混凝土與各向同性巖石強度理論研究進展

丁發興，吳 霞，向 平，余志武，龔琛杰

(1.中南大學土木工程學院，湖南，長沙 410075；2.湖南省裝配式建筑工程技術研究中心，湖南，長沙 410075)

混凝土(包括輕骨料混凝土)和巖石兩大類土木工程材料在各類工程與自然界中廣泛應用或存在，它們大多處于復雜受力狀態。兩大類土木工程材料強度理論是工程結構強度與圍巖穩定性分析等的基礎理論，在現代建筑、水利與交通等工程中具有重要應用意義。近年來隨著強度理論的逐漸發展與成熟，其中混凝土結構設計率先挖掘其塑性潛能。

古典強度理論對于材料破壞的原因有明確的理論觀點，概念明確，表達式簡單，參數少且易于確定，但難以準確反映復雜應力狀態下兩大類土木工程材料的強度變化規律。18世紀Coulomb[1]提出了適用于砂土的強度理論，此后引領了眾多學者對各類土木工程材料強度理論的研究熱情。Mohr-Coulomb強度理論[2]建立的砂土強度理論得到各界廣泛認可并大量應用，至今已有上百種基于各向同性假設的強度理論，該類強度理論可分為剪應力強度理論、八面體強度理論與主應力強度理論。剪應力強度理論與主應力強度理論基于材料破壞的力學觀點與力學模型而提出具有一定物理意義的強度理論，剪應力強度理論包括單剪和雙剪兩個系列強度理論，主應力強度理論主要是Mises屈服理論和損傷比強度理論，而八面體強度理論基于大量試驗數據而對材料破壞包絡面進行數學擬合，或根據材料破壞面幾何形狀特征給出數學表達式而對其中參數進行擬合。

目前，土木工程材料強度試驗資料豐富，理論研究成果也豐富，本文在現有混凝土與各向同性巖石三軸試驗資料的基礎上，為保持工作的完整性首先對古典強度理論進行簡單介紹，然后，結合收集到的試驗資料對混凝土與各向同性巖石的主要現代強度理論進行比較、論述與總結，在此基礎上對主應力空間損傷比強度理論進行展望。

1 古典強度理論

現有研究表明古典強度理論難以準確反映復雜應力狀態下混凝土與各向同性巖石的強度變化規律，古典強度理論主要包括以下四大強度理論[1]：

1)第一強度理論，又稱為最大拉應力理論(Rankine，1876年)[3]，該理論適用于脆性材料，僅考慮最大主拉應力對材料破壞的影響，認為材料承受的最大主拉應力達到某一極限值時即發生破壞；

2)第二強度理論，又稱為最大拉應變理論(Mariotte，1682年)[3]，該理論適用于脆性材料，認為材料所承受的最大主拉應變達到某一極限值時發生破壞；

3)第三強度理論，又稱為最大剪應力理論(Tresca，1864年)[3]，該理論適用于低碳鋼等塑性材料，認為材料所承受的最大剪應力達到某一極限值時發生塑性流動破壞；

4)第四強度理論，即 Mises屈服理論(Von Mises，1913年)[3]，既稱為主應力理論又稱為八面體剪應力理論，該理論適用于塑性材料，認為材料所承受的統計平均剪應力或八面體剪應力達到某一極限值時屈服。

2 現代強度理論

為方便論述與比較，本文所有涉及強度理論的表達式，應力值統一規定受拉為正、受壓為負，拉壓子午線定義統一以θ= 0°時為拉子午線，θ= 60°時為壓子午線；八面體強度理論各準則參數取值方法為數據擬合時，統一用筆者收集的各文獻中拉、壓子午線上實驗數據對該準則的參數進行擬合而確定；雙剪強度理論體系中，反映中間主切應力以及相應面上正應力對材料破壞程度的參數b統一取為1；強度理論中各符號的物理意義解釋見附錄。

2.1 混凝土強度理論

迄今為止眾多國內外學者開展了混凝土多軸強度試驗，根據國內外混凝土多軸強度的大量試驗結果，混凝土破壞包絡面的幾何形狀具有如下特征[3－5]：1)曲面連續、光滑、外凸；2)對靜水應力軸三折對稱；3)在靜水應力軸的拉端封閉，頂點為三軸等拉應力狀態；壓端開口，不與靜水壓力軸相交；4)子午線上各點的偏應力或八面體剪應力值，隨靜水應力或八面體正應力的代數值的減小而單調增大，但斜率漸減，有極限值；5)偏平面的封閉曲線三折對稱，其形狀隨靜水應力或八面體正應力值的減小，由近似三角形逐漸外凸飽滿，過渡為一圓。

國內外學者們提出的各種混凝土強度理論，先后出現八面體強度理論、雙剪強度理論和主應力空間損傷比強度理論，各種理論[6－27]及其評述列表見表1，由表1可知：

1)混凝土八面體強度理論參數確定方法主要有應力特征點和最小二乘法，前者參數確定簡便而后者需根據大量數據擬合參數，大多數八面體強度理論的三維破壞包絡面頂點處出現尖角；

2)俞茂宏提出的雙剪強度理論[3]考慮了作用于雙剪單元體上的全部應力分量及其對材料破壞的不同影響方式，認為當作用于雙剪單元體上的兩個較大切應力及其相應面上的正應力影響函數到達某一極限時材料破壞，雙剪強度理論體系中，兩參數和三參數雙剪強度理論[17,19]的破壞包絡面由6或12個平面相交組成，四參數和五參數由6或12個曲面相交組成，相交處都不光滑，且頂點有尖角；

3)丁發興和余志武[26―27]提出的主應力空間混凝土雙參數損傷泊松比(簡稱損傷比)強度理論，將混凝土受壓損傷比(vD,c>0.5，體積膨脹)和受拉損傷比(vD,t<0.5，體積收縮)作為強度準則的基本參數，受壓損傷比考慮了Lode角的影響而受拉損傷比為一常數。

為了比較各準則的破壞包絡面規律，筆者收集了國內外共397組混凝土多軸試驗數據[28―37]，各準則對應的拉壓子午線與試驗數據的比較如圖1所示。圖1中各準則中的參數取值方法為特征應力點法時，采用過鎮海[3]建議的強度特征值，即單軸抗壓強度fc、單軸抗拉強度ft= 0.1fc、二軸等壓強度fcc= 1.28fc、三軸等拉強度fttt= 0.9ft、高靜水壓情況下σ8/fc=-4，τ8/fc= 2.7，θ= 60°，準則中只有 3個或4個參數選前3個或前4個特征強度，若準則已有規定的特征值或參數則取原值，準則參數取值方法為數據擬合的各參數取值見表1，由圖1可見：

表1 各混凝土強度理論表達式Table 1 Expressions of concrete strength theory

(續表)

圖1 各混凝土強度準則對應的拉壓子午線比較Fig.1 Comparisons of concrete strength criterion between tensile and compressive meridian and experimental data

1)混凝土八面體強度理論中 Ottosen[8]、Kotsovos[10]以及宋玉普-趙國藩準則[13－14]等八面體強度理論與混凝土拉壓子午線上的三軸試驗數據變化規律較一致，其中 Kotsovos準則和宋玉普-趙國藩準則中的參數由數據擬合而定；

2)當靜水應力σ8/fc>-4時，四、五參數雙剪強度理論[23―24]與混凝土拉壓子午線上的三軸試驗數據變化規律較一致；

3)丁發興和余志武[26―27]提出的主應力空間混凝土雙參數損傷比強度理論，其三軸破壞面光滑連續，由于受壓損傷比僅考慮了 Lode角而忽略了靜水應力的影響，與試驗結果相比，該準則在混凝土處于較高靜水壓力狀態時略偏大，而在較低靜水壓力狀態時略偏小。

由于各準則數量較多，選取在靜水應力σ8/fc>-4時與混凝土拉壓子午線上的三軸試驗數據變化規律較一致的強度準則，該類準則對應偏平面圖與試驗數據的比較如圖2所示，可見各準則的偏平面變化規律基本一致，其中兩參數雙剪強度理論[17]的破壞包絡面基本上處于外凸八面體強度理論的外邊界[38]。

混凝土各準則與試驗數據八面體剪應力比較的均值和離散系數見表2，由于混凝土三軸破壞包絡面上的試驗數據點分布并不勻稱，使得丁發興-余志武[26―27]損傷比強度理論與試驗結果相比精度最高，Hsieh-Ting-Chen[9]八面體強度理論次之，兩者的離散系數相對最小。

2.2 輕骨料混凝土強度理論

根據國內外已有的輕骨料混凝土多軸強度試驗結果，輕骨料混凝土破壞包絡面的幾何形狀具有如下特征[3,39]：1)曲面連續、光滑、外凸；2)對靜水應力軸三折對稱；3)在靜水應力軸的拉端和壓端封閉，拉端頂點為三軸等拉應力狀態，壓端頂點為三軸等壓應力狀態；4)子午線上各點的偏應力或八面體剪應力值，隨靜水應力或八面體正應力的代數值的減小而增大，但斜率漸減，在中壓應力區到達極限值，隨即偏應力或八面體剪應力值，隨靜水應力或八面體正應力的代數值的減小而減小；5)偏平面的封閉曲線三折對稱，其形狀隨靜水應力或八面體正應力值的減小，由外凸曲邊三角過渡為圓形。因此輕骨料混凝土的破壞面比混凝土破壞面要小，且與靜水應力軸有兩個交點。

國內外學者們提出的各種輕骨料混凝土強度理論，先后出現八面體強度理論與雙剪強度理論，各種理論[39―44]及其評述列表見表3。

由表3可知：

1)與普通混凝土相比，已有輕骨料混凝土強度理論較少，并且以采用數學公式由試驗數據進行參數擬合的八面體強度理論為主；

2)王立成和日和田·希與志[43]基于雙剪強度理論體系的輕骨料混凝土五參數雙剪強度理論的破壞面由6或12個曲面相交組成，相交處不光滑且頂點有尖角。

為了比較各準則的破壞包絡面規律，筆者收集了國內外共97組輕骨料混凝土多軸試驗數據[39－41]，各準則對應的拉壓子午線與試驗數據的比較如圖3所示。圖3中各準則中的參數取值方法為特征應力點法時，采用準則已有規定的特征值或參數，準則參數取值方法為數據擬合的各參數取值見表3，由圖3可見：

1)宋玉普-趙國藩[39]、王立成-宋玉普[40]、王萬禎等[41]和葉艷霞-張志銀[42]八面體強度理論中的參數都由數據擬合確定，與輕骨料混凝土拉壓子午線上的三軸試驗數據變化規律較一致，除葉艷霞-張志銀[42]八面體強度理論的破壞包絡面整體光滑連續外，其余理論破壞曲面都有尖角；

2)王立成-日和田·希與志五參數雙剪強度理論[43]中參數由特征應力點法確定，與輕骨料混凝土拉壓子午線上的三軸試驗結果吻合度略差。

表2 各混凝土強度準則與試驗數據比較統計表Table 2 Comparisons of concrete strength criterion by researches between predicted results and experimental data

表3 各輕骨料混凝土強度理論表達式Table 3 Expressions of lightweight aggregate concrete strength theory

各準則偏平面圖與試驗數據的比較見圖4，各八面體強度理論的偏平面變化規律基本一致，王立成-日和田·希與志五參數雙剪強度理論[43]的破壞包絡面基本上處于外凸八面體強度理論的外邊界。

輕骨料混凝土各準則與試驗數據八面體剪應力比較的均值和離散系數見表4，由于輕骨料混凝土三軸破壞包絡面上的試驗數據點分布并不勻稱，各準則離散系數都較大，相對而言，宋玉普-趙國藩[39]強度理論與試驗結果相比均值最接近、離散系數相對最小。

圖3 各輕骨料混凝土強度準則拉壓子午線與試驗數據比較Fig.3 Comparisons of lightweight aggregate concrete strength criterion between tensile and compressive meridian and experimental data

圖4 各輕骨料混凝土強度準則對應的偏平面比較(σ8/fc = _1.5)Fig.4 Comparisons of lightweight aggregate concrete strength criterion between deviatoric plane and experimental data(σ8/fc =_1.5)

表4 各輕骨料混凝土強度準則與試驗數據比較統計表Table 4 Comparisons of lightweight aggregate concrete strength criterion by researches between predicted results and experimental data

2.3 各向同性巖石強度理論

各向同性巖石材料與混凝土的破壞包絡面的幾何形狀特征類似，并無明顯差別，但其形成的破壞包絡面比混凝土大，現有大多數各向同性巖石材料三軸破壞試驗結果表明，單軸抗壓強度大于100 MPa的巖石破壞包絡面較大，而單軸抗壓強度小于100 MPa的巖石破壞包絡面次之。

目前，各向同性巖石強度理論主要采用Mohr-Coulomb強度理論[2]和 Hoek-Brown強度理論[45]，而Drucker-Prager[46]準則大多應用于巖石數值計算。各向同性巖石強度理論先后出現單剪強度理論、八面體強度理論以及雙剪強度理論，國內外各種強度理論[2,45―63]及其評述列表見表5，由表5可知：

1)Mohr-Coulomb單剪強度理論認為最大剪應力和相應剪切面上的正應力共同導致材料破壞，適用于單軸抗拉強度與單軸抗壓強度不相等的脆性材料，其特征是未考慮中間主應力的影響，理論值偏低，該理論破壞包絡面由6個平面相交，相交處不光滑且頂點有尖角；

2)巖石八面體強度理論參數的確定方法主要有應力特征點法、試驗數據擬合以及由巖石軟硬程度和破碎程度確定，大多數八面體強度理論的三維破壞包絡面頂點出現尖角；

3)雙剪強度理論體系中，兩參數、三參數線性雙剪強度理論[17,19]的破壞包絡面由6或12個平面相交組成，三參數非線性雙剪強度理論[61]的破壞包絡面由6或12個曲面相交組成，相交處都不光滑且頂點有尖角。

為了比較各準則的破壞包絡面規律，筆者收集了國內外共107組單軸抗壓強度小于100 MPa的巖石(用“巖石Ⅰ類”表示)多軸試驗數據[49,64－68]和116組單軸抗壓強度大于100 MPa的巖石(用“巖石Ⅱ類”表示)多軸試驗數據[48,69―70]，巖石強度理論的拉壓子午線分為“巖石Ⅰ類”和“巖石Ⅱ類”兩部分進行比較。各準則對應的拉壓子午線與試驗數據的比較如圖5所示。圖5中各準則中的參數取值需由強度特征值和由巖石軟硬程度、破碎程度而定時，取值方法[49,64－68,71－72]見表6，準則參數取值方法由數據擬合的各參數取值見表5，由于三參數非線性雙剪強度理論[62]中需要用最小二乘法進行擬合的參數，其含義與Hoek-Brown理論[45]中的參數含義相同，為方便對比，本文采用的各參數取值與Hoek-Brown理論的參數取值相同，由圖5可見：

1)單剪強度理論中Mohr-Coulomb理論[2]預測值整體偏低，Griffith理論[47]在壓應力區預測值偏低，Hoek-Brown[45]理論與巖石拉壓子午線上的三軸試驗數據變化規律較一致，但由于未考慮中間主應力的影響，Hoek-Brown理論的偏平面比相應的試驗數據偏低；

2)巖石八面體強度理論中 Mogi[48―49]、Kim-Lade[54]、史述昭-楊光華[53]、Aubertin[57]、章連洋-朱合華[60]、姜華[61]準則等巖石八面體強度理論與“巖石Ⅰ類”和“巖石Ⅱ類”拉壓子午線上的三軸試驗數據變化規律較一致，其中 Mogi和Kim-Lade準則中參數是由數據擬合而確定；此外，Argyris-Gudehus[50―51]準則與“巖石Ⅱ類”拉壓子午線上的三軸試驗數據變化規律較一致，而與“巖石Ⅰ類”拉壓子午線上的三軸試驗結果吻合略差；

3)雙剪強度理論體系中，兩參數和三參數線性雙剪強度理論與“巖石Ⅱ類”的拉壓子午線上的三軸試驗數據變化規律較一致，而與“巖石Ⅰ類”試驗數據吻合略差，三參數非線性雙剪強度理論與“巖石Ⅰ類”和“巖石Ⅱ類”的拉壓子午線上的三軸試驗數據變化規律較一致。

表5 各巖石強度理論表達式Table 5 Expressions of rock strength theory

(續表)

圖5 各巖石強度準則對應的拉壓子午線比較Fig.5 Comparisons of rock strength criterion between tensile and compressive meridian and experimental data

表6 各巖石強度準則參數取值列表Table 6 The parameter value of rock strength criterion

由于各準則數量較多，選取在與巖石拉壓子午線上的三軸試驗數據變化規律較一致的強度準則，該類準則對應偏平面圖與試驗數據的比較如圖6所示，可見各準則的偏平面變化規律基本一致。

巖石各準則與試驗數據八面體剪應力比較的均值和離散系數見表7，由于巖石三軸破壞包絡面上的試驗數據點分布并不勻稱，對于“巖石Ⅰ類”，姜華強度理論[61]與試驗結果相比精度最高，Kim-Lade強度理論[54]次之；對于“巖石Ⅱ類”，三參數非線性強度理論[62]與試驗結果相比精度最高，Mogi強度理論[48―49]次之。

圖6 各巖石強度準則對應的偏平面比較(σ8/fc =_1.5)Fig.6 Comparisons of rock strength criterion between deviatoric plane and experimental data(σ8/fc =_1.5)

表7 各巖石強度準則與試驗數據比較統計表Table 7 Comparisons of rock strength criterion by researches between predicted results and experimental data

3 總結與展望

3.1 總結

材料的破壞與強度理論是一個普遍而又重要的科學問題，100多年來國內外學者對混凝土、輕骨料混凝土和各向同性巖石材料的強度理論開展深入研究，通過對現有各種強度理論成果的比較與總結，結論如下：

(1)古典強度理論概念明確，表達式簡單，參數少且易于確定，其中第一理論適用于脆性材料的單軸、雙軸與三軸受拉應力狀態，第二強度適用于脆性材料的二軸和三軸拉/壓的部分應力狀態，第三與第四強度理論適用于塑性材料，但是古典強度理都難以準確反映復雜應力狀態下混凝土與巖石材料的強度變化規律。

(2)Mohr-Coulomb單剪強度理論形式簡單，不考慮中間主應力對材料破壞的影響而參數易于確定，計算結果偏于安全，廣泛應用于巖石工程計算。

(3)八面體強度理論采用數學表達式對材料破壞包絡面進行擬合，可應用于混凝土、輕骨料混凝土和各向同性巖石等土木工程材料，其中Kotsovos混凝土八面體強度理論、宋玉普-趙國藩輕骨料混凝土八面體強度理論，以及Mogi、姜華等巖石八面體強度理論與各材料三軸試驗數據變化規律較一致。

(4)雙剪強度理論也可應用于混凝土、輕骨料混凝土和各向同性巖石等土木工程材料，該理論包含了從雙參數到五參數，參數取值主要由強度特征值來確定，因而不同特征點下的破壞包絡面差別較大，其中的雙剪強度理論中的四、五參數雙剪強度理論與混凝土三軸試驗數據變化規律較一致，三參數非線性雙剪強度理論與巖石三軸試驗結果變化規律較一致。

(5)主應力空間損傷比強度理論將混凝土受壓損傷比(vD,c>0.5，體積膨脹)和受拉損傷比(vD,t<0.5，體積收縮)作為強度準則的2個基本參數，該理論的三軸破壞面光滑連續，由于受壓損傷比僅考慮了Lode角而忽略了靜水應力的影響，與試驗結果變化規律相比，該準則在混凝土處于較高靜水壓力狀態時略偏大，而在較低靜水壓力狀態時略偏小。

3.2 展望

混凝土、輕骨料混凝土與各向同性巖石等土木工程材料都具有單軸抗拉壓強度不等以及單軸抗壓與雙軸等壓強度不等力學特性，主應力空間損傷比強度理論將受壓損傷比(vD,c>0.5，體積膨脹)和受拉損傷比(vD,t<0.5，體積收縮)作為強度準則的2個基本參數，拉、壓損傷比的概念可以符合混凝土與巖石等土木工程材料單軸力學特性，也符合混凝土與巖石等材料單軸抗壓與雙軸等壓強度不等力學特性，如損傷比為0.5時可退化為古典強度理論中的第四強度理論，由于作者初期提出的受壓損傷比僅考慮了 Lode角而忽略了靜水應力的影響，該準則在處于較高靜水壓力狀態時理論與試驗結果有一定的誤差，因此作者將根據混凝土、輕骨料混凝土與各向同性巖石等土木工程材料的多軸試驗規律，提出考慮Lode角和靜水應力影響的各類土木工程材料受壓損傷比表達式，確定各類土木工程材料受拉損傷比參數取值，提出完善的各向同性土木工程材料主應力空間雙參數損傷比強度統一理論。

此外部分巖石具有明顯的各向異性或正交異性特征，該類材料的強度理論有待深入研究。

附錄：

σ1最大主應力

σ2中間主應力

σ3最小主應力

I1＝σ1+σ2+σ3應力張量第一不變量

I2＝σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1應力張量第二不變量

I3＝σ1σ2σ3應力張量第三不變量

θ＝0°~6 0° Lode角