；

h(x)=∑xi-1=0；

xi≥0；

式中，xi為第i種礦料的摻入百分比；[CA]min、[CA]max、[FAc]min、[FAc]max、[FAf]min、[FAf]max為貝雷法參數(shù)的下限和上限值。

2.4 數(shù)學(xué)模型的求解

2.4.1 求解方法的選擇

運籌學(xué)對約束極值問題的解法有直接法(包括隨機方向搜索、復(fù)合形法和可行方向法)和間接法(包括內(nèi)點法、外點法和混合點法)，直接法需要對目標(biāo)函數(shù)進行求導(dǎo)，間接法中的內(nèi)點法要求初始值在可行域內(nèi)，外點法初始點無限制[3]。按2.3所述，目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)且導(dǎo)數(shù)難以求得，而要得到可行域內(nèi)的初始點也非易事，故選擇外點法進行求解。

2.4.2 外點法求解模型

根據(jù)2.3數(shù)學(xué)模型構(gòu)造懲罰項得到新的目標(biāo)函數(shù)將約束問題轉(zhuǎn)換成無約束問題得：

min?(x,M)=min {f(x)+M∑G(go(x))}

式中，go(x) ≥0時，G(go(x))=loggo(x)，go(x) <0時G(go(x))=0;

M為罰因子取初值5，每次迭代按2倍增長。

為嚴(yán)格約束各摻配比例之和等于100%，將h(x)=0改寫為不等式約束g7(x)= ε-∑xi-1≥0。

構(gòu)造出新的目標(biāo)函數(shù)后可采用無約束優(yōu)化問題解法進行求解，根據(jù)實際情況選擇步長加速法[3]，該方法無需對函數(shù)進行求導(dǎo)等操作，適于計算機求解。

2.4.3 求解的C#代碼實現(xiàn)

Vector Msut(Vector X)//外點法求解主程序

{

Vector X,int C=1000,int M=5,double e=0.00001;

While(C>0){

C--;M*=2;Vector V= Stepsize(?(x,M));

if((X-V).Mod

}}

VectorStepsize(Vector X,Function F)//步長加速法求解程序

{

Vector X_copy = X.DeepCopy();intC = 1000;double e=0.00001;

while (C>0)

{

C--; if (S

for (int i = 0; i < X_copy.Dimension; i++)

{

Vector E = Vector.Zeros(X_copy.Dimension);E[i] = step;

X0 =F(X0+E) < F(X0)?X0+ E:X0;

X0 =F(X0-E) < F(X0)?X0+ E:X0;

}

if (X_copy ==X0){ S=S/2;continue;}

Vector V= X_copy + 2 * (X0-X_copy);

if (F(V)

X_copy = X0;S= S /2;

}

return X_copy;

}

2.4.4 計算結(jié)果實例

以AC-13C瀝青混凝土配合比為例，各礦料篩分?jǐn)?shù)據(jù)見表2。

表2 礦料篩分結(jié)果 %

通過程序自動計算各礦料摻配比例為：

碎石10～15 mm：碎石5～10 mm：碎石3～5 mm：石屑0～3 mm：礦粉=20.4∶26.8∶18.8∶28.7∶5.3，級配曲線見圖1。

通過圖1可以看出，采用本文方法計算的礦料比例能夠很好的擬合目標(biāo)級配曲線，同時計算出的礦料級配[CA]=0.6滿足“貝雷法”推薦參數(shù)表的要求，能夠很好地形成礦料骨架，由于對[FAf]和[FAc]的限制，有效地避免了0.3～0.6出現(xiàn)駝峰的情況。總的來說，很好地滿足了礦料級配構(gòu)成比例計算的要求。級配曲線見圖1。

圖1 級配曲線

3 結(jié) 論

采用運籌學(xué)原理，通過“貝雷法”參數(shù)對目標(biāo)級配進行擬合的新方法，有效地彌補了現(xiàn)有礦料級配設(shè)計方法的不足，既能高度擬合目標(biāo)級配，又能通過“貝雷法”三參數(shù)控制礦料級配，使之滿足粗骨料形成骨架，細(xì)骨料有效填充，達(dá)到發(fā)揮混合料最大限度結(jié)構(gòu)強度和獲得最佳使用性能的目的。同時筆者對該計算方法采用了C#代碼實現(xiàn)，具有很好的移植性和復(fù)用性，不依賴其他軟件平臺，為配合比設(shè)計CAD系統(tǒng)的實現(xiàn)打下了基礎(chǔ)。