基于脫靶量級數解的最優機動突防策略

王亞帆，周韜，陳萬春，赫泰龍

（北京航空航天大學 宇航學院，北京100083）

基于脫靶量級數解的最優機動突防策略

王亞帆，周韜，陳萬春*，赫泰龍

（北京航空航天大學 宇航學院，北京100083）

摘 要：針對比例導引控制的攔截彈，建立高階制導系統狀態空間模型，基于脫靶量級數解公式，對目標最優機動突防策略及其影響因素進行了研究。首先，針對攔截彈的制導系統為線性一階、線性高階時，目標最優機動突防效果進行了仿真分析，結果表明攔截彈彈體模型的準確性對突防效果存在影響，高階系統對應脫靶量更大且效果更真實；將結果與一次階躍機動和蛇形機動對比，發現最優機動突防效果最佳。然后，建立彈目運動的二維非線性模型，仿真得出目標最優機動產生的脫靶量曲線與線性系統吻合度較高，線性模型選取合適。最后，研究了有效導引比和剩余飛行時間估計誤差對最優機動突防效果產生的影響，結果表明有效導引比估計誤差對最優機動突防效果影響不大，剩余飛行時間估計誤差則會使目標最優機動突防性能大幅下降，甚至部分情況比蛇形機動突防效果差。

關 鍵 詞：突防；最優機動；脫靶量級數解；估計誤差；伴隨法；仿真分析

中圖分類號：V221＋.3；TB553

文獻標志碼：A

文章編號：1001-5965（2020）01-0159-11

DOI：10.13700／j.bh.1001-5965.2019.0135

伴隨法是一種計算機仿真分析與設計工具，在傳統上的解釋基于線性系統的脈沖響應［1］，主要運用于線性時變系統的性能分析［2-3］，能夠對任意時刻的性能輸出進行估計，提取顯示所有輸入對總性能輸出的貢獻信息，被廣泛應用于導彈制導系統分析和設計中。比例導引是一種經典的制導律，對于追蹤、截獲機動目標十分有效，常應用于雷達、紅外制導的導彈中［4-5］。

近年來，世界范圍內，各主要國家積極推進導彈防御系統裝備與技術的發展，加速攔截武器研制與部署［6］。同時，面對逐漸趨于精確化、全程化、網絡化發展的攔截系統，導彈突防技術也在穩步跟進，不斷注入新的內涵與方法。如何有效突破尋的導彈的攔截布防，逐漸成為研究的熱點問題。針對目標的機動突防策略，相關學者做著不同方面的研究，基本的突防措施可以概括為戰術突防措施、技術性措施，以提高導彈的射擊精度和殺傷力［7］。在技術性突防策略上，較為常見的目標機動方式有階躍機動［2］、蛇形機動［8］、方波機動［9］和滾筒機動［10］等，它們都是通過控制目標機動變軌，最終逃脫導彈攔截。但這些機動方式存在局限性和不穩定性，并不能保持最佳的突防效果。

Shinar和Steinberg［11］基于二維線性化模型和最優控制理論，分析了目標最優逃逸機動的控制形式是bang-bang控制且控制切換時刻與脫靶量的導數有關；對比分析了系統階數和制導時間常數對最優機動效果的影響，同時推導得出了一階線性系統下目標階躍機動產生脫靶量的解析解。隨后，遲澤晨等［12］以臨近空間的攻防態勢需求為背景，在二維平面內基于極小值原理、高斯偽譜法對高階制導系統、攻防雙方時間常數比值等因素進行研究，最終提出了一種對抗比例導引攔截器的最優機動突防控制策略。考慮到目標對攔截彈

收稿日期：2019-04-01；錄用日期：2019-08-30；網絡出版時間：2019-09-12 15：51

信息估計存在誤差時，會對機動突防效果產生影響，Dhananjay

［13］

和Zhuang

［14］

等分別建立彈目交戰的二維、三維模型，推導得出了剩余飛行時間的估計公式，探討其對目標突破比例導引制導導彈攔截效果的影響；Nesline和Zarchan

［5］

則分析對比了剩余飛行時間估計誤差存在時，經典制導律和現代制導律的魯棒性、易用性等性能。但這些研究較難實現針對攔截彈為線性高階制導系統時，目標最優機動突防的快速分析和求解。

本文針對高階線性化的比例導引攔截彈制導系統，結合脫靶量級數解公式，研究了目標的最優機動突防策略問題。首先，建立攔截彈制導系統狀態空間模型，基于伴隨法和最優控制理論，求解目標最優機動突防策略和最大脫靶量公式；進而，考慮到最優機動突防策略的實用性，分析了攔截彈的階數、系統是否線性和有效導引比估計誤差、剩余飛行時間估計誤差對策略效果的影響，并將突防效果與目標做階躍機動、蛇形機動對比。通過上述研究，為實際攻防作戰中，目標有效快速地實現最佳突防提供有價值的參考。

1 目標最優機動突防策略

1.1 比例導引制導的攔截彈一般高階系統線性化模型狀態空間描述

考慮平面內導彈-目標迎頭交戰模型，導彈采用比例導引制導律，即指令加速度nc＝NVcλ·（N為有效導引比；Vc為彈目接近速度；λ·為視線角變化率）。以一般的高階線性制導系統為例，傳遞函數可表示為

式中：αi、ξj和βj為各個環節特征參數系數；T為制導系統時間常數。傳遞函數G（s）包含Q1個一階環節和Q2個二階環節。將G（s）的分母展開為關于s的多項式可得

其中：Q＝Q1＋2Q2；λ0，λ1，…，λQ為多項式系數，由αi、ξj和βj唯一確定。

則該制導系統的線性化模型可以表示為如下狀態空間形式：

式中：t為當前時間；x（t）為狀態向量；u（t）為控制輸入變量；r（t）為輸出變量；O表示相應維數的零矩陣；tf為總飛行時間；A（t）、B（t）和C（t）為線性系統的系數矩陣，具體為

式中：y（t）為彈目相對距離在參考線垂直方向上的分量；nL（t）為導彈實際獲得加速度；（t）為nL（t）的一階至（Q－1）階導數；us（t）為單位階躍函數；nT為目標階躍機動加速度幅值；y（tf）為脫靶量；N和tf均為常數。

為了討論方便，將階躍輸入轉化為脈沖輸入函數δ（t），引入新的狀態變量xu（t）＝us（t），利用單位階躍函數與δ（t）之間關系可得

系統（3）和系統（4）可分別等價擴展為

式中：δu（t）為脈沖輸入函數。

1.2 伴隨法推導目標階躍機動產生的脫靶量級數解

利用伴隨系統構造原則［2］，可以得到線性系統（13）和系統（14）的伴隨系統狀態空間描述為

式中：z（t）和zu（t）為伴隨系統的狀態向量；v（t）為伴隨系統的控制輸入；w（t）為伴隨系統的輸出變量。選取該伴隨系統初始狀態為零，輸入v（t）＝δ（t），進行伴隨仿真，此時伴隨系統展開等價于如下線性系統：

將式（17）～式（19）代入相應的系數矩陣，可得到如下微分方程：

同時，伴隨系統與原線性系統輸出之間存在如下關系［2，15］：

式中：tgo為導彈的剩余飛行時間，即tgo＝tf－t。

則通過對伴隨系統狀態變量zu（t）的求解，即可得到原系統對應脫靶量。

當導彈制導系統的傳遞函數為一般高階系統，即時，參照文獻［16］，可將由目標階躍機動引起的脫靶量解析表達式寫為如下冪級數形式：

式中：k為指數項衰減常數；n為需計算的項數；dn為各級數的待定系數。

式（26）的導數式為

式中：各級數的待定系數dn存在以下遞推關系：

當n≥1時，有

其中：

式中：an、bn、cn、Bn和Pn均為各級數系數計算的中間變量；A和C及其上下標分別表示排列數和組合數。

觀察冪級數公式（26）可知，指數項衰減常數k和計算項數n影響公式的收斂速度和計算精度。由文獻［16］可知，參數k的選取方案為：一階制導系統選取k＝1，Q階二項式系統選取k＝Q，對一般的高階系統選取

但考慮到公式的收斂速度，k取值一般不超過10。參數k選取后，計算項數n由級數收斂速度指標變量ncr確定，即

式中：S1000（t）為前1001項的部分和，其為計算的精確解；Sn（t）為前（n＋1）項的部分和；ε為指定的計算精度。由式（31）可以看出，ncr取值越小越好，意味著級數解公式的收斂速度越快。

同時，脫靶量級數解公式的收斂半徑為無窮大［16］，故在仿真時間區間［0，tf］內，可以用部分和Sn一致逼近脫靶量的真實解，且只要n足夠大，理論上可以以任意精度逼近。

1.3 最優機動突防策略

現在考慮目標最優機動突防問題，這里最優指的是從目標的角度出發，使脫靶量達到最大的目標機動即為最優機動。

將最優機動突防問題抽象為最優控制問題［17］：終端時間固定（tf已知），存在控制邊界約束，性能泛函為即期望導彈的脫靶量達到最大。

由Shinar和Steinberg［11］的推導過程可知，最優機動突防控制問題中的協態變量等于目標階躍機動脫靶量伴隨分析中伴隨狀態變量在時間推進上反向變換，且控制形式為bang-bang控制。

則目標機動突防時，其最優控制可以表示為

或者表示為關于剩余飛行時間的函數：

由式（33）和式（34）可知，最優突防機動控制切換函數的解析表達式正是目標階躍機動的脫靶量導數，利用1.2節推導得出的脫靶量級數解公式計算導數.w（t）的符號，就可以直接確定當前最優機動加速度的控制符號，進而求得最優控制切換時刻。再者，最優機動突防的解u（t）可以表示為多個階躍輸入的線性組合，由線性系統輸入輸出的疊加原理，最優機動產生的脫靶量可由各個階躍機動單獨作用引起的脫靶量線性疊加得到。

2 彈體模型準確度對目標最優機動突防策略效果的影響

基于1.2節的脫靶量級數公式和目標最優機動突防控制表達式，考慮到攔截彈彈體模型選取的不同，會對目標突防效果產生影響，故針對不同的導彈制導系統模型進行仿真對比。

為更加直觀地對比目標機動產生的突防效果，這里提出“突防成功百分比”的概念，即選定仿真的總飛行時間tf的變化范圍為［tf0，tfn］，如若在某一總飛行時間tfi下，目標機動產生脫靶量的數值超過了突防成功標準線數值，則認為突防成功。突防成功百分比為tf0）。突防成功百分比越大，則認為目標在選定的仿真時間段內，機動突防的效果越佳。

2.1 假設攔截彈制導系統為一階模型時最優機動突防策略的突防效果

針對一階系統的仿真，選取目標階躍機動加速度nT＝29.4 m／s2，有效導引比N＝4，T＝1 s，tfmax＝10 s，指數衰減常數為k＝1。由脫靶量級數解的系數公式（29）可知，一階系統下，當所取的計算項數n≥N－2，即n≥2時，dn≡0，級數解公式求得結果與伴隨仿真所得結果是完全一致的。

利用級數解公式仿真得到導彈脫靶量w（t）及其導數.w（t）關于剩余飛行時間tgo的曲線；注意到bang-bang控制規律是依據.w（t）的符號來確定的，從而得到最優控制u（t）與飛行時間t的關系，如圖1所示。

結合圖1，最優突防機動的解u（t）可表示為

最大脫靶量可表示為

進而，分別取有效導引比N為3、4和5，得到最優機動切換時刻tgo，對應脫靶量輸出w（t）以及終點時刻（tf＝10 s）脫靶量Mmax，如表1所示。

圖1 一階系統目標最優機動突防（N＝4）Fig.1 Target optimal maneuver penetration of first-order system（N＝4）

表1 一階系統最優控制切換時刻及最大脫靶量Table 1 Op tim al control sw itching time and m axim um miss distance of first-order system

從表1可以看出，目標最優機動突防bangbang控制切換次數與有效導引比N有關。實際上當總飛行時間足夠長時，bang-bang切換次數等于脫靶量導數.w（t）中多項式部分的實正零點個數，對于N為正整數情形，切換次數（實正零點個數）為N－2，且最大脫靶量的計算表達式與控制的正負值相關。

選擇目標做階躍機動的加速度表達式為

式中：aT為加速度幅值，取29.4m／s2。

目標做蛇形機動時［8］，機動是周期性進行的，大大增加了目標突防成功的幾率；當機動頻率和制導系統時間常數的乘積在1附近時，產生的脫靶量最大。故選擇蛇形機動的頻率ωT為1 rad／s，表達式為

式中：t0為機動開始時刻，取0。

由式（35）的最優控制表達式和式（36）的最大脫靶量表達式，仿真得到目標最優機動產生的脫靶量隨飛行時間的變化關系，并將其與目標做一次階躍機動（式（37））和蛇形機動（式（38））產生的脫靶量作對比，如圖2所示。

當飛行總時間在［0，10］s內變化時，假設以脫靶量10 m 作為突防成功的評判標準，可以看到，階躍機動和蛇形機動在整個時間段內突防成功百分比為零；攔截彈為一階系統時，目標做最優機動突防成功百分比僅有38%，且所需的總飛行時間較長，整體來看突防效果不佳，但仍優于階躍機動、蛇形機動情況。由此，考慮攔截彈模型的準確性會對目標機動突防效果產生影響，選取攔截彈制導系統為高階時進行仿真研究。

圖2 一階系統目標機動產生脫靶量對比曲線（N＝4）Fig.2 Miss distance contrast curves of first-order system for targetmaneuver（N＝4）

2.2 假設攔截彈制導系統為高階模型時最優機動突防策略的突防效果

基于一階系統的仿真過程，取相同的仿真參數，針對系統傳遞函數為五階二項式，即G1（s）＝1／（1＋0.2s）5的情況。由式（30）、式（31）取指數項衰減常數為k＝5，計算導彈脫靶量級數公式的前80項和，仍以N＝4為例，得到級數解與伴隨仿真結果的對比曲線如圖3所示。

由圖3可得，級數解結果與伴隨仿真結果完全重合，按式（30）、式（31）所選取的參數合適，且計算精度高。

進而將目標做最優機動的突防效果，與其做階躍機動、蛇形機動進行對比，如圖4所示。

對于導彈的制導系統為五階二項式時，可得到同式（35）的目標最優控制表達式，按此控制做最優機動產生的突防效果最佳。以脫靶量10 m作為突防成功標準時，最優機動突防成功百分比為91.4%，階躍機動和蛇形機動的突防成功百分比分別為47.7%和75.8%；以脫靶量30 m作為突防成功標準時，3種機動方式的突防成功百分比分別為76%、0%和42.2%；最優機動突防效果明顯。極限來看，當總飛行時間為2 s甚至更小時，階躍機動產生的脫靶量幾乎和最優機動一致；在總飛行時間較大時（≥4 s），蛇形機動的脫靶量明顯大于階躍機動，且與最優機動相對差別較小，但其性能不穩定。

圖3 五階二項式系統目標階躍機動產生脫靶量級數解與伴隨仿真結果對比曲線Fig.3 Contrast curves between miss distance power series solutions of fifth-order binomial system due to target step maneuver and adjoint simulation results

圖4 五階二項式系統目標機動產生脫靶量對比曲線Fig.4 M iss distance contrast curves of fifth-order binomial system for targetmaneuver

對比圖2和圖4可知，設定目標的機動幅值相同，面對導彈制導系統階數不同時，產生的突防效果有明顯差異，高階系統的脫靶量要遠大于低階系統，且目標突防成功百分比較大。

為使問題研究更加準確，對彈體模型仿真更為精確，選擇導彈的制導系統為各環節時間常數不同和帶有一個二次多項式環節（其表達式分別為式（39）、式（40），系數取值如表2所示）的情況［2］，分別進行仿真。針對導彈制導系統的傳遞函數為G2（s）、G3（s）時，選取級數解的指數項衰減常數為k＝9，計算項數為n＝80。所得導彈脫靶量級數解結果與伴隨仿真結果對比曲線如圖5所示。發現級數解與伴隨仿真結果完全吻合，計算精度高。

將導彈的制導系統為上述3種高階模型下，目標做最優機動時，所產生的脫靶量進行對比，如圖6所示。

表2 傳遞函數系數Table 2 Transfer function coefficient

圖5 高階系統目標階躍機動產生脫靶量級數解與伴隨仿真結果對比曲線Fig.5 Contrast curves between miss distance power series solutions of high-order system due to target step maneuver and adjoint simulation results

圖6 高階系統目標最優機動脫靶量對比曲線Fig.6 Miss distance contrast curves of high-order systems for target optimal maneuver

導彈的制導系統分別為上述3種形式時，目標最優機動產生的脫靶量與飛行時間的關系變化趨勢類似，這是由于各情況下總的時間常數相同，均為T＝1 s。但同一時刻下，各曲線對應脫靶量值不同，以總飛行時間tf＝10 s為例，3種制導系統對應的脫靶量分別為88.84、80.58、66.33 m。可以看出，若導彈制導系統為五階二項式形式，仿真所得結果較為樂觀，目標更易突防成功，隨著導彈模型復雜程度提高，目標最優機動突防效果逐漸變差，說明真實的導彈模型對目標威脅性更大。極限來看，當總飛行時間為2 s以內時，3種制導系統下，目標最優機動產生的脫靶量相差微小。

2.3 攔截彈制導系統為線性與非線性時最優機動突防策略的效果

本文的理論推導和實例仿真都是將系統簡化為線性系統進行的，而實際的導彈制導系統是一個十分復雜的非線性系統，在應用中需要考慮一些微小狀態量的變化對目標突防性能的影響。

由此，建立導彈、目標運動的二維非線性模型［2］。RT1、RM1分別為目標、導彈的運動距離在水平軸上的分量，RT2、RM2分別為目標、導彈的運動距離在垂直軸上的分量，VT1、VM1分別為目標、導彈的速度在水平軸上的分量，VT2、VM2分別為目標、導彈的速度在垂直軸上的分量，其導數式為

式中：σ為目標速度與坐標系x軸負方向的夾角；λ為視線角；nc為導彈的指令加速度。

進而，彈目的相對距離RTM，接近速度Vc，視線變化率λ·，剩余飛行時間tgo，導彈的指令加速度nc的表達式為

式中：下標TM 表示目標的相應變量減去導彈的相應變量；下標1、2分別表示變量在x軸、y軸的投影。

則最終導彈的脫靶量為

仍以導彈的有效導引比N＝4為例，五階非線性系統（傳遞函數為G3（s））基于上述彈目間的幾何運動關系以及文獻［1］中的非線性碰撞三角形進行仿真。選取彈目的仿真參數如表3所示。得到線性系統與非線性系統目標最優機動產生的脫靶量與總飛行時間的關系曲線如圖7所示。

導彈的制導系統為非線性，選取目標機動控制切換時刻與線性系統相同時，產生的脫靶量隨飛行時間的變化趨勢同線性系統基本一致，且數值接近，誤差較小，說明線性模型在目標最優機動問題的研究上有較高精確度，模型選取合適。

表3 彈目仿真參數Table 3 Sim u lation parameter of missile and target

圖7 線性最優機動和非線性最優機動脫靶量對比Fig.7 M iss distance comparison between linear and nonlinear optimal maneuver

觀察到在最大的總飛行時間范圍內（tf＝9～10 s），線性、非線性系統的脫靶量存在相對較大的偏差，這是因為利用RTM／Vc來估算剩余飛行時間tgo會存在舍入誤差，切換時刻發生時可能不是真實最優。再者，仿真運行至該時刻，目標已完成兩次機動，脫靶量為最終的線性疊加結果，誤差也隨之發生了疊加。但這些偏差不影響曲線的整體變化趨勢。

3 攔截彈信息估計不準確對目標最優機動突防策略效果的影響

在實際的彈目作戰中，目標需要利用導引頭或告警裝置較為準確地探測到來襲導彈的距離、速度等參數信息，如此才能使突防達到更好的效果，順利逃脫導彈的打擊。而雷達或紅外探測裝置往往易受到外界環境的影響，使得到的探測信息不準確，響應不及時，最優的切換時刻較難把握。

3.1 估計攔截彈的有效導引比存在誤差

針對比例導引制導的導彈，制導指令中的有效導引比N是一個常值系數，其取值大小直接影響系統穩定性［18］；同時結合2.1節的分析，其影響最優控制切換點的個數和時刻的選取。因此，對攔截彈的有效導引比估計準確性直接影響目標最優機動突防的效果。

基于2.2節的仿真，假設目標通過告警系統探測，認為攔截彈的有效導引比N＝4，從而計算出最優的機動切換時刻tgo1＝1.82 s，tgo2＝4.94 s，實現最佳突防。而實際上目標對來襲導彈信息的估計存在偏差，研究有效導引比估計誤差存在時，對目標最優機動性能的影響，如圖8所示。

圖8中，橫坐標為攔截彈真實的有效導引比，縱坐標為目標按照攔截彈N＝4計算所得機動突防策略所產生的對應末端時刻脫靶量。觀察發現，有效導引比估計誤差存在時，當總飛行時間較小，目標最優機動產生的脫靶量與有效導引比呈線性負相關；當總飛行時間較大時，二者關系呈拋物線變化。若誤差大致控制在±0.3左右時，對目標最優機動突防的效果影響不大；若超出這個范圍，則突防性能不穩定，脫靶量會有小范圍上升趨勢，但整體呈下降分布，原因是目標最優機動切換次數和切換時刻的選擇與攔截彈的有效導引比有關，當存在較大的估計誤差時，此時的最優切換時刻并不是真實最優的，通過線性疊加，脫靶量值較最優機動存在上下波動。

圖8 有效導引比存在估計誤差時目標機動產生脫靶量Fig.8 Target maneuver miss distance when effective navigation ratio estimation error exists

而蛇形機動的突防效果仍差于即使最優機動有效導引比存在估計誤差的情況，且突防效果不穩定。相對來說，有效導引比估計誤差存在時，對目標最優機動突防性能影響不大，在2種突防成功標準線限定下，最優機動能實現100%的突防成功百分比。

3.2 估計剩余飛行時間存在誤差

注意到目標最優突防機動式（33）中需要知道導彈制導系統時間常數T（或帶寬）和當前的剩余飛行時間tgo，二者共同影響最優機動控制切換時刻的選取。時間常數T的存在是由于制導系統各個環節在實際中會存在時間延遲，較難做到立即響應，該值會直接影響脫靶量的大小。而目標通常不能準確得到這兩者的信息。

本節考慮T和tgo存在估計誤差時，目標依然使用式（33）進行機動，來研究這些誤差對機動突防性能（脫靶量）的影響。實際上，這些估計誤差將會導致bang-bang控制切換時間發生變化，是tgo／T整體在起作用。本節算例中取制導系統時間常數為T＝1 s，只考慮tgo對估計誤差的影響，有效導引比取N＝4，目標階躍機動加速度幅值仍取nT＝29.4m／s2。

考慮如下形式估計剩余飛行時間：

式中為估計剩余飛行時間；tgo為實際剩余飛行時間；esf為標度系數誤差；eb為零偏誤差。這里主要研究esf和eb對機動突防性能的影響，且只考慮2個參數的變化不同時發生的情況。此時目標仍采用最優突防機動的表達式，只是估計的剩余飛行時間，即目標的機動規律變為

針對2.2節中制導系統傳遞函數為G3（s）進行分析。基于伴隨系統，仿真得到脫靶量輸出w（t），導數以及最優機動的bang-bang控制規律u（t）如圖9所示。圖中的曲線穿過“0軸”2次，故多項式存在2個零點，結合式（34）可知，目標最優控制要經過2次切換，切換時刻分別為第1.82 s和第4.95 s。

圖9 高階系統目標最優機動突防（G3（s），N＝4）Fig 9 Target optimal maneuver penetration of high-order system（G3（s），N＝4）

當估計剩余飛行時間存在標度系數誤差時，適當選取esf的變化范圍為［0.6，1.6］，飛行總時間tf＝10 s，得到目標做最優機動時，各誤差系數對應的導彈脫靶量，如圖10所示。進而，選取樣本點esf為0.8，1.3，設定仿真總飛行時間在［0，10］s變化，得到脫靶量結果如圖11所示；最優控制切換時刻取值及tf＝10 s時的脫靶量如表4所示。

圖10 目標最優機動脫靶量關于剩余飛行時間標度系數誤差的曲線Fig.10 Curves of target optimal maneuver miss distance relative to scale factor error of time to go

圖11 標度系數誤差存在時目標最優機動產生脫靶量Fig.11 Target optimal maneuver miss distance when scale factor error exists

表4 標度系數誤差變化時目標最優機動產生脫靶量（t f＝10 s）Table 4 Target optimal maneuver miss distance when scale factor error changes（t f＝10 s）

當估計剩余飛行時間存在零偏誤差時，選擇eb的變化范圍為［－0.6，0.8］，飛行總時間為tf＝1 0 s，得到目標做最優機動時，各誤差系數對應的導彈脫靶量，如圖12所示。選取eb為－0.3，0.7，仿真總飛行時間在［0，10］s變化，得到目標最優機動產生的脫靶量如圖13所示；最優控制切換時刻取值和tf＝10 s時對應脫靶量如表5所示。

圖10和圖12，分別給出了總飛行時間一定，目標采用最優機動突防策略產生的脫靶量關于標度系數誤差esf和零偏誤差eb的曲線。可以看出，估計剩余飛行時間中，這2個誤差的存在都會使目標機動突防性能下降，當tgo準確時，最優機動突防產生脫靶量達到66.33 m，而當esf＝1.4或eb＝0.8時，脫靶量都接近于40m；當誤差系數在esf＝1或eb＝0（即不存在誤差的情況）附 近小范圍變化時，對最終脫靶量的結果影響較小，誤差尚可接受。

圖12 目標最優機動脫靶量關于剩余飛行時間零偏誤差的曲線Fig.12 Curve of target optimal maneuver miss distance relative to bias error of time to go

圖13 零偏誤差存在時目標最優機動產生脫靶量Fig.13 Target optimal maneuver miss distance when bias error exists

表5 零偏誤差變化時目標最優機動產生脫靶量（t f＝10 s）Table 5 Target optimal maneuver miss distance when bias error changes（t f＝10 s）

圖11、圖13以及表4、表5，給出了存在不同剩余飛行時間估計誤差下，目標最優機動突防引起的脫靶量關于總飛行時間的曲線。當估計剩余飛行時間的標度系數誤差esf和零偏誤差eb存在時，得到的脫靶量都要小于最優機動情形（無估計剩余飛行時間誤差）。原因在于這些估計誤差將會導致bang-bang控制切換時間發生變化，得到的bang-bang機動并不是最優的。將剩余飛行時間存在估計誤差與目標做蛇形機動的情況對比，發現一般誤差存在下，最優機動的脫靶量還總是大于蛇形機動的；但誤差較大時（例如esf＝1.3或eb＝0.7），蛇形機動在某些總飛行時間下（例如2、5、8 s附近）的突防效果反而更佳。故針對誤差存在時，削弱最優機動突防效果情況的出現，一方面，目標需要提高其上如導引頭等探測裝置的探測精度；另一方面，如存在無法克服的探測誤差且數值較大時，可適當選擇不需要剩余飛行時間信息的蛇形機動作為機動突防形式。

4 結 論

本文研究了攔截彈為比例導引制導時，目標最優機動突防策略及其影響因素的問題：

1）攔截彈的制導系統為一般線性高階時，基于脫靶量級數解公式進行仿真分析，提高了計算效率，且實用性、通用性更強。

2）目標最優機動突防效果受導彈模型準確性影響。導彈制導系統為高階時，目標最優機動產生脫靶量較大，突防成功百分比高；當制導系統傳遞函數形式更復雜時，脫靶量反而較小，說明真實攔截彈模型對目標的威脅性更大。導彈模型選為線性時，仿真較非線性結果吻合度較高，模型選取合適。

3）目標最優機動控制切換次數和切換時刻受攔截彈有效導引比N影響，且主要取決于剩余飛行時間tgo。目標最優機動突防效果對有效導引比估計誤差不十分敏感，對剩余飛行時間估計誤差較為敏感且隨著誤差增大目標突防性能大幅下降。

4）目標最優機動突防效果優于同等仿真條件下的一次階躍機動、蛇形機動。但在總飛行時間較小時，階躍機動突防性能與最優機動基本無差；在存在剩余飛行時間估計誤差時，蛇形機動要優于某些最優機動。因此，目標可根據實際作戰情況選擇合適的機動策略，實現最佳突防。

作者簡介：

王亞帆 女，碩士研究生。主要研究方向：導彈制導與控制。

周韜 男，碩士，副教授，碩士生導師。主要研究方向：導彈總體設計與仿真、導彈制導與控制。

陳萬春 男，博士，教授，博士生導師。主要研究方向：飛行力學、導彈制導與控制。

Optimal maneuver penetration strategy based on power series solution of miss distance

WANG Yafan，ZHOU Tao，CHEN Wanchun*，HE Tailong
（School of Astronautics，Beihang University，Beijing 100083，China）

Abstract：Aimed at the proportional guidance missile，the state space model of high-order guidance system was established，and the optimal maneuver penetration strategy and influencing factors were studied based on power series solution of miss distance.First，when the missile guidance system was linear first-order and high-order，the simulations of optimal target maneuver penetration were carried out.The results show that the accuracy of the missile guidance model has an impact on the penetration effect，and the high order has larger miss distance and is more realistic.Then，the results were compared with step maneuver and weaving maneuver，the optimal maneuver penetration effect is the best.Furthermore，a two-dimensional nonlinear missile-target engagement model was established，and the simulation shows that the miss distance curve of optimal maneuver is highly identical with the linear system，and the linear system is selected appropriately.Finally，the impacts of effective navigation ratio and time-to-go estimation error on the optimal maneuver penetration effect were studied.The effective navigation ratio estimation error has little effect on the optimal maneuver penetration effect，the time-to-go estimation error makes the target optimal maneuver penetration performance decline greatly，and in some cases it is even worse than the weaving maneuver penetration effect.

Key words：penetration；optimal maneuver；power series solution of miss distance；estimation error；adjoint method；simulation analysis

Received：2019-04-01；

Accepted：2019-08-30；

Published on line：2019-09-12 15：51

URL：kns.cnki.net／kcms／detail／11.2625.V.20190912.1514.001.html

*Corresponding author.E-mail：wanchun＿chen